综合素养评价（一）平面向量与正、余弦定理

综合素养评价（一）平面向量与正、余弦定理

1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b等于     (　　)

A．(4,0)　　　　　　　 B．(0,4)

C．(4，－8)  D．(－4,8)

解析：选C　由a∥b知4＋2m＝0，所以m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m，－8)＝(4，－8)．

2．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于   (　　)

A.  B．

C.  D．(1,0)

解析：选B　设b＝(x，y)，其中y≠0，

则a·b＝x＋y＝.由解得即b＝.故选B.

3．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cos B等于       (　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选B　由正弦定理，得＝，

∴a＝b可化为＝.

又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.

4．已知向量a＝(m－1,1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的              (　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选A　当m＝2时，a＝(1,1)，b＝(2，－2)，

所以a·b＝(1,1)·(2，－2)＝2－2＝0，

所以a⊥b，充分性成立；当a⊥b时，a·b＝(m－1,1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，解得m＝2或m＝－1，必要性不成立．所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．

5．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B的值为                                                                                                                                (　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　由正弦定理，得b2－a2＝ac，又c＝2a，所以b2＝2a2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.

6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋ (λ∈R)，则λ的值为(　　)

A．1  B．

C.  D.

解析：选D　

过C作CE⊥x轴于点E.

由||＝2，且∠AOC＝，得|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋     ＝λ＋，即＝λ，

所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.

7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________.

解析：由已知，得·＝0，则(3－t，t＋1)·(－3－t,0)＝0，∴(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.

答案：3

8．已知e为一个单位向量，a与e的夹角是120°.若a在e上的投影为－2e，则|a|＝________.

解析：∵|a|·cos 120°＝－2，

∴|a|×＝－2，∴|a|＝4.

答案：4

9．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．

解析：由＝⇒＝⇒a＝c.①

由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5.②

联立①②得a＝5，且c＝2.

由sin B＝且B为锐角知cos B＝，

由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.

答案：

10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝m b＋n c的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为m b＋n c＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得

(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

所以M(0,20)．又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．

11．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？

解：方案一，选条件①.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.

于是＝，由此可得b＝c.

由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.

方案二，选条件②.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.

于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝.

由②csin A＝3，解得c＝b＝2，a＝6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.

方案三：选条件③.

由C＝和余弦定理得＝.

由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.

于是＝，由此可得b＝c.由③c＝b，与b＝c矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2－ab－2b2＝0.

(1)若B＝，求A，C；

(2)若C＝，c＝14，求S△ABC.

解：(1)由已知B＝，a2－ab－2b2＝0结合正弦定理化简整理得2sin2A－sin A－1＝0，于是sin A＝1或sin A＝－(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.又A＋B＋C＝π，

所以C＝π－－＝.

(2)由题意及余弦定理可知a2＋b2＋ab＝196.①

由a2－ab－2b2＝0，得(a＋b)(a－2b)＝0.

因为a＋b>0，所以a－2b＝0，即a＝2b.②

联立①②解得b＝2，a＝4.

所以S△ABC＝absin C＝14.