初中数学中考复习 专题6 最短路径—将军饮马问题探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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专题六：最短路径——将军饮马问题探究
专题导例
如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE＝1，DF＝2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为　 　．

【分析】作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的。
方法剖析
直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型
（1）“两定一动型”----两个定点+一个动点
问题：在直线/上找一点P，使得PA＋PB的值最小

解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB的最小值即为线段BA′的长度．
（2）如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，PA＝PB最小？

解析：思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型
(3)两点之间线段最短的应用一般股以下类型，构建“对称模型”实现转化

导例答案：解：作F点关于BD的对称点F′，则PF＝PF′，连接EF′交BD于点P．

∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故答案为：3
典例剖析
类型一：一线两定点形成的最短路径型
例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为　　　　　．
　
【分析】：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小，
类型二：一定点与两直线上的动点形成的路径最短型
例2.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为　 　．

【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和△COD的面积，根据四边形PMON的面积为：（ S△COD+S△PMN）求得即可．
类型三：“两定点＋两定直线”型
例3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．



【方法剖析】
问题
作法
图形
原理

在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小
分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为M，N

两点之间，线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P′Q′＋PQ的长。
类型四：“两定点＋一定直线”型
例4．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是线段AC上的一点，M是线段AD上的一点，AE＝2，求EM＋MC的最小值．


【方法剖析】
问题
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
连接AB，与直线l的交点即为点P

两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB

在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
作B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为P(也可作点A关于直线l的对称点)

两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB′
专题突破
1.在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是　　　　．　　　

2.如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．
(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝　　　　；
(2)求△AMN的周长最小值．

4．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　．

5．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于D，M、N分别是BD、AB上的动点，则AM+MN的最小值是　　．

6.如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（　　）

A． （2，2） B．（，） C．（，） D．（3，3）
7.如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．






8. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法
（2）在（1）的条件下：
证明AE⊥DE；
若CD＝2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。

9.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1，0)，B（4，0），C（0，3）
(1)求抛物线的解析式；
（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC的周长的最小值；若不存在，请说明理由。


专题六：最短路径——将军饮马问题探究
例1．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小，
∵DP＝PA，∴PA＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(3，)，∴AB＝，OA＝3，
∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝2，
由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，
由勾股定理得：DN＝，
∵C(，0)，∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，
由勾股定理得：DC＝，
即PA＋PC的最小值是．
例2.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝6．
∵∠POC＝∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ＝6×＝3，
∴PQ＝6﹣3
设MQ＝x，则PM＝CM＝3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2＝（6﹣3）2，解得x＝6﹣9，
∴MN＝2MQ＝12﹣18，
∵S△PMN＝MN×PQ，
S△MON＝MN×OQ，
∴S四边形PMON＝S△MON+S△PMN＝MN×PQ+MN×OQ＝MN×OP＝×（12﹣18）×6＝36﹣54．
故答案为36﹣54．

例3.解：如答图，作点E关于BC的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，交BC于M′，交CD于N′，连接EM′，FN′，则EM′＝E′M′，FN′＝F′N′，
∴EF＋EM＋MN＋FN＝EF＋E′M′＋M′N′＋F′N′＝EF＋E′F′，
∴此时，四边形EFNM周长的最小值为EF＋E′F′的长．
∵AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，
∴AE′＝6＋3＝9，AF′＝8＋4＝12，
∴在Rt△AE′F′中，E′F′＝＝15，
在Rt△AEF中，EF＝＝5，
∴四边形EFNM周长的最小值为EF＋E′F′＝5＋15＝20.
例4.解：∵△ABC是等边三角形，
∴点C关于AD的对称点是点B，
如答图，连接BE，交线段AD于点M，则ME＋MC最小，即为BE的长．
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH＝AH－AE＝3－2＝1，
BH＝＝＝3.
在Rt△BHE中，BE＝＝＝2.
专题突破
1.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，
作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，
∵×AC×BD＝AD×E′F，∴E′F＝，∴PE＋PF的最小值为.
2.为矩形，

又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为：
3.解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．
⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，
∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，
也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.
⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝AA′＝1，∴A′H＝，A″H＝1＋4＝5，
∴A′A″＝2，
4．解：连结BP．

∵四边形ABCD为正方形，面积为16，
∴正方形的边长为4．
∵△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△ABP与△ADP关于AC对称．
∴BP＝DP．
∴PE+PD＝PE+BP．
由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值＝BE＝4．
故答案为：4．
5.解：作AE⊥BC于E，交BD于M，作MN⊥AB于N，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴MN＝ME，
∵AM+MN＝AM+ME＝AE，
根据垂线段最短可知AE就是AM+MN的最小值，
∵AB＝2，∠ABC＝60°，
∴AE＝sin∠ABC•AB＝sin60°×2＝×2＝，
∴AM+MN的最小值为，
故答案为．
6.∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵＝，点D为OB的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D（0，2），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y＝x+2，[来源:学科网]
解得，，
∴P（，），
故选：C．

7.存在．理由如下：
如答图2，作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，
则F′G＝FG，E′H＝EH，则此时四边形EFGH的周长最小．
由题意，得BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，
∴AF′＝6，AE′＝8，
∴E′F′＝10，EF＝2，
∴四边形EFGH周长的最小值为
EF＋FG＋GH＋HE＝EF＋E′F′＝2＋10.
8.（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示．


（2）①解法一：在DA上截取DG=CD，连接GE，
由（1）知∠GDE=∠CDE．∵又DE=DE，∴△GDE≌△CDE．
∴∠DGE=∠C=90°，∠DEC=∠DEC．
在△AGE和△ABE中，∠AGE=∠ABE=90°，AD=AG+DG=AB+CD，DG=CD，
∴AG=AB．又∵AE=AE，
∴Rt△AEG≌Rt△AEB∴∠AEG=∠AEB．
∴∠DEG+∠AEG=∠DEC+∠AEB=90°，即∠AED=90°，故AE⊥DE．

解法二：延长DE交AB的延长线于F．
∵CD∥AF，∴∠CDE=∠F．∵∠CDE=∠ADE，∴∠ADF=∠F．∴AD=AF．
∵AD=AB+CD=AB+BF，∴CD=BF．∵∠DEC=∠BEF，∴△DEC≌△FEB．
∴DE=EF．
∵AD=AF，∴AE⊥DE．
②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．
∵AD=AF，DE=EF，∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB．∴AK=AB=4．
在Rt△ADG中，DG=＝4，
∵KH∥DG，∴=．∴=．
∴KH=．
∵MB=MK，∴MB+MN=KM+MN．
∴当K，M，N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长．
∴BM+MN的最小值为．


9.（1）设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4)，依题意，代入点C（0，3），得a·(0-1)×(0-4)=3，∴a=.∴抛物线的解析式为y=(x-1)(x-4)=x2-x+3.
(2)存在，理由如下：
∵抛物线的对称为直线x＝，连接BC交直线x＝
∴PA+PC=PC+PB=BC.此时PC+PA最短，∴四边形PAOC的周长最小.
在Rt△BOC中，OB=4，OC＝3, ∴BC=5. ∴四边形PAOC周长的最小值为3+1+5＝9．