高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用习题，共6页。
课时跟踪检测 （十三） 余弦定理、正弦定理应用举例层级(一)　“四基”落实练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站 南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　)A．北偏东10°　　　　　　　 B．北偏西10°C．南偏东80°  D．南偏西80°解析：选D　由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是                                                                                                                              (　　)A．20 m， m  B．10 m, 2 0 mC．10(－)m, 20 m  D. m， m解析：选A　由题意，知h甲＝20tan 60°＝20(m)，h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．3．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)A．15 km　　　　　　　 B．30 kmC．45 km  D．60 km解析：选B　如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠  CBM＝15°，所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得＝，解得BM＝30 (km)．4．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为                             (　　)A. n mile/h  B．34 n mile/hC. n mile/h  D．34 n mile/h解析：选A　如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．故选A.5.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD  为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为    (　　)A．30°  B．45°C．60°  D．75°解析：选B　依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝.又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.6．某人朝正东方向走x m后，向右转150°，然后朝新方向走3 m，结果他离出发点恰好为 m，那么x的值为_______．解析：如图，在△ABC中，AB＝x，B＝30°，BC＝3，AC＝，由余弦定理得()2＝x2＋32－2×3×x×cos 30°，∴x2－3x＋6＝0，∴x＝或2.答案：2或7.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直  线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°， 45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)解析：由题意可知，AB＝200 m，AC＝100  m，由余弦定理可得BC＝≈316.2(m)，这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6(m/s)．答案：22.68.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从   A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.解：根据图示，AC＝100 m．在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝，解得AM＝100 m．在△AMN中，＝sin 60°，所以MN＝100×＝150(m)．层级(二)　能力提升练1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为                                                                                                                                (　　)A．3  B．2C．1  D．0解析：选A　对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c.故选A.2．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x.依据正弦定理可得＝.所以x＝·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案：30°3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为______小时．解析：如图，设A地东北方向上存在点P到B的距离为30千米，   AP＝x.在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cos A，即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，化简得x2－40x＋700＝0，|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，即图中的CD＝20(千米)，故t＝＝＝1(小时)．答案：14.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直  弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.(1)求A，C两地的距离；(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解：(1)由题意，设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.所以A，C两地间的距离为420 m.(2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m.所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.5.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树  顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70 m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732)．解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4.由正弦定理得＝，解得BC＝4(m)．即BC的长为4 m.(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，所以DC＝4sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝，则DC＝2＋2.所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16 m.层级(三)　素养培优练1.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆  ——桔槔，后发展成辘轳.19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．如图为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37°，在A处测得C处的仰角为45°，在B处测得C处的仰角为53°，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据：sin 37°取(　　)A．30米  B．50米C．60米  D．70米解析：选B　由题意作出示意图，如图所示．由已知得∠CAE＝45°，∠BAE＝37°，∠CBF＝53°.设BD＝x米，则AD＝＝＝x(米)，CF＝BCsin 53°＝50cos 37°＝50×＝40(米)，BF＝BCcos 53°＝50sin 37°＝50×＝30(米)．由AE＝CE得x＋30＝x＋40，解得x＝30.又A点所在等高线值为20米，故B点所在等高线值为20＋30＝50(米)．故选B.2．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O的北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．(3)是否存在v，使得小艇以v海里/时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理，可得S＝＝＝，故当t＝时，Smin＝10，此时v＝30，即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意可知(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化简得，v2＝－＋900＝4002＋675.由于0<t≤，所以≥2，所以当＝2时，v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10  海里/时．(3)存在．由(2)知，v2＝－＋900，设＝u(u>0)，于是400u2－600u＋900－v2＝0.小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程有两个不等正根，即解得15<v<30，所以v的取值范围是(15，30)．