2022-2023学年皖豫名校联盟高三（上）期末数学试卷（理科）(含答案解析)

2022-2023学年皖豫名校联盟高三（上）期末数学试卷（理科）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知i为虚数单位，，若，则复数z在复平面上对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  等额分付资本回收是指起初投资P，在利率i，回收周期数n为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为，若每年年底回笼资金万元，则该公司将至少在年内能全部收回本利和．(    )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4.  在的展开式中，的系数为(    )

A.  B.  C.  D. 30

5.  执行如图所示的程序框图，则输出的T为(    )
 

A.  B.  C. 16 D. 128

6.  已知圆C：与过原点O的直线l：相交于A，B两点，点为x轴上一点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，则实数m的值为(    )

A.  B.  C. 2 D. 3

7.  如图，在平行四边形ABCD中，，，点G为CE与BF的交点，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的部分图象如图所示，且函数在处取得最小值，则函数在上的单调递减区间为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点E为SB的中点，则异面直线SD与CE所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，已知长方体的体积为16，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内双曲线上的点，点Q为点P关于原点O的对称点．若，，则双曲线C的离心率的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知，是定义在R上的函数，且均不恒为零．为偶函数，若对任意的，都有，设，若函数的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是(    )

A. 函数的一个周期为8 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的一个周期为4 D.

13.  小明的外婆来到蔬菜超市，准备从黄瓜、南瓜、丝瓜、苦瓜、白瓜这5种新鲜瓜类蔬菜中任意购买3种，则小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜的概率为______.

14.  已知点关于x轴的对称点在曲线C：上，且过点P的直线与曲线C相交于点Q，则______.

15.  已知数列的通项公式为，设数列的最大项和最小项分别为M，N，则______.

16.  已知直线为曲线的一条切线，则的取值范围为______.

17.  已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且
求数列的通项公式；
设，且数列的前n项和为，求证：

18.  在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足
求角A的大小；
当时，求的取值范围．

19.  随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携、工作效率高、环保、可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对年的研发人数作了相关统计，如图：
年公司的研发人数情况年份代码分别对应年

根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y与年份代码x的相关系数r，并由此判断其相关性的强弱；
试求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数．结果取整数
参考数据：，参考公式：相关系数线性回归方程的斜率，截距
附：

20.  如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，点D，E，F，G分别为棱AB，AC，，的中点．
求证：平面；
若二面角的余弦值为，且，求多面体的体积．

21.  已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点．当直线l经过，A两点时，点到直线l的距离为
求椭圆C的标准方程；
设O为坐标原点，当直线l的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得为定值？若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．

22.  已知函数
若函数的极小值为0，求实数a的值；
设，若函数在区间上有且只有一个零点，求实数a的范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，
，
则
故选：
根据已知条件，求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：，
，
，
，解得，
，
复数z在复平面上对应的点位于第二象限．
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，复数相等的条件，求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：由题意，知万元，万元，，
由公式可得，整理得，
等式两边取对数，得，
故选：
根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：在的展开式中，的系数为
故选：
由题意利用二项展开式的通项公式，求得的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：由程序框图可知，初始值，，，
第一次循环：，，；
第二次循环：，，；
第三次循环：，，；
第四次循环：，，；
第五次循环：，，；
第六次循环：，，；
第七次循环：，此时，满足循环条件，所以输出
故选：
根据程序框图，一步一步执行程序，即可得到答案．
本题考查了循环程序框图的计算，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：设，，
由，得，
，，
，又，
，，
，解得
故选：
设，，联立直线与圆的方程得，，由，可得，求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，属中档题．
 

7.【答案】A 

【解析】解：由，，知E，F分别为AB，AD的中点．
如图，设AC与BF的交点为P，易得∽，

所以，
所以
因为点E是AB的中点，
所以
由P，G，B三点共线知，
存在，满足
由C，G，E三点共线知，
存在，满足
所以
又因为，为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以
故选：
根据题意可得，，由P，G，B三点共线知，存在，满足由C，G，E三点共线知，存在，满足得即可解决．
本题考查平面向量基本定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

8.【答案】D 

【解析】解：由题意知，最小正周期，
所以，
又，所以，即，，
因为，所以，所以，
所以，
令，，则，，
因为，所以取，此时函数在上的单调递减区间为
故选：
由题意知，最小正周期，由，可得的值，再利用，求出的值，从而知的解析式，然后根据正弦函数的单调性，得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，理解中A，，的几何意义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】C 

【解析】解：如图，取SA中点F，连接DF，EF，

是SB中点，则，，又，，
，，四边形CDFE是平行四边形，，，
异面直线SD与CE所成角为或其补角，
平面ABCD，，又，，
，平面SDC，，
，
在中，F为SA中点，，
，且两角均为锐角，
，
故选：
利用平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，利用几何图形能求出异面直线SD与CE所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的定义及其余弦值的求法、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】C 

【解析】解：设，则由长方体的体积公式，得，解得，
所以，
由题可知，四边形为正方形，
所以，
所以外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如图：

又是直角三角形，同理外接圆的圆心为AC的中点，即为点N，
过点M，N分别作平面ADE与平面ACD的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，
所以三棱锥的外接球的球心是AC的中点N，
又，
所以外接球半径为，
所以外接球的表面积为，
故选：
根据已知线面关系，判断三棱锥的外接球球心的位置并求得半径，从而得外接球的表面积即可．
本题考查外接球表面积的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】B 

【解析】解：如图所示，

点Q为点P关于原点O的对称点，，，
，，，
，
设，，①，
点P为第一象限内双曲线上的点，②，
由①②可得，，③，
由②③可得，，
由，，
由，可得，，，，
由，可得，，，，

故选：
由已知可得，设，，可得，又，进而可得，，由已知可得，可求双曲线C的离心率的取值范围．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查转化思想，属中档题．
 

12.【答案】D 

【解析】解：因为对任意的，都有，
所以，
所以，
所以，
所以，即函数的一个周期为16，A错误；
因为，
所以，
因为的图象关于y轴对称知为偶函数，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
则，即的一个周期为8，C错误；
因为为偶函数且周期为8，
所以的图象关于对称，
若的图象关于对称，则，
所以，与已知矛盾，故B错误；
因为，，
所以，
由，
令得，
所以，D正确．
故选：
根据代入法，结合函数的周期性、偶函数的性质进行求解即可．
本题主要考查了函数值的求解，利用代入法求出函数的周期是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，从黄瓜、南瓜、丝瓜、苦瓜、白瓜这5种新鲜瓜类蔬菜中任意购买3种，共有种情况，
而小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜则有种情况，
则小明的外婆购买的瓜类蔬菜中含苦瓜的概率为，
故答案为：
根据古典概型定义可解．
本题考查古典概型的定义，属于基础题．
 

14.【答案】16 

【解析】解：因为曲线C的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性，知点P在抛物线上，且在x轴的下方，
因为直线过此抛物线的焦点
设，联立，得，则，
所以由抛物线的焦点弦长公式得，
故答案为：
根据抛物线的对称性知点P在抛物线上，因为直线过此抛物线的焦点，根据焦点弦问题解决即可．
本题考查抛物线的对称性的应用，与抛物线焦点弦有关的几何性质，属于中档题．
 

15.【答案】0 

【解析】解：当时，，
由，得，
则当且时，，
，，；
当时，，
由，得，
则当且时，，
又，，，

故答案为：
当时，，由，可知当且时，，结合，可知；当时，，由，可知当且时，，结合，可知，再求出
本题考查数列的函数特性，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设切点坐标为，
由，得，则，
则过切点的切线方程为，即，
，，
则，令，则，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，

的取值范围为
故答案为：
设切点坐标，由直线是曲线的一条切线，把k与b用含有t的代数式表示，求得，令，再由导数求其最大值得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题．
 

17.【答案】解：由，，且，
可得，
即，
则，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
即为，
因为，所以，
且，
所以是首项和公差均为1的等差数列，即有；
证明：，
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得
因为，所以 

【解析】由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式可得所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得，再由不等式的性质可得证明．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
由正弦定理可得，，
，
三角形ABC为斜三角形，
不为直角，即，
，即；
当时，
则，即，，
，
，
，
且，
的取值范围为 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解；
根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由条形统计图，得，
，
，，
相关系数，
故y与x具有很强的线性相关关系，且为正相关；
，
，
故，
2023年对应的年份代码为，
当时，，
故预测2023年该公司的研发人数约为613人． 

【解析】首先求，，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解；
根据参考公式求和，即可求得回归直线方程，并代入，求预报值．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：因为在直三棱柱中，，侧面为正方形，
所以可以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，则，
所以，
又，，且，平面，平面，
所以平面，即为平面的一个法向量，
又，则，即，
又平面，则平面；
由可知，，，，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，则可取，
又二面角的余弦值为，则，
解得负值舍去，则，
易知为三棱锥的高，则，
又，
所以多面体的体积为 

【解析】建立空间直角坐标系，通过向量法证明，即可证得平面；
由向量法得二面角的余弦值的方程，即可求得BC，最后根据得解．
本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查线面平行以及二面角，多面体的体积等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，，则，
当直线l经过点，A时，由，且点到直线l的距离为，
可得，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
由题意设直线l的方程为，
联立，消去y并整理可得，，
当，即时满足题意，
设，，则，
，
若为定值，则上式与无关，故，解得，
此时，
又点O到直线l的距离为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
经检验，此时，所以面积的最大值 

【解析】根据，且点到直线l的距离为，列方程即可得解；
联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，表示出，根据定值的条件求出k，从而求出
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，，
设极小值点为，则，
由第二个方程得，代入第一个方程得：，
令，显然，
，时，，单调递增，时，，单调递减，
故有唯一的零点，
又当时，可得，，时，，时，，
故是的极小值点，故符合题意；
由题意知，有唯一解，
即在上有唯一解，
令，显然，，
当时，显然在上恒成立，故递增，此时在上只有一个零点1；
同理当时，在上恒成立，故递减，此时在上只有一个零点1；
当时，可知在上递减，在上递增，要使原函数只有一个零点，只需，解得，
故此时即为所求，
综上所述，a的取值范围是 

【解析】令，根据极小值点处函数值为0，导数值为0，可求出a和极小值点，再加以验证即可；
研究在上的单调性，极值以及端点处的函数值符号，即可求出结论．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及在此基础上研究函数零点个数及所在区间的问题，属于较难的题目．