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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第九章 统计9.2 用样本估计总体课时训练
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课时跟踪检测 (三十七) 总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计层级(一) “四基”落实练1.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是 ( )A.14 B.17C.19 D.23解析:选D 因为8×70%=5.6,故70%分位数是第6项数据23.2.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,3,则样本平均值约为 ( )A.4.67 B.4.5C.12.5 D.1.64解析:选A 由条件得=(4×3+3×2+5×4+6×3)≈4.67.3.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是 ( )A.众数 B.中位数C.平均数 D.都不会解析:选A 众数是在一组数据中出现次数最多的数,所以一定会在原始数据中出现.4.篮球运动员甲在某赛季前15场比赛的得分如表:得分8131822283337频数1341312则这15场得分的中位数和众数分别为 ( )A.22,18 B.18,18C.22,22 D.20,18解析:选B 根据表中数据可知,得分频率最高的为18,故众数为18,将得分按从小到大顺序排序,排在中间位置的为18,故中位数为18,故B.5.(多选)为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况,随机抽查 了部分学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图,根据统计图的数据,下列结论正确的是 ( )A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32解析:选ABC 由频率分布直方图可知,中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值,是26.25;众数是最高矩形的中间值27.5;1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2,所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320;1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1,所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.6.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下:93,91,94,96,90,92,89,87,则这组数据的中位数和平均数分别是________.解析:数据从小到大排列后可得其中位数为=91.5,平均数为=91.5.答案:91.5,91.57.某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第________百分位数.解析:因为[20,40),[40,60)的频率为(0.005+0.01)×20=0.3,所以60分为成绩的第30百分位数.答案:308.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:成绩/m1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是=(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).故17名运动员成绩的众数、中位数与平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.层级(二) 能力提升练1.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是( )A.[4.5,+∞) B.[4.5,6.6)C.(4.5,+∞) D.[4.5,6.6]解析:选A 因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x≥4.5,故选A.2.以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).甲:9 12 x 24 27乙:9 15 y 18 24已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( )A.12, 15 B.15, 15C.15, 18 D.18, 18解析:选C 因为甲组数据的中位数为15,所以x=15,又乙组数据的平均数为16.8,所以=16.8,y=18,选C.3.(多选)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市1月1日到12日AQI指数徝的统计数据,则下列叙述正确的是 ( )A.这12天的AQI指数值的中位数是90B.从1月4日到9日,空气质量越来越好C.这12天的AQI指数值的平均值为100D.这12天的AQI指数值的第75百分位数是136.5解析:选BD 把12个数据按照从小到大重新排列,即67,72,77,85,92,95,104,111,135,138,144,201,可得中位数为=99.5,所以A错误;从1月4日到9日AQI指数值逐渐降低,即空气质量越来越好,所以B正确;×(67+72+77+85+92+95+104+111+135+138+144+201)≈110.08,所以C错误;因为i=12×75%=9,所以第75百分位数是=136.5,所以D正确.故选B、D.4.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________;(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁.解析:(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,且所有志愿者的年龄都小于45岁,所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内,因此志愿者年龄的95%分位数为40+×5=42.5岁.答案:(1)0.04 (2)42.55.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图.(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)根据该大学规定,把15%的学生划定为不及格,利用(2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4=160.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.(3)设分数的第15百分位数为x,由(2)可知,分数小于50的频率为=0.1,分数小于60的频率为0.1+0.1=0.2,所以x∈[50,60),则0.1+(x-50)×0.01=0.15,解得x=55,所以本次考试的及格分数线为55分. 层级(三) 素养培优练某工厂对一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数;(2)已知这批产品中每个产品的利润y(单位:元)与产品净重x(单位:克)的关系式为y=求这批产品平均每个的利润.解:(1)产品净重小于100克的频率为(0.050+0.100)×2=0.3.设样本容量为n,∵样本中产品净重小于100克的个数是36,∴=0.300,∴n=120.∵样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的频率为(0.05+0.100+0.150)×2=0.6,∴样本中净重大于或等于96克并且小于102克的产品的个数是120×0.6=72.(2)产品净重在[96,98),[98,104),[104,106]内的频率分别为0.050×2=0.1,(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,0.075×2=0.15,∴其相应的频数分别为120×0.1=12,120×0.75=90,120×0.15=18,∴这批产品平均每个的利润为×(4×12+5×90+6×18)=5.05(元).
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