初中数学中考复习 专题4 抛物线上的线段长问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

专题四 抛物线上的线段长问题的转化与探究

知识点：平面直角标中相应线段长的计算

AM=          ,  BM=          ,AB=          ,

答案：，,.

典例

类型一： 可转化为线段长类的面积型问题

例1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．

  （1）求抛物线的解析式；

  （2）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组

求解即可得出点Q的坐标．[来源:学科网ZXXK]

类型二：平行于y轴的线段长的问题

例2．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，则AB＝＝（a﹣1）2＝16，即可求解；

（2）设点E（m，m2+2m﹣3），点F（﹣3﹣m，m2+4m），四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN，即可求解；

（3）分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．

变式训练

1．如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．

2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(−4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．

（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
 

3．如图1，抛物线y=ax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．矩形OADC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．

  （1）求抛物线的解析式；

  （2）点P是直线EO 上方抛物线上的一个动点，作PH⊥EO，垂足为H，求PH的最大值；

  （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M、N的坐标．

4．已知抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，抛物线的对称轴经过点C（2，﹣2），顶点为M．

（1）求b的值及直线AC的解析式；

（2）P是抛物线在x轴上方的一个动点，过P的直线y＝﹣x+m与直线AC交于点D，与直线MC交于点E，连接MD，MP．

①当m为何值时，MP⊥PD？

②DE+DP的最大值是多少（直接写出结果）：

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式，并写出点D的坐标；

（2）如图1，直线x=2与x轴交于点N，与直线AD交于点G，点P是直线x=2上的一动点，当点P到直线AD的距离等于点P到x轴的距离时，求点P的坐标；

（3）如图2，直线y=﹣x+m经过点A，交y轴于点C，在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA=2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

例1．（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1）．

∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13．

∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0．解得m1＝2，m2＝﹣5．

∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧．∴m＝2．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF．

∵S△ACQ＝2S△AOC，∴S△ACF＝2S△AOC．∴AF＝2OA＝2．∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．

∵AC∥FQ，∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b．[来源:Z&xx&k.Com]

将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3．∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．

联立，解得

∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．

例2．解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，

则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，

则AB＝＝（a﹣1）2＝16，

解得：a＝5或﹣3，

抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，

则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；

（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），

设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，

直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，

则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：

直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，

联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，

故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3），

则EF＝（xF﹣xE）＝（﹣2m﹣3）＝MN，

四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，

∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，

故点E的横坐标为：﹣；

（3）①当点Q在第三象限时，

当QC平分四边形面积时，

则|xQ|＝xB＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；

当BQ平分四边形面积时，

则S△OBQ＝×1×|yQ|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|xQ|，

则2（×1×|yQ|）＝1×3+×3×|xQ|，

解得：xQ＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；

②当点Q在第四象限时，

同理可得：点Q（，）；

综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．

变式训练

1．解：（1）由题意得：，解得，

∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

（2）当x＝0时，y＝3，则C为（0，﹣3），

易得直线BC的函数解析式为：y＝x﹣3，

设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则M的坐标为（t，t﹣3），

∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t

＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣1＜0且0＜t＜3，

∴当t＝时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，﹣）．

2.解答

3．（1）∵矩形OADC的边CD=1，∴OA=1．而AB=4，∴OB=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a=2，解得a=﹣．∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=1，当x=0时，y=﹣x2+x+2=2，则C（0，2）．

∵EC∥x轴，∴点E与点C关于直线x=1对称．∴E（2，2）．

∵OC=CE，∴△OCE为等腰直角三角形．∴∠COE=45°．

作PQ∥y轴交直线OE于Q，如图1，∴∠PGH=45°．

∵PH⊥OE，∴△PQH为等腰直角三角形．∴PH=PQ．

易得直线OE的解析式为y=x．

设P（x，﹣x2+x+2），则Q（x，x）．

∴PQ═﹣x2+x+2﹣x=﹣x2x+2．

∴PH=（﹣x2+x+2）=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+．

当x=时，PH的值最大，最大值为；

（3）∵四边形ACMN是平行四边形，

∴点A向右平移2个单位可得到N点，[来源:学,科,网]

∴点C向右平移2个单位可得到M点，则M点的横坐标为2，

当x=2时，y=﹣x2+x+2=2，则M（2，2）．

∴CM∥x轴，∴点N为对称轴与x轴的交点．∴N（1，0）．

4．（1）由题意得：抛物线y＝﹣x2+bx的对称轴为直线x＝2，

∴＝2．∴b＝4．∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x．∴A（4，0）．

∵C（2，﹣2），∴直线AC解析式为y＝x﹣4．

（2）①由题意得，MP⊥PD．∵PD⊥AD，MP⊥PD，

∴MP∥AD．

∴直线MP解析式为y＝x+2．

联立方程组，或

解得P（1，3）．∵3＝﹣1+m，∴m＝4；

②如图所示，过点C作x轴的平行线，交直线PD于点H，作PG⊥CH于点G，

∵∠HCD＝∠ECD＝45°，CD＝CD，∠CDH＝∠CDE＝90°，

∴△CDH≌△CDE（ASA）．∴DE＝DH．则DE+DP＝DH+DP＝PH．

又∵Rt△PGH中，PH＝PG，∴当PG取得最大值时，DE+DP取得最大值．

∵M（2，4），C（2，﹣2），∴当点P与点M重合时，PG取得最大值，最大值为4﹣（﹣2）＝6，则DE+DP的最大值为6．

5．（1）当x=0时，y=ax2+bx+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．

把（0，3）代入得﹣3a=3，解得a=﹣1．

所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4）；

（2）如图1，过P作PH⊥AD于点H，．

设直线AD的解析式为y=kx+p，把A（﹣1，0），D（1，4）代入得，

解得∴直线AD的解析式为y=2x+2．

当x=2时，y=2x+2=6，则G（2，6）．

设P（2，t），则PN=PH=|t|，GP=6﹣t．

在Rt△ANG中，AN=3，GN=6，

∴AG==3．∵∠PGH=∠AGN，∴Rt△GPH∽Rt△GAN∴

∴=：，即=解得t1=，t2=．

∴P点坐标为（2，，）或（2，）；

（3）存在，理由如下：

把A（﹣1，0）代入y=﹣x+m得1+m=0，解得m=1．

∵直线AC的解析式为y=﹣x﹣1，

过点D作DE∥AC，交y轴于点E，如图2，

设直线DE的解析式为y=﹣x+n．把D（1，4）代入，得﹣1+n=4，解得n=5．

∴直线DE的解析式为y=﹣x+5．

当x=0时，y=﹣x+5=5，则E（0，5）．

∴EC的中点F的坐标为（0，2）．

过点F作AC的平行线交抛物线于M，如图2，则点M到直线AC的距离等于点D到AC的距离的一半，∴S△CDA=2S△ACM．

设直线FM的解析式为y=﹣x+q．

把F（0，2）代入得q=2，∴直线FM的解析式为y=﹣x+2，解方程组

得或∴满足条件的M点的坐标为（，）．