高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课堂检测

课时跟踪检测 （三十一） 直线与平面垂直的性质

层级(一)　“四基”落实练

1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)

A．B1B⊥l

B．B1B∥l

C．B1B与l异面但不垂直

D．B1B与l相交但不垂直

解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β

解析：选C　∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.

3.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．3

C.   D.

解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，

所以AF∥DE且AF＝DE.

因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.

4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面  B．平行

C．垂直   D．不确定

解析：选C　∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.

5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)

A．α∥β且l∥α

B．α∥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线与l垂直

D．α与β相交，且交线与l平行

解析：选D　若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．

设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.

因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.

因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，

所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.

又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合．

所以l∥a.综上知，选D.

6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．

解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.

答案：4

7.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直     线中：

(1)与PC垂直的直线有________；

(2)与AP垂直的直线有________．

解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，

所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.

(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，

所以BC⊥平面PAC.

因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.

答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC

8.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，  a⊥AB.求证：a∥l.

证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.

又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a∥l.

层级(二)　能力提升练

1.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一  点，则下列关系不正确的是(　　)

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

解析：选C　PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.

2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是(　　)

①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；

②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；

③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；

④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.

A．①②  B．②③

C．③④  D．①④

解析：选B　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；

②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；

③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；

④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.

3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．

解析：如图所示，设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.

∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PO⊥AC.

又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE.

又OE⊂平面POE，∴AC⊥OE.

同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形．

∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC.

∴EC＝FC＝＝1.

∴四边形OECF是边长为1的正方形．

∴OC＝.

在Rt△POC中，PO＝＝.

答案：

4.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的 中点，DE⊥平面BCC1B1.

求证：AB＝AC.

证明：取BC的中点F，连接EF，AF.

则EF∥B1B且EF＝B1B.

从而EF∥DA且EF＝DA，

所以四边形ADEF为平行四边形，

所以AF∥DE.

因为DE⊥平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1.

所以AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.

5.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.

求证：l∥AE.

证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.

因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.

又AE⊂平面PAD，所以AE⊥CD.

因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.

因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.

层级(三)　素养培优练

1．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．

解析：当BD⊥AC时，又BD⊥AA1，

所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.

又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.

答案：BD⊥AC（答案不唯一）

2.如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.求证：平面β必与平面α相交．

证明：假设平面α与平面β平行．

因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.

因为PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，

与已知PA∩PB＝P矛盾，所以平面β必与平面α相交．