数学必修 第二册9.2 用样本估计总体练习

课时跟踪检测 （三十八） 总体离散程度的估计

层级(一)　“四基”落实练

1．数据101,98,102,100,99的标准差为          (　　)

A.　　　　　　　　　 B．0

C．1  D．2

解析：选A　∵＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100，

∴s2＝[(101－100)2＋(98－100)2＋(102－100)2＋(100－100)2＋(99－100)2]＝2，s＝.

2．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为                                                                                                                                            (　　)

A．8  B．15

C．16  D．32

解析：选C　已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.

3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为        (　　)

A．3  B．2

C．2.6  D．2.5

解析：选C　由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为

s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.

4．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为(　　)

A.   B.

C．2   D.

解析：选D　∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，

∴＝1，解得a＝－1.则样本的方差

s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，

故标准差为.故选D.

5．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则                                                                                                                                             (　　)

A.A＞B>，sA>sB   B.A<B，sA>sB

C.A>B，sA<sB   D.A<B，sA<sB

解析：选B　A＝(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，

B＝(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝≈11.67.

s＝[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，

s＝2＋2＋2＋2＋2＋2≈3.47.

故A＜B，sA＞sB.

6．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是________．

解析： x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.

答案：5

7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差为 ，则xy＝________.

解析：由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.

又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，

(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.

答案：96

8．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命；

(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？

解：(1)各组的组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得这种日光灯的平均使用寿命约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．

(2)×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.6.

故标准差为≈46.

估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故在222天到314天之间统一更换较合适．

层级(二)　能力提升练

1．若样本1＋x1,1＋x2,1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1,2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是                                                                                                                                            (　　)

A．平均数是10，方差为2

B．平均数是11，方差为3

C．平均数是11，方差为2

D．平均数是10，方差为3

解析：选C　若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s2，故选C.

2．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为                                            (　　)

A．15  B．16

C．17  D．18

解析：选D　由题意得，＝108，①

＝35.2，②

由①②解得或所以|x－y|＝18.

3．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．

解析：不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．

由条件知

即

又x1，x2，x3，x4为正整数，

∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

∵s＝＝1，

∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

由此可得4个数分别为1,1,3,3.

答案：1,1,3,3

4．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．

解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45，

年龄的方差为s＝[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，

所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为

＝×38＋×45≈39.2(岁)，

该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是

s2＝[2＋(38－39.2)2]＋·[73＋(45－39.2)2]＝20.64.

5．某校医务室抽查了高一10个同学的体重(单位：kg)如下：

74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.

(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；

(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．

解：(1)这10个学生体重数据的平均数为＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.

这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，

所以这10个学生体重数据的中位数为＝71.5.

这10个学生体重数据的方差为s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，

这10个学生体重数据的标准差为s＝＝.

(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.

层级(三)　素养培优练

1．(多选)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法一定正确的是                                                                                                                  (　　)

A．这种抽样方法是分层随机抽样

B．这5名男生成绩的中位数小于这5名女生成绩的众数

C．这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

解析：选BC　若抽样方法是分层随机抽样，男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A错误；这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的众数为93，因为90<93，所以B正确；这5名男生成绩的平均数1＝＝90，这5名女生成绩的平均数2＝＝91，故这5名男生成绩的方差为×[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8，这5名女生成绩的方差为×[(88－91)2×2＋(93－91)2×3]＝6，所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以C正确，D错误．

2．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：

(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值．

(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．

解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均值：

甲＝×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，

乙厂10个轮胎宽度的平均值：

乙＝×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．

(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，平均数：1＝×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，

方差：s＝×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝，

乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，

平均数：2＝×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，

方差：s＝×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝.

∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，

∴乙厂的轮胎相对更好．