人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图精品综合训练题

课时跟踪检测 （二十） 立体图形的直观图

层级(一)　“四基”落实练

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的           (　　)

解析：选C　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.

2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成      (　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D．与z′轴成45°且大小为5 cm

解析：选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A.

3．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面是            (　　)

A．任意三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．钝角三角形

解析：选C　因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．故选C.

4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC 的

  三边及中线AD中，最长的线段是              (　　)

A．AB　　　　　　　　　 B．AD

C．BC   D．AC

解析：选D　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．故选D.

5．(多选)下列命题中正确的是             (　　)

A．水平放置的角的直观图一定是角

B．相等的角在直观图中仍然相等

C．相等的线段在直观图中仍然相等

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

解析：选AD　水平放置的平面图形不会改变形状，A正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；平行性不会改变，所以D正确．故选A、D.

6．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论中，正确的是________．(填序号)

解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

答案：①②

7．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.

解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．

答案：矩形　8

8．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．

解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．在x轴上取线段AB，使AB＝4 cm；在y轴上取线段AD，使AD＝ cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．如图②.

3层级(二)　能力提升练

1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是                                                                                                                               (　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．任意三角形

解析：选C　如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C.

2. 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有                                                                        (　　)

A．0条  B．1条

C．2条  D．3条

解析：选C　先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C.

3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.

解析：因为正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边

形OABC的高为2 cm，

所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，

AB＝OC＝＝3(cm)，

故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)．

答案：8

4.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′  轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？

解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB·h＝2··A′O′·O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.

5.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按 斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．

解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，

取AC的中点E，

连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝，∴S▱ABCD＝2×＝2.

层级(三)　素养培优练

1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么                                                                        (　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

解析：选C　由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．

2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积．

解：如图①，在直观图中，

过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，

∴BE＝.

∵四边形AECD为矩形，AD＝1，

∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋

1.由此可还原原图形如图②.

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥

B′C′，A′B′⊥B′C′，

∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.