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初中数学中考复习 专题03 一次方程（组）和一次不等式（组）（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 专题03 一次方程（组）和一次不等式（组）（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（解析版），共19页。试卷主要包含了等式的性质，一元一次方程，一元一次方程的解，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，几种常见的不等式组的解集等内容，欢迎下载使用。
专题03 一次方程(组)和一次不等式（组）复习考点攻略
考点01 一元一次方程相关概念
1．等式的性质：
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．
【注意】x前面的系数不为0．
3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4. 一元一次方程的求解步骤：
步骤
解释
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
【例 1】若是一元一次方程,则等于（ ）
A．1 B．2
C．1或2 D．任何数
【答案】B
【解析】根据一元一次方程最高次为一次项，得│2m−3│=1，解得m=2或m=1，
根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m−1≠0,解得m≠1，所以m=2.
故选B.
【例 2】关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【解析】解：关于x的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程为或，
解得：或，当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【例 3】解方程：
【答案】
【解析】解：
考点02 二元一次方程组相关概念
1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4．二元一次方程组的解法：
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）
6. 一元一次方程（组）的应用：
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
【例 4】已知－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，那么(n－m)2 012＝______
【答案】1
【解析】由于－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，所以有由m－1＝n，得－1＝n－m.所以(n－m)2 012＝(－1)2 012＝1.
【例5】如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值．
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．
(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
【答案】（1）2，（2）（3）见解析
【解析】解：(1)当x＝1时，y＝1＋1＝2，∴b＝2.
(2)
(3)∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，∴当x＝1时，y＝m＋n＝b＝2.∴ 当x＝1时，y＝n＋m＝2，∴直线l3：y＝nx＋m也经过点P.
【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措。国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金。今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部。已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x元，以下方程正确的是（ ）
A. 20x·13%＝2340
B. 20x＝2340×13%
C. 20x（1－13%）＝2340
D. 13%·x＝2340
【答案】A
【解析】购机补贴是按手机售价的13%补贴的，每部手机售价x元，补贴为x·13%元，20部手机的补贴应为20x·13%元。
考点03 不等式的概念、性质及解集表示
1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性质：
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
【注意】：在解不等式时，不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
【例7】已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．12a+1＜12b+1 D．ma＞mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断．
A.在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.在不等式a＜b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a＜12b，不等式12a＜12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1＜12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
【例8】不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．移项得，2x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示为：
．
考点04 一元一次不等式（组）相关概念及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
3．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
4．一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
5．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
6．几种常见的不等式组的解集
设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
【例9】不等式组2(x-2)≤2-x，x+22＞x+33的解集是（ ）
A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
2(x-2)≤2-x①x+22＞x+33②，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2。
【例10】不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：．
【例11】关于x的不等式x-m＞07-2x＞1的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
不等式组整理得：x＞mx＜3，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤m＜﹣1
考点05 不等式（组）的实际问题
1. 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：检验并写出答案。
【例12】 为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：2x+3y=6005x+6y=1350，
解得：x=150y=100，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：150a+100(12-a)≥15005000a+3000(12-a)＜54000，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1. 方程的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将方程系数化1可得．故选A．
2．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
3.方程2y－＝y－中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是.这个常数应是
A．1 B．2
C．3 D．4
4. 已知是二元一次方程组的解则2m－n的算术平方根为( )
A．± 2 B. C．2 D．4
【答案】C
【解析】把代入得解得所以2m－n＝6－2＝4, 4的算术平方根是2.故选C.
5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【答案】A
【解析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：12x＝（x﹣5）﹣5．
6. 若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】∵3x+a≤2，∴3x≤2﹣a，则x≤2-a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤2-a3＜3，解得：﹣7＜a≤﹣4
7. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4
8. 从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【答案】B．
【解析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
解：得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
9. 不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
10.若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【解析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
A、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、设a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝ 。
【答案】．
【解析】据同类项的意义得方程 3x－1＝ 6x＋3，
解得x＝．
12. x＝9 是方程的解，那么 ，当1时，方程的解 ；
【答案】1，x＝9或x＝3．
【解析】当1时，方程转化为两个一元一次方程
解得 或.
13．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 元．
【答案】100或85．
【解析】设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
14.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 折．
【答案】8
【解析】设商店打x折，
依题意，得：180×x10-120＝120×20%，
解得：x＝8．
15.不等式组的解集为________．
【答案】－6＜x≤13
【解析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜≤13
16. 某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为
【答案】9
【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17. 解方程组：
【答案】
【解析】解：原方程组可化为
①×2＋②，得11x＝22，∴x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
∴方程组的解为
18.解不等式组5x-1＞3(x+1)12x-1≤4-13x
【答案】2＜x≤6．
【解析】解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式12x﹣1≤4-13x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6
19. 若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【答案】点P在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．
20. 如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴50-2b≥1850-2b≤26，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】见解析。
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：2x+5y=324x+3y=36，
解得：x=6y=4．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：6m+4(54-m)≤260m＞20，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
22．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【答案】见解析。
【解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：
x+3y=1362x+y=132，
解得：x=52y=28，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据题意可得：
52a+28（30﹣a）≤960，
解得：a≤5，
答：最多可以购买5个大地球仪．
专题03 一次方程(组)和一次不等式（组）复习考点攻略
考点01 一元一次方程相关概念
1．等式的性质：
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．
【注意】x前面的系数不为0．
3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
4. 一元一次方程的求解步骤：
步骤
解释
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
【例 1】若是一元一次方程,则等于（ ）
A．1 B．2
C．1或2 D．任何数
【答案】B
【解析】根据一元一次方程最高次为一次项，得│2m−3│=1，解得m=2或m=1，
根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m−1≠0,解得m≠1，所以m=2.
故选B.
【例 2】关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．
【答案】或或x=-3．
【解析】解：关于x的方程如果是一元一次方程，
，即或，方程为或，
解得：或，当2m-1=0，即m=时，方程为解得：x=-3，
故答案为x=2或x=-2或x=-3．
【例 3】解方程：
【答案】
【解析】解：
考点02 二元一次方程组相关概念
1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4．二元一次方程组的解法：
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）
6. 一元一次方程（组）的应用：
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．
【例 4】已知－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，那么(n－m)2 012＝______
【答案】1
【解析】由于－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，所以有由m－1＝n，得－1＝n－m.所以(n－m)2 012＝(－1)2 012＝1.
【例5】如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．
(1)求b的值．
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．
(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．
【答案】（1）2，（2）（3）见解析
【解析】解：(1)当x＝1时，y＝1＋1＝2，∴b＝2.
(2)
(3)∵直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)，∴当x＝1时，y＝m＋n＝b＝2.∴ 当x＝1时，y＝n＋m＝2，∴直线l3：y＝nx＋m也经过点P.
【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举措。国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格13%的补贴资金。今年5月1日，甲商场向农民销售某种家电下乡手机20部。已知从甲商场售出的这20部手机国家共发放了2340元的补贴，若设该手机的销售价格为x元，以下方程正确的是（ ）
A. 20x·13%＝2340
B. 20x＝2340×13%
C. 20x（1－13%）＝2340
D. 13%·x＝2340
【答案】A
【解析】购机补贴是按手机售价的13%补贴的，每部手机售价x元，补贴为x·13%元，20部手机的补贴应为20x·13%元。
考点03 不等式的概念、性质及解集表示
1．不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性质：
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
【注意】：在解不等式时，不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
【例7】已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．12a+1＜12b+1 D．ma＞mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断．
A.在不等式a＜b的两边同时减去1，不等号的方向不变，即a﹣1＜b﹣1，原变形正确，故此选项不符合题意；
B.在不等式a＜b的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C.在不等式a＜b的两边同时乘以12，不等号的方向不变，即12a＜12b，不等式12a＜12b的两边同时加上1，不等号的方向不变，即12a+1＜12b+1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D.在不等式a＜b的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即ma＞mb，或ma＜mb，或ma＝mb，原变形不正确，故此选项符合题意．
【例8】不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．移项得，2x≤3+1，合并同类项得，2x≤4，x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示为：
．
考点04 一元一次不等式（组）相关概念及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
3．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
4．一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.
5．一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
6．几种常见的不等式组的解集
设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
【例9】不等式组2(x-2)≤2-x，x+22＞x+33的解集是（ ）
A．0＜x≤2 B．0＜x≤6 C．x＞0 D．x≤2
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
2(x-2)≤2-x①x+22＞x+33②，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤2。
【例10】不等式组3(x-2)≤x-43x＞2x-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解．
3(x-2)≤x-4①3x＞2x-1②，
由①得x≤1；
由②得x＞﹣1；
故不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
在数轴上表示出来为：．
【例11】关于x的不等式x-m＞07-2x＞1的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m≤﹣1 B．﹣2≤m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．﹣3＜m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
不等式组整理得：x＞mx＜3，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤m＜﹣1
考点05 不等式（组）的实际问题
1. 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：检验并写出答案。
【例12】 为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：2x+3y=6005x+6y=1350，
解得：x=150y=100，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：150a+100(12-a)≥15005000a+3000(12-a)＜54000，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）
1. 方程的解是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将方程系数化1可得．故选A．
2．关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
可得：a-2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
3.方程2y－＝y－中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是.这个常数应是
A．1 B．2
C．3 D．4
4. 已知是二元一次方程组的解则2m－n的算术平方根为( )
A．± 2 B. C．2 D．4
【答案】C
【解析】把代入得解得所以2m－n＝6－2＝4, 4的算术平方根是2.故选C.
5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【答案】A
【解析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，依题意，得：12x＝（x﹣5）﹣5．
6. 若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．﹣7＜a＜﹣4 B．﹣7≤a≤﹣4 C．﹣7≤a＜﹣4 D．﹣7＜a≤﹣4
【答案】D
【解析】∵3x+a≤2，∴3x≤2﹣a，则x≤2-a3，
∵不等式只有2个正整数解，
∴不等式的正整数解为1、2，
则2≤2-a3＜3，解得：﹣7＜a≤﹣4
7. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，
∴不等式组的解集为：＜x≤4
8. 从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【答案】B．
【解析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．
解：得，
∵不等式组无解，
∴a≤1，
解方程﹣=﹣1得x=，
∵x=为整数，a≤1，
∴a=﹣3或1，
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
9. 不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．10 B．7 C．6 D．0
【答案】A
【解析】，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10
10.若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
【答案】C
【解析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C．
A、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意；
B、设a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意；
D、设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意．
第二部分 填空题
二、 填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）
11．若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝ 。
【答案】．
【解析】据同类项的意义得方程 3x－1＝ 6x＋3，
解得x＝．
12. x＝9 是方程的解，那么 ，当1时，方程的解 ；
【答案】1，x＝9或x＝3．
【解析】当1时，方程转化为两个一元一次方程
解得 或.
13．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 元．
【答案】100或85．
【解析】设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
14.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 折．
【答案】8
【解析】设商店打x折，
依题意，得：180×x10-120＝120×20%，
解得：x＝8．
15.不等式组的解集为________．
【答案】－6＜x≤13
【解析】根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交集，则不等式无解．
，解得
在坐标轴上表示为：
∴不等式组的解集为﹣6＜≤13
16. 某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为
【答案】9
【解析】根据15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．
设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，
则15an＝2160，
得到an＝144．
所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．
整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．
∵an＝144．
∴将其代入化简，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，
整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．
∵n＞x，
∴n﹣x＞0，
∴a＞8．
∴a至少为9．
第三部分 解答题
三、解答题（本题有6小题，共56分）
17. 解方程组：
【答案】
【解析】解：原方程组可化为
①×2＋②，得11x＝22，∴x＝2.
把x＝2代入①，得y＝3.
∴方程组的解为
18.解不等式组5x-1＞3(x+1)12x-1≤4-13x
【答案】2＜x≤6．
【解析】解不等式5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2，
解不等式12x﹣1≤4-13x，得：x≤6，
则不等式组的解集为2＜x≤6
19. 若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．
【答案】点P在的第四象限．
【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．
，
解①得：x≥4，
解②得：x≤4，
则不等式组的解是：x＝4，
∵＝1，2x﹣9＝﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．
20. 如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为a（m），宽为b（m）．
（1）当a＝20时，求b的值；
（2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】（1）依题意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴50-2b≥1850-2b≤26，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范围为12≤b≤16
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】见解析。
【解析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：2x+5y=324x+3y=36，
解得：x=6y=4．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：6m+4(54-m)≤260m＞20，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
22．昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【答案】见解析。
【解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意可得：
x+3y=1362x+y=132，
解得：x=52y=28，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为a台，则每个小地球仪为（30﹣a）台，根据题意可得：
52a+28（30﹣a）≤960，
解得：a≤5，
答：最多可以购买5个大地球仪．
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