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初中数学中考复习 专题02 整式与因式分解-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题02 整式与因式分解-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（全国通用）（原卷版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题02 整式与因式分解
一、单选题
1．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东临沂）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
4．（2022·广西河池）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
5．（2022·广西柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
6．（2021·广西百色）下列各式计算正确的是（ ）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2＋3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
7．（2021·甘肃兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
8．（2022·青海）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·四川广安）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·黑龙江大庆）若，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．1 D．－1
11．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
12．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2022·广西玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B． C．2 D．0
14．（2021·内蒙古）若，则代数式的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
15．（2021·江苏苏州）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
16．（2021·山东临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
17．（2020·四川眉山）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·青海）下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．（2020·广西柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
21．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有意义，则．其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
22．（2021·广西贺州）多项式因式分解为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·四川眉山）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·浙江金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
25．（2020·湖南益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2020·内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A． B． C． D．1
二、填空题
27．（2022·江苏常州）计算：_______．
28．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要__________元．（用含的代数式表示）
29．（2022·天津）计算的结果等于___________．
30．（2022·四川广安）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
31．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
32．（2022·黑龙江大庆）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________．
33．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
34．（2021·贵州黔西）已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝________．
35．（2021·贵州铜仁）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；
36．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
37．（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
38．（2022·辽宁锦州）分解因式：____________．
39．（2022·贵州黔东南）分解因式：_______．
40．（2020·浙江）化简：＝_____．
41．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
42．（2022·四川自贡）化简： ＝____________．
43．（2021·四川内江）若实数满足，则__．
44．（2021·广东）若且，则_____．
45．（2021·湖北十堰）已知，则_________．
46．（2020·湖南）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
三、解答题
47．（2021·吉林长春）先化简，再求值：，其中．
48．（2021·湖南永州）先化简，再求值：，其中．
49．（2021·河北）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．
（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
50．（2020·江苏南通）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）
51．（2020·河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
52．（2021·贵州安顺）（1）有三个不等式，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：
（2）小红在计算时，解答过程如下：
第一步
第二步
第三步
小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．
53．（2022·广东广州）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
54．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）．
解：（）
．
55．（2022·河北）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
56．（2022·浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
57．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
58．（2021·湖北鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
59．（2021·四川凉山）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
60．（2021·黑龙江齐齐哈尔）（1）计算：．
（2）因式分解：．
61．（2022·广西河池）先化简,再求值,其中
62．（2021·甘肃武威）先化简，再求值：，其中．
63．（2021·广东广州）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
64．（2020·贵州毕节）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；
（2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
65．（2020·浙江嘉兴）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；
②当x＝0时，x2+1 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
66．（2020·江苏苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
67．（2020·重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
68．（2022·四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
69．（2022·重庆）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
专题02 整式与因式分解
一、单选题
1．（2022·湖南郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山东临沂）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·内蒙古包头）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
4．（2022·广西河池）多项式因式分解的结果是( )
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
5．（2022·广西柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
6．（2021·广西百色）下列各式计算正确的是（ ）
A．33＝9 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2＋3＝5 D．（2a2b）3＝8a8b3
7．（2021·甘肃兰州）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形的面积为13，中间空白处的四边形的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为和，则（ ）
A．12 B．13 C．24 D．25
8．（2022·青海）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·四川广安）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020·黑龙江大庆）若，则的值为（ ）
A．－5 B．5 C．1 D．－1
11．（2022·广东广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
12．（2022·内蒙古呼和浩特）以下命题：①面包店某种面包售价元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了元；②等边三角形中，是边上一点，是边上一点，若，则；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2022·广西玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B． C．2 D．0
14．（2021·内蒙古）若，则代数式的值为（ ）
A．7 B．4 C．3 D．
15．（2021·江苏苏州）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
16．（2021·山东临沂）实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是（ ）
A．4860年 B．6480年 C．8100年 D．9720年
17．（2020·四川眉山）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·内蒙古呼和浩特）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·青海）下面是某同学在一次测试中的计算：
①；②；③；④，其中运算正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．（2020·广西柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
21．（2022·内蒙古通辽）下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有意义，则．其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
22．（2021·广西贺州）多项式因式分解为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·四川眉山）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
24．（2020·浙江金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
25．（2020·湖南益阳）下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2020·内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解；
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；
（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A． B． C． D．1
二、填空题
27．（2022·江苏常州）计算：_______．
28．（2022·吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要__________元．（用含的代数式表示）
29．（2022·天津）计算的结果等于___________．
30．（2022·四川广安）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________．
31．（2022·四川乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
32．（2022·黑龙江大庆）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为____________．
33．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
34．（2021·贵州黔西）已知2a﹣5b＝3，则2+4a﹣10b＝________．
35．（2021·贵州铜仁）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是______________；
36．（2021·河北）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为___________；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片___________块．
37．（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
38．（2022·辽宁锦州）分解因式：____________．
39．（2022·贵州黔东南）分解因式：_______．
40．（2020·浙江）化简：＝_____．
41．（2022·浙江丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
42．（2022·四川自贡）化简： ＝____________．
43．（2021·四川内江）若实数满足，则__．
44．（2021·广东）若且，则_____．
45．（2021·湖北十堰）已知，则_________．
46．（2020·湖南）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
三、解答题
47．（2021·吉林长春）先化简，再求值：，其中．
48．（2021·湖南永州）先化简，再求值：，其中．
49．（2021·河北）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进本甲种书和本乙种书，共付款元．
（1）用含，的代数式表示；
（2）若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示的值．
50．（2020·江苏南通）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）
51．（2020·河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
52．（2021·贵州安顺）（1）有三个不等式，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它的解集：
（2）小红在计算时，解答过程如下：
第一步
第二步
第三步
小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．
53．（2022·广东广州）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
54．（2022·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：（）．
解：（）
．
55．（2022·河北）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
56．（2022·浙江金华）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当时，该小正方形的面积是多少？
57．（2022·浙江嘉兴）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
(2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若与100a的差为2525，求a的值．
58．（2021·湖北鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当且仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
59．（2021·四川凉山）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，
记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设，则．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：①___________；②_______，③________；
（2）求证：；
（3）拓展运用：计算．
60．（2021·黑龙江齐齐哈尔）（1）计算：．
（2）因式分解：．
61．（2022·广西河池）先化简,再求值,其中
62．（2021·甘肃武威）先化简，再求值：，其中．
63．（2021·广东广州）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
64．（2020·贵州毕节）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；
（2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
65．（2020·浙江嘉兴）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1 2x；
②当x＝0时，x2+1 2x；
③当x＝﹣2时，x2+1 2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
66．（2020·江苏苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为．
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
67．（2020·重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
68．（2022·四川凉山）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
69．（2022·重庆）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，∵，∴2543是“勾股和数”；
又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”．
(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
(2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的．
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