第10讲 导数之单调性、最值、极值-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

第10讲 导数之单调性、最值、极值

【知识点总结】

一．函数单调性与导函数符号的关系

一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间内，如果，那么函数在该区间内单调递增；如果，那么函数在该区间内单调递减.

二．求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数的定义域；

（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；

（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.

注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数.

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

单调递增；

单调递增；

单调递减；

单调递减.

三．函数极值的概念

设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点.

函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

四．求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号.

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.

为可导函数的极值点；但为的极值点.

五．函数的最大值、最小值

若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

六．求函数的最大值、最小值的一般步骤

设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：

（1）求函数在内的极值；

（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【典型例题】

例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））已知函数．若图象上的点处的切线斜率为．

（1）求a，b的值；

（2）的极值．

例2．（2021·陕西礼泉·高三开学考试（文））设，函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

例3．（2022·全国·高三专题练习）有三个条件：①函数的图象过点，且；②在时取得极大值；③函数在处的切线方程为，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整（只要填写序号），并解答本题．

题目：已知函数存在极值，并且______．

（1）求的解析式；

（2）当时，求函数的最值

例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若函数在区间上取得最小值4，求的值.

例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论的单调性.

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性；

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（    ）

A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）

C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在下列区间上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是（    ）

A．在区间上为减函数

B．在处取得极小值

C．在区间上为增函数

D．在处取得极大值

4．（2022·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式解集为（    ）

A．

B．

C．

D．

5．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（    ）

A．和 B．和

C． D．

6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数的图像最有可能的是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·江苏·高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（    ）

A．是极大值，是极小值；

B．没有最大值，也没有最小值；

C．有最大值，没有最小值；

D．有最小值，没有最大值.

9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数有极值，则c的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

10．（2022·全国·高三专题练习）若函数，则（    ）

A．既有极大值，也有极小值 B．有极小值，无极大值

C．有极大值，无极小值 D．既无极大值，也无极小值

11．（2022·全国·高三专题练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（    ）．

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

12．（2022·全国·高三专题练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

13．（2022·全国·高三专题练习）函数在处有极值10，则a，b的值为（    ）

A．，，或， B．，，或，

C．， D．，

14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数有两个不同的极值点，则满足条件的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

15．（2022·全国·高三专题练习）设函数，则的（    ）

A．极小值点为，极大值点为 B．极小值点为，极大值点为

C．极小值点为，极大值点为 D．极小值点为，极大值点为

16．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

17．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

18．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数在区间上存在最小值，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

19．（2022·全国·高三专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（      ）

A． B．

C． D．

20．（2022·全国·高三专题练习）下图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．是的极小值点

C．是的极小值点

D．是的极大值点

21．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（    ）

A．

B．函数在上递增，在上递减

C．函数的极值点为，

D．函数的极大值为

22．（2022·全国·高三专题练习）己知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（    ）

A．在时取极小值 B．在时取极大值

C．是极小值点 D．是极小值点

23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．时，取得最大值 D．时，取得最小值

三、填空题

24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若的单调递减区间是，则实数的值为________.

25．（2022·全国·高三专题练习）函数在区间（-1,1）上为单调减函数，则的取值范围是__________．

26．（2022·全国·高三专题练习）若函数在定义域内是增函数，则实数的最小值为______.

27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________.

28．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数在处取得极小值，则的极大值为__________

29．（2022·全国·高三专题练习）函数的极值点是___________.

30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.

31．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的最小值为______.

四、解答题

32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，．若，求函数的单调区间.

33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(其中常数)，讨论的单调性；

34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，讨论的单调性；

35．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），讨论函数的单调性.

36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，讨论的单调性

37．（2022·全国·高三专题练习）设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，讨论的单调性.

38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．讨论函数的单调性.

39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的极大值.

40．（2022·全国·高三专题练习）设函数，其中．

（Ⅰ）当时，在时取得极值，求；

（Ⅱ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；

41．（2022·全国·高三专题练习）已知函数

（1）求函数的极值；

（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．

42．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

43．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设函数．

（1）求在处的切线方程；

（2）求的极大值点与极小值点；

（3）求在区间上的最大值与最小值．

44．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））已知函数（）．

（1）讨论的单调区间；

（2）求在上的最大值．

45．（2021·山东·高三阶段练习）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，求在区间上的最大值．

46．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）求函数的单调区间和极值；

（3）函数在区间上的最大值和最小值；

（4）若在区间上，函数总有最小值，求出的取值范围；

（5）在函数的图像上是否一定存在两条互相垂直的切线？（本问直接写出结论，不需写理由）