四川省大英中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题(含答案)

这是一份四川省大英中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题(含答案)，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题12小题，每小题5分，共60分
1．某病毒实验室成功分离培养出贝塔病毒60株、德尔塔病毒20株、奥密克戎病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎病毒应抽取（ ）
A．10株B．15株C．20株D．25株
2．掷一颗骰子，设事件：落地时向上的点数是奇数，事件：落地时向上的点数是偶数，事件：落地时向上的点数是的倍数，事件：落地时向上的点数是．则下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ）
A．与B．与C．与D．与
3．已知直线与直线相互平行，则实数m的值是（ ）
A．B．1C．D．6
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．如果直线l将圆平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是（ ）
A．7B．8
C．9D．10
7．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离
C．相切D．无法确定
8．月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，为大圆的内接等腰直角三角形，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为瞥臑．已知在瞥臑中，满足平面，且，，，则此瞥臑外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
10．柜子里有红，白，黑三双不同的手套，从中随机选2只，则取出的手套成双的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论：
①在M，N两点的运动过程中，⊥平面；
②在平面上存在一点P，使得平面；
③三棱锥的体积为定值；
④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．②③④
12．已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（ ）
A．9B．11C．17或19D．19
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若x、y满足约束条件则的最小值为______
14．我国关于人工智能领域的研究十分密集，发文量激增，在视觉、语音、自然语言处理等基础智能任务实现全球领先，并且拥有一批追求算法技术极致优化的人工智能企业，如图是过去十年人工智能领域高水平论文发表量前十国家及发表的论文数．现有如下说法：
①这十个国家的论文发表数量平均值为0.87；
②这十个国家的论文发表数量的中位数为0.4；
③这十个国家的论文发表数量的众数为0.4；
④德国发表论文数量约占美国的32%．
其中正确的是______．（填序号）
15．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
16．若，直线与交于点P，点P的轨迹C与x、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点（A、B异于原点O），则满足的位于第一象限内的点P坐标为_______________．
三、解答题：共70分。
17．（10分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，过的平面与侧棱的交点分别是.
(1)证明：；
(2)若底面，求证：平面.
18．（12分）为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，去年七月某医院从在本院体检中心体检的成年人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：，，，，，其频率分布直方图如图1所示.今年某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有线性相关关系，样本数据的散点图如图2所示.
附：对于一组样本数据，，…，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
(1)设去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，试估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数；
(2)求体检中心抽取的100个人的免疫力指标的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(3)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以体检中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计，疫苗注射量不应超过多少个单位？
19．（12分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足
(1)求动点的轨迹的方程
(2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程
20．（12分）小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自独立的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的．
（1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率；
（2）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点．
(1)求证：；
(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．
22．（12分）设圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，在满足条件①、②的所有圆中.
(1)求圆心到直线的距离最小的圆的方程；
(2)在（1）的条件下，若圆的圆心在第一象限，将向左平移个单位，向下平移个单位，得到一个圆，点为直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，点为弦的中点，点，求的取值范围。高2021级2022年下期期末考试数学理科答案
一、选择题 1．A 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．A 8．B 9．B 10．B 11．D 12．C
二、填空题 13． 14．①② 15． 16．
三、解答题
17【详解】（1）因为平面,平面,
所以 平面,分
又因为平面 ,平面平面,故,分
（2）底面,平面，,分
又因为底面是正方形，所以,平面,
所以平面，分
18题【详解】（1）由频率分布直方图知，免疫力指标在中的频率为，
同理，在，，，中的频率分别为0.4，0.24，0.08，0.02，
故免疫力指标不低于30的频率为，
∵去年七月该医院体检中心共接待5000名成年人体检，
∴可以估计这些体检人群中免疫力指标不低于30的人数为分
（2）由频率分布直方图可得，抽取的100个人的免疫力指标的平均值为
分
（3）由散点图可得5组样本数据，分别为，，，，且x与y具有线性相关关系， ∵，，∴，分
故y关于x的线性回归方程为，分
由（2）可知，普通成年人群自身免疫力指标的平均值为27，
∴令，得，解得，
∴疫苗注射量不应超过80个单位分
【详解】（1）设，则由，即，.
化简得，所以P点的轨迹方程为．分
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线l的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；分
当直线l的斜率存在时，设， 即，
由到l的距离，解得， 分
所以直线方程为，即，
综上，l的方程为或分
【详解】（1）设两人到达约会地点的时刻分别为，，依题意，必须满足才能相遇．我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内所以两人相遇的概率为区域与区域Ⅰ的面积之比：．即两个人能在约定的时间内相见的概率为．分
（2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为，第二枚投掷得到向上一面的点数为，则与的和共有36种情况．
所以两次取出的数字之和是5的倍数的情况有，，，，，，，共7种，其概率为．分
21【详解】（1）证明：在中，
∵，，，
由余弦定理可得：，
即，分
∴， 从而
∵，∴分
∵平面平面PAD，平面ABCD平面PAD，AB平面ABCD.
∴平面PAD， ∴平面PAD， ∴.
∵，AB平面PAB，PA平面PAB，
∴平面PAB. ∵平面PAB， ∴．分
（2）以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则，，，， 则，，
，.
设，则
设异面直线BM和CE所成角为，则
得.此时，
设面MAB的一个法向量为， 有
令，则，，取 分
设面PCD的一个法向量为，
有
令，则，，取 分
设面MAB与面PCD的夹角为，
则.
即面MAB与面PCD夹角的余弦值为分
22．解：设圆心为，圆的半径为，
因为圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，则劣弧所对的圆心角为，
所以，， 因为圆截轴所得弦长为，则，所以，，
所以，圆心到直线的距离为，
所以，，
当且仅当或时，等号成立，则，
所以，圆的标准方程为或.
（2）解：在（1）的条件下，由题意可知，圆的方程为，
将向左平移个单位，向下平移个单位，得到一个圆，则圆的方程为，
设点，的中点为，且，
所以，以为直径的圆的方程为，
则圆的方程为，将圆的方程与圆的方程作差可得，
所以，直线的方程为，即，即，
由，解得，即直线过定点，
由垂径定理可知，设点，则，，
则，即，
注意到圆过原点，记点，
但当点为坐标原点时，则线段为圆的一条直径，
根据切线的几何性质可知，、都与直线垂直，矛盾，
所以，点的轨迹为圆上去除原点后剩余的部分曲线，
直线的直线方程为，则直线过原点，因为，圆的半径为，
所以，，即.