初中数学中考复习 专题09 反比例函数【考点精讲】（解析版）

考点1：反比例函数图象与性质

1．图象的特征：反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称。

2．反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:

【例1】（2021·山西）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ）

A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点

C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小

【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．

【详解】

解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意；

B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意；

C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意；

D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意；

故选：D．

【例2】如图，函数与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．

【详解】解：在函数和y＝﹣kx+2（k≠0）中，

当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、D错误，选项B正确，

当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，

故选：B．

（1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小;

（2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

1．（2021·江苏宿迁市）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．

【详解】

解：∵

∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；

∵0＜1＜3，-2＜0

∴y2＜y1＜0，y3＞0

∴．

故选A．

2．（2021·湖南娄底市）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（    ）

①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【分析】该函数可改写为（a为常数且），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．

【详解】

解：，

又∵，

∴随着x的增大，也会随之增大，

∴随着x的增大而减小，

此时越来越小，则越来越大，

故随着x的增大y也越来越大．

因此①正确，②错误；

∵，

∴，

∴，

故，

因此③正确，④错误；

综上所述，A选项符合．

故选：A．

3．（2021·福建）若反比例函数的图象过点，则k的值等于_________．

【分析】结合题意，将点代入到，通过计算即可得到答案．

【详解】

∵反比例函数的图象过点

∴，即

故答案为：1．

考点2：确定反比例关系式

1．反比例函数的解析式的确定

求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法。

2．反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：

【例3】（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．

【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．

【详解】

和过点A

故答案为．

【例4】如图直线y＝mx与双曲线交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，

则k的值是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．

【详解】解：由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM|k|＝1，

则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．

故选：B．

求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为 (k≠0,k为常数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。

1．（2021·江苏苏州市）如图，在平面直角坐标系中．四边形为矩形，点、分别在轴和轴的正半轴上，点为的中点已知实数，一次函数的图像经过点、，反比例函数的图像经过点，求的值．

【分析】

先根据一次函数求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，再代入反比例函数即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的坐标，最后将点D坐标代入一次函数即可求得答案．

【详解】

解：把代入，得．

∴．

∵轴，

∴点横坐标为．

把代入，得．

∴．

∵点为的中点，

∴．

∴．

∵点在直线上，

∴．

∴．

2．（2021·河南）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8．

【分析】

（1）利用待定系数法即可求解；

（2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积．

【详解】

解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上，

∴，

∴反比例函数的解析式为；

（2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等，

设B(a，a)，则有，

∴，即B(，)，

∴小正方形的边长为，

∴小正方形的面积为，

大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为，

∴大正方形的面积为，

∴图中阴影部分的面积为16-8=8．

3．已知y＝y1﹣y2，y1与x成反比例，y2与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1．

（1）y与x的函数表达式；

（2）当x＝﹣1时，求y的值．

【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式；

（2）代入x的值即可求得函数值．

【答案】解：（1）设y1，y2＝b（x﹣2），则yb（x﹣2），

根据题意得，解得，

所以y关于x的函数关系式为y4（x﹣2）；

（2）把x＝﹣1代入y4（x﹣2）；

得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15．

考点3：反比例函数的综合运用

反比例函数的实际问题是中考命题的热点，与生活联系，与物理学相联系的问题在中考中所占的比重较大。

【例5】（2021·四川自贡市）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ）

A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V

C．当时， D．当时，

【分析】

将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．

【详解】

解：设，将代入可得，故A错误；

∴蓄电池的电压是36V，故B错误；

当时，，该项正确；

当当时，，故D错误，

故选：C．

【例6】（2021·湖南常德市）如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．

（1）求n的值；

（2）求反比例函数的解析式．

【分析】

（1）根据三角形面积公式求解即可；

（2）证明，求出BE的长即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵A，且轴

∴AH=，OH=n

又的面积为．

∴ ,即

解得，；

（2）由(1)得，AH=，OH=1

∴AO=2

如图，

∵，轴，

∴，四边形AHOE是矩形，

∴AE=OH=1

又

∴

∴，即：

解得，BE=3

∴B(-3,1)

∵B在反比例函数的图象上，

∴

∴．

利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.

【失分警示】

1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；

2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。

1．（2021·浙江丽水市）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学

【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．

【详解】

解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，

根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，

∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，

故选：B．

2．（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①

【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．

【详解】

解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，

设P（m，），

则C（m，），A（m，0），B（0，），令，

则，即D（，），

∴PC==，PD==，

∵，，即，

又∠DPC=∠BPA，

∴△PDC∽△PBA，

∴∠PDC=∠PBC，

∴CD∥AB，故①正确；

△PDC的面积===，故③正确；

=

=

=

=

=，故②错误；

故选B．

3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．

【详解】

解：根据题意，

∵点称为点的“倒数点”，

∴，，

∴点B不可能在坐标轴上；

∵点A在函数的图像上，

设点A为，则点B为，

∵点C为，

∴，

①当点B在边DE上时；

点A与点B都在边DE上，

∴点A与点B的纵坐标相同，

即，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

∴，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

故答案为：或．

考点4：一次函数与反比例函数的综合运用

【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________．

【分析】设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标．

【详解】

解：∵点A为直线上一点，

∴设点A坐标为，

则点B的坐标为，

∵点B在双曲线上，

将代入中得：

，

解得：，

当时，，

当时，，

∴点A的坐标为或，

故答案为：或．

【例8】（2021·四川凉山彝族自治州）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．

（1）求k的值；

（2）求直线MN的解析式．

【分析】

（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；

（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．

【详解】

解：（1）设点A坐标为（m，n），

∵∠ABO=90°，

∴B（m，0），又AN=，

∴N（m，），

∵△AOB的面积为12，

∴，即，

∵M为OA中点，

∴M（，），

∵M和N在反比例函数图像上，

∴，化简可得：，又，

∴，解得：，

∴，

∴M（2，3），代入，

得；

（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），

设直线MN的表达式为y=ax+b，

则，解得：，

∴直线MN的表达式为．

1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法.

2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四边形，求面积。

1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的坐标是，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解．

【详解】

解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，

∴关于原点中心对称，

∵点的坐标是，

∴点的坐标是．

故选C．

2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．

（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；

（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．

【分析】

（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，

由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；

（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．

【详解】

（1） 四边形是矩形，，

为线段的中点

将代入，得

将，代入，得：

，解得

（2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P

当三点共线时，有最小值

，

设直线的解析式为

将，代入，得

，解得

令，得

3．（2021·山东东营市）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；

（3）直接写出不等式的解集．

【分析】

（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；

（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；

（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．

【详解】

（1）如图，过点A作轴于点E，

∵，，

∴，，

∴点A，

∴双曲线的解析式为，

把，分别代入，

得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为；

（2）如图，连接OB、、

把代入，得，

∴点B，

∴，

∴，

把代入，得，

∴点C

设点的坐标为，

∵

∴，

∵，

∴点P的坐标为；

（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B

∴或．