专题02  实数

1、平方根

定义1：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。即。

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。即。

定义3：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、立方根

定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

3、无理数

无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有π的数，如等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60°等

4、实数

有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。

5、实数的分类

分法一：

分法二：

6、实数的比较大小

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

，

，

[来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:Z*xx*k.Com]

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，[来源:学&科&网Z&X&X&K][来源:学+科+网]

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

7、实数的运算

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

1、加法交换律        

2、加法结合律        

3、乘法交换律         [来源:Zxxk.Com]

4、乘法结合律        

5、乘法对加法的分配律

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。