浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(A卷)(含答案)

这是一份浙江省温州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(A卷)(含答案)，共11页。试卷主要包含了已知椭圆，设直线等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上。
2．选择题的答案须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改功，须将原填涂处用橡皮擦净。
3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区城内，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知空间的三个不共面的单位向量，，，对于空间的任意一个向量，（ ）
A．将向量，，平移到同一起点，则它们的终点在同一个单位圆上
B．总存在实数x，y，使得
C．总存在实数x，y，z，使得
D．总存在实数x，y，z，使得
3．已知函数在的附近可导，且，，则在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的焦点为，，且c是a，b的等比中项，则在椭圆上使的点P共有（ ）
A．0个B．2个C．4个D．8个
5．已知是公差不为0的等差数列，是其前n项和，则“对于任意，都是”是“的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知椭圆：，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，据此类推：对任意的且，椭圆与椭圆的离心率相等，并且椭圆的短轴端点就是椭圆的长轴端点，由此得到一个椭圆列：，，，，则椭圆的焦距等于（ ）
A．B．C．D．
7．正三棱柱中，，，O为BC的中点，M是棱上一动点，过O作于点N，则线段MN长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知a，b为不相等的正实数，则下列命题为真的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．设直线：，：，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与不重合B．当时，直线与相交
C．当时，D．当时，
10．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则
11．如图，已知点P是椭圆上第一象限内的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，圆心在y轴上的动圆T始终与射线，相切，切点分别为M，N，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．面积的最大值为
D．当点P坐标为时，则直线PT的斜率是
12．已知数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆与圆内切，则有序实数对可以是______．（写出一对即可）
14．11世纪，阿拉伯数学家阿尔•卡克希利用几何方法推出了自然数的三次方的求和公式（如图所示），据此可知：______．
15．已知点在抛物线上，B，C是抛物线上的动点且，若直线AC的斜率，则点B纵坐标的取值范围是______．
16．四面体ABCD中，，二面角的大小为，则四面体ABCD外接球体积的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知点及圆C：．
（Ⅰ）求过P且与圆C相切的直线方程；
（Ⅱ）以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求．
18．（本小题满分12分）已知数列满足：，（）
（Ⅰ）写出，，并求的通项公式；
（Ⅱ）若数列（），求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．
（Ⅰ）求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值；
（Ⅱ）若平面平面，求点A到直线l的距离．
20．（本小题满分12分）广州塔外形优美，游客都亲切地称之为“小蛮腰”，其主塔部分可近似地看成是由一个双曲面和上下两个圆面围成的．其中双曲面的构成原理如图所示：圆，所在的平面平行，垂直于圆面，AB为一条长度为定值的线段，其端点A，B分别在圆，上，当A，B在圆上运动时，线段AB形成的轨迹曲面就是双曲面．用过的任意一个平面去截双曲面得到的截面曲线都是双曲线，我们称之为截面双曲线．
已知主塔的高度，，设塔身最细处的圆的半径为，上、下圆面的半径分别为、，且，，成公比为的等比数列．
（Ⅰ）求与的夹角；
（Ⅱ）建立适当的坐标系，求该双曲面的截面双曲线的渐近线方程．
21．（本小题满分12分）已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，当时，求三角形面积S的最小值．
22．（本小题满分12分）已知函数，，其中．
（Ⅰ）当时，证明：；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求k的取值范围。
2022学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测
数学试题（A卷）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出得选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案不唯一，只要，且即可。
14．202515．16．
17．高二数学A卷B卷第17题评分标准（本小题满分10分）
答：（Ⅰ）圆心，
当k不存在时，，符合题意．
当k存在时，设直线方程为，即
，所以
∴，即
综上所述，切线方程为或
（说明：如果答案错误，出现点到线的距离公式，给2分）
（Ⅱ）以PC为直径的圆的方程为
所以AB直线方程为
所以C到直线AB的距离为
∴
18．解答：（Ⅰ）由条件代入计算得：，
当时，由，得
，又，得，
综上，，，的通项公式为：
（Ⅱ）由，得
相减得
得
19．解答（Ⅰ）
∵，，∴
∵面面ABCD
又底面ABCD为正方形
∴，，
∴面PBC，面PBC，∴
作，，连接MF，ND
∴四边形ABPF为矩形
∵M、N分别为AP和AC的中点
∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，∴面CDFP
∴就是所求的角，
∵，，∴
∴
∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为；
（说明：有简要的说明补体理由给3分，找到角给2分，最后答案2分）
解答（Ⅱ）
∵四边形ABPF为平行四边形，∴
又∵面CDFP，∴面CDFP
又面面
∴A到直线l的距离．
（说明：找到交线给3分，答案2分）
20．解答：（Ⅰ）过A做圆面于点，连接，则有
在圆面上，过做于点H，
根据题意：，，
所以
所以与的夹角为
【答案对，辅助线说明不完整给5分；3个半径各1分，能在图中找到半径就可以给分】
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
又∵在直角中，
所以，
解得，所以
以塔身最细处的圆的圆心为原点O，以所在直线为y轴，以圆O的一条平行于的直径所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则双曲线的顶点坐标为，设双曲线方程为：
设，如图，根据相似性：，
得：即
代入双曲线方程得：，解得：
所以双曲线的渐近线方程为．
21．解答：（1）设PQ的方程为，设，，
由得
，，
，，得
∴，得直线OM的方程为，从而得
由，，得，故
（Ⅱ）因直线PQ与双曲线右支交于两点，得
由，，得
又因，得，
，
得，又因
得，，
由，，
不妨设
令，
在该区间内单调递增
故，
22．解：（Ⅰ）等价于证明：
因为
所以在单调递减，在单调递增，所以得证．
（Ⅱ）题目等价于：对任意的，恒成立
，记
①当时，
所以在单调递减，，成立．
②当时，，记
因为关于单调递减，且，，，所以存在，使得，且在单调递增，在单调递减．又因为，，必存在，使得在单调递减，在单调递增，且，所以在时恒小于零，不符合题意．
综上①②：题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
D
D
A
C
A
B
B
B
题号
9
10
11
12
选项
BD
ABD
AD
AD