第12讲 不等式大小关系及不等式的解法-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义

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第12讲 不等式大小关系及不等式的解法
【知识点总结】
一、 基本概念
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在. 不等关系建立在表示数量的代数式之间，可以是常量、变量及稍复杂的代数式.用不等号（如“”，“”，“”，“”，“”等）连接的式子叫做不等式，其中“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“”或“”连接的不等式叫做非严格的不等式. 不等式可分为绝对值不等式（不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都成立）、条件不等式（只能用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立）和矛盾不等式（不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立）.
二、基本性质
不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误.
1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件）
（1）（传递性，注意找中间量）
（2）（同向可加性）
（3）（同正可乘性，注意条件为正）
2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据
（1）.
（2）（对称性）
（3）（乘正保号性）
（4）
（5）（不等量加等量）
（6）（乘方保号性，注意条件为正）
（7）（开方保号性，注意条件为正）
（8）（同号可倒性）；.
三、一元一次不等式（）
（1）若，解集为.
（2） 若，解集为
（3）若，当时，解集为；当时，解集为
四、一元一次不等式组（）
（1），解集为.
（2），解集为
（3），解集为
（4），解集为
五、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上.
（2）①若，解集为.
②若，解集为.
③若，解集为.
(2) 当时，二次函数图象开口向下.
①若，解集为
②若，解集为
六、简单的一元高次不等式的解法
简单的一元高次不等式常用“穿根法”求解，其具体步骤如下.
例如，解一元高次不等式
（1）将最高次项系数化为正数
（2）将分解为若干个一次因式或二次不可分因式（）
（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根切而不过，奇次方根既穿又过，简称“奇穿偶不穿”）.
（4）根据曲线显现出的的值的符号变化规律写出不等式的解集.
七、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
八、绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

【典型例题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期中（文））下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】
A：若，则（），故A错误；
B：若，则，所以，所以B正确；
C：若，则，所以C错误；
D：若，则，故D错误.
故选：B.
例2．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题中，为真命题的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞|b|，则a2＞b2
D．若a＞b，则
【答案】C
【详解】
当c＝0时，A不成立；
2>1，3>－1，而2－3|b|知a>0，所以a2>b2，C正确．
故选：C．
例3．（2022·全国·高三专题练习）实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由可得，利用完全平方可得
由可得，所以，
，，
综上，
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集是或，则的值是___________.
【答案】0
【详解】
由题意，得：，
且，2是方程的两根，
则，，
解得，，则.
故答案为：0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
由，得，得，
所以，
由，得，得，
所以，
因为是的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，即．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题的解答关键是将是的充分不必要条件转化为集合是的真子集.
例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】
当时，不等式为有实数解，所以符合题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式有实数解，符合题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，可得，
所以，
综上所述：的取值范围是，
故答案为：.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围为_______
【答案】
【详解】
当时，不等式恒成立，所以符合题意；
当时，若关于的不等式恒成立，则，
解得：，
综上所述的取值范围为：，
故答案为：.

【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
【答案】C
【分析】
举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】
当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a20，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）若满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质，求得，且，即可求解.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
因为，可得，
所以，即的取值范围是.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的个数为（ ）
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c|b|≥0，∴a2>b2成立，∴①正确；
②取a＝2，b＝1，c＝3，d＝－2，则2－30，∴0