七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题（解析版）

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专题05 二元一次方程组的四种特殊解问题类型一、整体思想的应用例．若方程组的解为，则方程组的解为（　　）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：∵方程组的解为，∴方程组的解，∴；故选：B．【变式训练1】关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是_______．【答案】2【详解】解：，①+②得，把代入5x+y=得，解得m=2，故答案为：2．【变式训练2】已知关于x，y的方程组的解满足，求k的值．【答案】【详解】解：，得，∴，∴，∴，∴，解得．【变式训练3】关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（       ）A．2 B． C． D．3【答案】B【详解】解：，①－②得：，∵，∴，解得：，故选：B．【变式训练4】若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：由题意得：，联立，由①②得：，解得，将代入①得：，解得，将代入方程得：，解得，故选：C．类型二、整数解问题例．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【答案】C【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解为正整数，∴a＝0时，；a＝2时，， ∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．故选：C．【变式训练1】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（       ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【详解】解：解方程组得：，∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴≥，解得：a≥-，∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，∴，解得-2≤a＜1，∴≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，故选：C．【变式训练2】若整数m使得关于x的不等式组 有且只有三个整数解，且关于x，y的二元一次方程组 的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有m的和为（       ）A．27 B．22 C．13 D．9【答案】A【详解】解：解不等式①，得： ，解不等式②，得： ，∴不等式的解集为，∵不等式组有且只有三个整数解，∴ ，解得： ，∵m为整数，∴ 取5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，，解得： ，∴当取 时，x，y均为整数，∴符合条件的所有m的和为 ．故选：A【变式训练3】m为正整数，已知二元一次方程组有整数解则m2＝（       ）A．4 B．1或4或16或25C．64 D．4或16或64【答案】D【详解】解：，①-②得：（m-3）x=10，解得：x=，把x=代入②得：y=，由方程组为整数解，得到m-3=±1，m-3=±5，解得：m=4，2，-2，8，由m为正整数，得到m=4，2，8，则=4或16或64，故选：D．【变式训练4】方程组有正整数解，则正整数a的值为________．【答案】2【详解】解：②得： ①-③得： 当时，方程无解，当时，方程的解为： 为正整数，或或或 解得：或或或 为正整数， 当为正整数，由②得：也为正整数，所以故答案为：2类型三、参数问题例．若方程组的解满足2x﹣3y＞1，则k的的取值范围为 ___．【答案】【详解】①②得， 2x﹣3y＞1，，解得故答案为：【变式训练1】若关于x，y的二元一次方程组无解，则______．【答案】−【详解】解：，①×2得：2mx＋6y＝18③，②×3得：3x−6y＝3④，③＋④得：（2m＋3）x＝21，∴x＝，∵方程组无解，∴2m＋3＝0，∴m＝−．故答案为：−．【变式训练2】已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于________．【答案】a＝﹣3，b＝﹣14【详解】解：∵方程组有无数多个解，∴，∴a＝−3，b＝−14．故答案为：a＝﹣3，b＝﹣14．【变式训练3】若关于x和y的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解；求的值．【答案】【详解】解：由题意得： ，②-①得： 把代入②得： 把代入得： 【变式训练4】已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y＝x，求m的值．【答案】-1【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴，把②代入①中得：，解得，把代入到②中得：，把，代入到中得，解得．类型四、错解复原问题例．在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解．【答案】甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是【详解】解：由题意把代入①得a+6=10，得看错的a=4，把代入②得1+6b=7，解得正确的b=1；把代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把代入②得-1+12b=7，解得看错的b=，则原方程组为，解得；所以甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是．【变式训练1】甲、乙二人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为，试求代数式的值．【答案】9.25【详解】解：将代入②得：﹣6+2n＝﹣3，解得：n＝1.5，将代入①得：﹣5m+4＝﹣6，解得：m＝2，当m＝2，n＝1.5时，m2+n2+mn＝4+2.25+3＝9.25．【变式训练2】解关于x、y的二元一次方程组时，小虎同学把c看错而得到，而正确的解是，试求a+b+c的值．【答案】19【详解】解：∵方程组的正确解为，∴把代入方程cx﹣7y=8，可得3c+14=8，解得c=﹣2；把小虎求得的解和正确解分别代入方程ax+by=2，可得，，解得， ∴a+b+c=10+11﹣2=19．【变式训练3】甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了②中的，解得，试求的值．【答案】0【详解】解：将代入得：，解得将代入方程组中的得：，即．【变式训练4】如图，小红和小明两人共同解方程组根据以上他们的对话内容，请你求出，的正确值，并计算的值．【答案】，，0【详解】解：因为小明看错了方程①中的，所以满足方程②，即，解得，因为小红看错了方程②中的，所以满足方程①，即，解得，所以．课后练习1．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则a的值为______．【答案】-3【详解】解：两个方程相加得：3x+3y=3a+9，∵x、y互为相反数，∴x+y=0，∴3x+3y=0，∴3a+9=0，解得：a=-3，故答案为：-3．2．若方程组有正整数解，则整数a的值为____．【答案】-3或-1或±2【详解】解：，由②得，把入①得，解得，∵方程组有正整数解，∴y要为正整数，即要为正整数，∴或或或∴a=－3或－1或±2．故答案为：-3或-1或±2．3．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得，求原方程组的正确解．【答案】【详解】解：根据题意，可得，解得，将a，b代入原方程组，得，由②可得③，将③代入①，可得，解得，把代入③，解得．故原方程组的正确解是．4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5 即2（2x＋5y）＋y＝5③把方程①带入③得：2×3＋y＝5，∴y＝﹣1 把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组（2）已知x，y满足方程组．（i）求x2＋4y2的值；（ii）求＋的值．【答案】（1）；（2）（i）17；（ii）±【详解】解：（1）把方程②变形为： ， ， ， 把 代入 得 ，即方程组的解为；（2）（i）原方程变形为 ，①+② 得， ， ，（ii）由 代入②得 ，∴（x＋2y）2＝x2＋4y2＋4xy＝17＋8＝25，∴ x＋2y＝5或x＋2y＝﹣5，则＝＝±．5．已知关于x、y的方程组中，x为非负数、y为负数．(1)试求m的取值范围；(2)当m取何整数时，不等式3mx+2x>3m+2的解集为x<1．【答案】(1)；(2)x<1【解析】(1)解：（1），①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，∵x为非负数、y为负数，∴，解得：﹣2<m≤；(2)3mx+2x>3m+2，（3m+2）x>3m+2，∵不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1，∴3m+2<0，∴m<﹣，由（1）得：﹣2<m≤，∴﹣2<m<﹣，∵m整数，∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x>3m+2的解为x<1．6．m取哪些整数时，方程组的解是正整数？求出正整数解【答案】当m=-3时，；当m=-2时，；当m=0时,．【详解】解：，由②得，x=2y③，③代入①得，4y+my=4，∴y=，∵方程组的解是正整数，∴4+m=1或4+m=2或4+m=4，解得m=-3或m=-2或m=0，当m=-3时,；当m=-2时,；当m=0时,．7．当m，n为何值时，方程组（1）有唯一解；（2）有无数多个解：（3）无解【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：解方程组由①变形得到代入②得到，∴，（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解将此y的值代入中，得：x＝，因而原方程组有唯一一组解；（2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；（3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解．