七年级数学下册压轴题攻略（人教版）专题06 二元一次方程组的四种实际应用（解析版）

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专题06 二元一次方程组的四种实际应用
类型一、方案问题
例．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出m，n的值；
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
(2)物流公司共有以下三种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B型车4辆；方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
(3)方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．
【解析】(1)设一辆A型车装满货物可运货x吨，一辆B型车装满货物可运货y吨，
根据题意，得：，解得：，
答：一辆A型车装满货物可运货3吨，一辆B型车装满货物可运货4吨；
(2)由题意得：3m+4n=31，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有以下三种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆．
(3)方案一费用：100×1+120×7=940（元），方案二费用：100×5+120×4=980（元），
方案三费用：100×9+120×1=1020（元），
∵940＜980＜1020，
∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，最省钱，最少租车费为940元．
【变式训练1】某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人；用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人．
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人？
(2)若学校计划租用小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆需租金6000元，大客车每辆需租金7500元，总租金为W元，写出W与m的关系式，根据关系式选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．
【答案】(1)每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
(2)①租车方案有三种：方案一：小客车8车、大客车1辆，方案二：小客车5辆，大客车3辆，方案三：小客车2辆，大客车5辆；②租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【解析】(1)设每辆小客车能坐a人，每辆大客车能坐b人，根据题意，得：
，解得：，
答：每辆小客车能坐30人，每辆大客车能坐45人；
(2)①根据题意，得30m+45n=280+5，
因为m，n均为整数
所以解得：或或，∴租车方案有三种：
方案一：小客车8车、大客车1辆，
方案二：小客车5辆，大客车3辆，
方案三：小客车2辆，大客车5辆；
②根据题意，得W=6000m+7500×=1000m+47500，
∵1000＞0，∴W随m的增大而增大，
∴当m=2时，W有最小值为：49500．
答：租用小客车2辆，大客车5辆时费用最小，最小费用为49500元．
【变式训练2】现在以及未来，会有更多的高科技应用在我们日常的生产生活中，比如：无人机放牧，机器狗导盲，智能化无人码头装卸等．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运25吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物450吨．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2.5万元，该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，同时厂家要求A型机器人购买量不得少于10台，请根据以上要求，求出A，B两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
(2)A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
【解析】(1)解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，每台B型机器人每天搬运货物y吨，根据题意得：
，解得：，
则每台A型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物75吨；
(2)设：A种机器人采购m台，B种机器人采购（20﹣m）台，总费用为w（万元），根据题意得：m≥10；
w＝3m+2.5（20﹣m）＝0.5m+50．
∵0.5＞0，∴w随着m的减少而减少．
∴当m＝10时，w有最小值，w最小＝0.5×10+50＝55．
∴A、B两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是55万元．
【变式训练3】一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向武汉运送爱心物资．两次满载的运输情况如表：

甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
3
4
31
第二次
2
6
34
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
（2）由于疫情的持续，该公司安排甲乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于48.4吨，其中每辆甲车一次运送花费500元，每辆乙车一次运送花费300元，请问该公司应如何安排车辆最节省费用？
【答案】（1）甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；（2）该公司应安排甲种货车9辆，乙种货车1辆最节省费用
【详解】解：（1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资，
根据题意，得，解得：，
∴甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资，
答：甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和4吨物资；
（2）设安排甲货车z辆，乙货车（10-z）辆，总运费为w元，根据题意得，
w=500z+300（10-z）=200z+3000，
∵200＞0，∴w随z的增大而增大，
∵运送的物资不少于48.4吨，
∴，∴，
又∵z是整数，∴当z=9时，w的值最小为w=200×9+3000=4800，
答：该公司应安排甲种货车9辆，乙种货车1辆最节省费用．
类型二、销售利润问题
例．在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润是60元，批发一箱该种葡萄的利润是30元．
(1)已知该水果店元日放假三天卖出100箱这种葡萄共获利润3600元，求该水果店元旦放假三天零售、批发该种葡萄分别是多少箱？（要求：列二元一次方程组解应用问题）
(2)现该水果店要经营1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发各多少箱时，才能使总利润最大？并直接写出最大总利润是多少元？
【答案】(1)零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱；
(2)当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元．
【解析】(1)设零售该种葡萄x箱，批发该种葡萄y箱，由题意可得，
，解得，
∴零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱；
(2)设零售该种葡萄a箱，则批发该种葡萄（1000﹣a）箱，利润为W元，
由题意可得，W＝60a+30（1000﹣a）＝30a+30000，
∵30＞0，∴W随a的增大而增大，
又∵a≤200，
∴当a＝200时，利润最大为30×200+30000＝36000，
此时1000﹣200＝800（箱），
∴当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大为36000元．
【变式训练1】某水果店以4元千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元．
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有的损耗，第二次购进的水果有的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
【答案】(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果；(2)6元
【解析】(1)解：设该水果店两次分别购买了元和元的水果．根据题意，得
，解得，经检验，符合题意．
答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果．
(2)解：第一次所购该水果的重量为（千克）．
第二次所购该水果的重量为（千克）．
设该水果每千克售价为元，根据题意，得
．解得．
答：该水果每千克售价至少为6元．
【变式训练2】2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
(1)求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
(2)求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；
(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元
(2)w＝50a+16500，a的值为0，2，4，6，8
(3)每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元
【解析】(1)设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：
，解得，
答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；
(2)由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；
1.5（22﹣a）≥2a，解得a≤，
又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴a的值为0，2，4，6，8．
(3)由（2）得w＝50a+16500，
∵50＞0，∴w随a的增大而增大，
∴当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）．
答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．
【变式训练3】在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
(2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？
【答案】(1)A为0.15元，B为0.2元
(2)药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元
【解析】(1)设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：
，解得，
答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；
(2)根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；
根据题意得，，解得500≤x≤1000，
∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），
∵﹣0.05＜0，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，∴当x＝500时，y取最大值为375元，则2000﹣x＝1500
即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．
类型三、行程问题
例．某边防部队接到情报，近海处有一艘可疑船只A正向出海方向行驶，边防部队迅速派出快艇B追赶．在追赶过程中，设可疑船只A相对于海岸的距离为（海里），快艇B相对于海岸的距离为（海里），追赶时间为t（分钟），与t之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）分别求出与t之间的函数解析式；
（2）快艇B需要多长时间才能追上可疑船只A？
【答案】（1），；（2）快艇B需要分钟（16分40秒）才能追上可疑船只A．
【详解】解：（1）设，
把（0，5）、（10，7）代入得：，解得：，∴，
设，把（10，5）代入得：，解得：，∴；
（2）联立得两解析式：，解得：．
答：快艇B需要分钟（16分40秒）才能追上可疑船只A．
【变式训练1】当前，新冠肺炎疫情仍在全球蔓延，国内疫情也呈现多地散发、部分聚集态势，接种新冠疫苗是构筑全民免疫的有力屏障，重庆市八月启动岁学生新冠病毒疫苗接种工作，小南和小开计划在父母陪同下前往医院接种新冠疫苗，小南从小区匀速步行前往医院接种，同时，小开留观结束从医院返回小区，两人之间的距离（m）与步行时间（min）的关系如图所示．

（1）小区和医院的距离为 m，小南和小开出发 min后相遇；
（2）若小南的步行速度比小开的步行速度快；求小南和小开步行的速度各是多少？
（3）计算出点对应的步行时间和两人之间的距离，并解释点的实际意义．
【答案】（1）2025，；（2）小南的步行速度为m/min，小开的步行速度为60 m/min；（3）点表示两人除法27min时，小南到达医院，两人此时相距米．
【详解】（1）由函数图像可得小区和医院的距离为2025m，当时，他们相遇，即
故答案为：；
（2）设小南的速度为 m/min，小开的速度为 m/min，两人15分钟相遇，则可得，，
小南的步行速度比小开的步行速度快，
则小开在相遇后走的路程为小南相遇前走的路程，
则，解得
答：小南的步行速度为m/min，小开的步行速度为60 m/min．
（3）设点的坐标为，则可得方程，解得，
1620，．
点表示两人除法27min时，小南到达医院，两人此时相距米．
【变式训练2】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；
②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
【答案】（1）10；（2）1.5千米；（3）15千米或30千米．
【详解】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，
∴共设置补给站（422）÷5+1+1=10（个），故答案为：10
（2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，
根据题意得：，解得：，
∴42÷（29-1）=1.5（千米），
答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米．
（3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，
∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站，
∴5m=1.5n，∴m=n，
∵m、n是正整数，∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米），
当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米），
当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去，
综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米．
类型四、分配问题
例．某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．

(1)生产前，要画直观图．现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全正方体模型的直观图．
(2)该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有22名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？
(3)现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了2800元，请问该学校应该如何购买该教具？（直接写出答案即可）
品种
高档
中档
低档
价格/元
20
15
10
【答案】(1)见解析
(2)安排12人生产塑料棒，10人生产金属球
(3)学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套．
【解析】(1)如图即为所求：

(2)设安排x人生产塑料棒，（22﹣x）人生产金属球，由题意可得：
，解得：x＝12，
22﹣x＝22﹣12＝10（人），∴安排12人生产塑料棒，10人生产金属球；
(3)设购买高档教具a套，中档教具b套，低档教具c套，
①若购买高档和中档教具，由题意可得：
，解得：（不合题意，舍去）；
②若购买高档和低档教具，由题意可得：
，解得：；
③若购买中档和低档教具，由题意可得：
，解得：，
综上，学校可以购买高档教具80套，低档教具120套或中档教具160套，低档教具40套．
【变式训练1】某社区拟建甲，乙两类摊位以激活“地摊经济”，1个甲类摊位和2个乙类摊位共占地面积14平方米，2个甲类摊位和3个乙类摊位共占地面积24平方米．
(1)求每个甲，乙类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建甲，乙两类摊位共100个，且乙类摊位的数量不多于甲类摊位数量的3倍，求甲类摊位至少建多少个？
【答案】(1)每个甲类摊位占地6平方米，每个乙类摊位占地4平方米；(2)甲摊位至少建25个
【解析】(1)解：设每个甲类摊位占地平方米，每个乙类摊位占地平方米，     
依题意得：， 解得：，
答：每个甲类摊位占地平方米，每个乙类摊位占地平方米．
(2)解：设建造甲类摊位个，则建造乙类摊位个，            
依题意得：，解得：．            
答：甲摊位至少建个．
【变式训练2】成都市某在建地铁工程需要将一批水泥运送到施工现场，现有甲、乙两种货车可以租用．已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送46吨水泥，1辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运送28吨水泥．
(1)求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨水泥？
(2)已知甲种货车每辆租金为450元，乙种货车每辆租金为400元，现租用甲、乙共9辆货车．请求出租用货车的总费用（元）与租用甲种货车的数量（辆）之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，为了保障能拉完这批水泥，发现甲种货车不少于5辆，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？
【答案】(1)甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥
(2)
(3)租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元
【解析】(1)解：设甲种货车一次原装吨水泥，乙种货车一次能装吨水泥，由题意得，
，解得，
∴设甲种货车一次原装8吨水泥，乙种货车一次能装10吨水泥．
(2)解：∵甲种货车有辆，∴乙种货年有辆．
(3)解：，，
，，随的增大而增大，
∴当时，有（元）
∴租用甲货5辆，租用乙货车4辆时，费用最少，为3850元．
课后练习
1．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元， B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（       ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【答案】D
【详解】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，
当C种奖品个数为1个时，
根据题意得10m＋20n＋30＝200，整理得m＋2n＝17，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜17，∴n＝1，2，3，4，5，6，7，8；
当C种奖品个数为2个时，
根据题意得10m＋20n＋60＝200，整理得m＋2n＝14，
∵m、n都是正整数，0＜2n＜14，
∴n＝1，2，3，4，5，6；∴有8＋6＝14种购买方案．故选：D．
2．如图，A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离与时间的关系如图所示，则乙出发几小时后和甲相遇？（       ）

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】A
【详解】解：∵乙以的速度匀速行驶1小时到C，C（2,2），
点D（4，20）点E（5，20），
设OE解析式为，CD解析式为，
点E在图像上，，解得，
∴OE解析式为，
点C、D在图像上，，解得，
CD解析式为，
乙出发后和甲相遇路程相等得，解得，
乙出发时后和甲相遇．故选择A．

3．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（       ）
A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米
【答案】C
【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，
依题意得： ，解得： ， ，故选：C．
4．从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，
∴，返回时，列方程为，联立方程组为，
故选C．
5．现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是（       ）

A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴xy=10×6=60．故选：D．
6．某大酒店客房部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通间客房每人每天收费50元）．为吸引客源，在“元旦”期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠，一个50人的旅游团在十二月三十一号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房．

普通间（元/人/天）
豪华间（元/人/天）
贵宾间（元/人/天）
三人间
50
100
500
双人间
70
150
800
单人间
100
200
1500

(1)如果每个客房正好住满，一天共需住宿费1510元，求三人间、双人间普通客房各住了多少间？
(2)设三人间共住了x人，且按实际占用的床位收费，一天的住宿费用y元表示，写出y与x的函数关系式；
(3)为了方便管理，酒店规定不同旅行团的成员不得混住到同一间寝室，且收费方式改为按该团占用的寝室个数收费．比如，某旅行团住了一个三人间，但只住了两个旅客，若仍按三人入住收费．如果你是该团领队，你认为（1）中的住宿方式是不是费用最少的？为什么？
【答案】(1)三人间住了8间，双人间住了13间；(2)；(3)不是，理由见解析
【解析】(1)设三人间住了a间，双人间住了b间，由题意可得：
，解得：，
∴三人间住了8间，双人间住了13间；
(2)设三人间住了x人，则双人间住了人，
∴
∴y与x的函数关系式为；
(3)在中，，
∵y随x的增大而减小，又∵x须为非负整数且是小于50的3的倍数，是2的倍数，
∴x的最大值为48，即当时，y取得最小值为1270．
此时三人间住间，双人间住间．
∴（1）中的入住方式不是费用最少的．
7．某超市在冬至这天，购进了大量羊腿和羊排．顾客甲买了4斤羊腿，3斤羊排，一共花了272元；顾客乙买了2斤羊腿，1斤羊排，一共花了116元．
(1)羊腿和羊排的售价分别是每斤多少元？
(2)第二天进货时，超市老板根据前一天的销售情况，决定购进羊腿和羊排共180斤，且羊腿的重量不少于120斤，若在售价不变的情况下，每斤羊腿可盈利6元，而羊排的利润率为25%，问超市老板应该如何进货才能使得这批羊肉卖完时获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)羊腿和羊排的售价分别是38元，40元
(2)超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大为1200元．
【解析】(1)设羊腿的售价每斤为a元，羊排的售价每斤为b元，
根据题意，得，解得，答：羊腿和羊排的售价分别是38元，40元；
(2)每斤羊排的进价为：40÷(1＋25%)＝32（元），每斤羊排的利润为：32×25%＝8（元），
设购进羊腿x斤，这批羊肉卖完时总获利为w元，
∵羊腿的重量不少于120斤，
∴x≥120，
w＝6x＋8(180－x)＝－2x＋1440，
∵－2＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w取得最大值，且w最大＝－2×120＋1440＝1200，
此时180－120＝60（斤）．
答：超市老板应该购进120斤羊腿，60斤羊排，才能使得这批羊肉卖完时获利最大为1200元．
8．小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为，且粗细相同的钢管分别为100根，32根，并要求这些用料不能是焊接而成的，现钢材市场的这种规格的钢管每根为．
（1）试问一根长的圆钢管有哪些剪裁方法呢，请填写下空（余料作废）．
方法①：当只裁剪长为的用料时，最多可剪_______根．
方法②：当先剪下1根时，余下部分最多能剪_______根长．
方法③：当先剪下2根时，余下部分最多能剪________根长．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料．
【答案】（1）7，4，1（2）用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管.
【详解】解：（1）①6÷0.8=7…0.4，因此当只裁剪长为0.8m的用料时，最多可剪7根；
②（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
③（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此当先剪下2根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料1根；
故答案为：7，4，1．
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪y根6m长的钢管，
由题意，得， 解得：．
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m长的钢管；
9．运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载)
车型
甲
乙
丙
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
450
600
700
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆?
（3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元?
【答案】（1）4；（2）需要甲型车8辆，乙型车10辆；（3）需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元．
【详解】解：（1）（辆），
即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完，
故答案为：4；
（2）设需要甲型车辆，乙型车辆，
由题意得：，解得，符合题意，
答：需要甲型车8辆，乙型车10辆；
（3）设需要甲型车辆，乙型车辆，则需要丙型车辆，
由题意得：，
整理得：，则，
均为正整数，
只能等于5，
，，
此时总运费为（元），
答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元．