高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率一课一练

课时跟踪检测 （四十） 事件的关系和运算

层级(一)　“四基”落实练

1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为                                                                                                       (　　)

A．“都是红球”与“至少1个红球”

B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C．“至少1个白球”与“至多1个红球”

D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

解析：选D　A、B、C中两个事件是包含与被包含关系，只有D，两个事件不可能同时发生，是互斥事件．

2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为  (　　)

A．至多有2件次品　　　 B．至多有1件次品

C．至多有2件正品  D．至少有2件正品

解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

3．给出以下三个命题：

(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；

(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；

(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．

其中真命题的个数是          (　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．

4．(多选)设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是(　　)

A．A＋B＝A  B．A＋AB＝A

C. ⊆A  D．A(A＋B)＝A

解析：选BD　若A＋B＝A，则B⊆A，故A错误；∵AB⊆A，∴A＋AB＝A，故B正确；∵当事件A，B都不发生时， 发生，∴ 不是A的子集，C错误；∵A⊆(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正确．故选B、D.

5.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是                                                                                                                                              (　　)

A．对立事件  B．不可能事件

C．互斥但不对立事件  D．不是互斥事件

解析：选C　甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C.

6．事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是_________________________________________________________________

________________________.

解析：事件“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是“某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多 3个是黑球”．

答案：某人从装有5个黑球、5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球

7．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝“点数为2或4”，事件B＝“点数为2或6”，事件C＝“点数为偶数”，则事件C与A，B的运算关系是________．

解析：由题意可知C＝A∪B.

答案：C＝A∪B

8．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

解：(1)由于事件C “至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C “至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

层级(二)　能力提升练

1．如果事件A，B互斥，且事件C，D分别是A，B的对立事件，那么      (　　)

A．A∪B是必然事件  B．C∪D是必然事件

C．C与D一定互斥  D．C与D一定不互斥

解析：选B　由于事件A与B互斥，即A∩B＝∅，则C∪D＝U(U为全集)是必然事件．

2．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是                                                                                                                                            (　　)

A．对立事件  B．互斥但不对立事件

C．不可能事件  D．以上说法都不对

解析：选B　因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两个事件加起来并不是总体事件，所以它们不是对立事件．

3．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯)．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少遇到两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．

解析：根据题意，画出如图所示的树状图．

由图可得，A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝∅，故事件A∩B与C互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立．

答案：2　互斥但不对立

4．从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生．记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：

(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？

(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？

(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？

(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？

解：(1)必然事件有：E；

随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；

不可能事件有：F.

(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生．

(3)D2和D3同时发生时，即为C5发生了．D2∩D3＝C5.

(4)能，如：C1和C2；C3和C4等等．

5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

解：设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)(x∈{1,2,3}，y∈{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为

Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．

(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，

则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，

B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，

因为A∩B＝∅，所以A与B互斥且不对立．

(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，

则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．

因为C∩D＝D，所以D⊆C.即C与D不互斥．

(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，

则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，F＝{(4,5)}．

因为E∪F＝Ω，E∩F＝∅，所以E和F互为对立事件．

(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，

则G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，

因为G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．