2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点06一元二次方程

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考点06一元二次方程【考点总结】一、一元二次方程的概念1．定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．【注】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①     一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．②     一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③     一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．2．一般形式一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．【考点总结】二、一元二次方程的解法1、直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 。【考点总结】三、配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；3、三配：①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；4、四解：①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。  ②分别解这两个一元二次方程，求出两根。【考点总结】四、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；          ④判断【考点总结】五、十字相乘法解一元二次方程1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。4、十字相乘法的缺陷：①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。真题演练 一、单选题1．（2021·四川省成都市第八中学校九年级期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B．C．且 D．且2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学九年级期中）如图，直线与双曲线（k＜0，x＜0）交于点A，将直线向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（  ）A． B．－7 C． D．3．（2021·广东·北大附中深圳南山分校八年级期中）为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平均价格比降价之前减少了19%，则平均每次降价的百分率为（    ）A． B． C． D．4．（2021·河北张家口·一模）若直线y＝ax（a≠0）和双曲线（c≠0）在同一坐标系内的图象没有交点，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的情况三人的说法如下：甲：方程可能有两个相等的实数根；乙：方程没有实数根；丙：x＝0一定不是方程的根．下列判断正确的是（　　）A．乙错丙对 B．乙对丙错 C．乙和丙都错 D．甲错乙对5．（2021·四川凉山·一模）已知是方程的根，那么代数式的值是（    ）A． B． C．或 D．或6．（2021·云南西山·一模）一元二次方程的根的情况是（    ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的的实数根C．没有实数根 D．无法判断7．（2021·安徽·二模）若关于x的一元二次方程x2-2mx+m2+m-1=0有两个相等的实数根，则m的值为（    ）A．0或1 B．0 C．1 D．以上都不对8．（2021·全国·九年级课时练习）已知二次函数的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当时，二次函数的值是（   ）A．2020 B．2021 C．2022 D．20239．（2021·河南·三模）定义一种新运算“”，对于任意实数，，，如，若（为实数）是关于的方程，则它的根的情况为（    ）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根10．（2021·山东莱阳·八年级期中）如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米．则可列方程为（  ）A． B．C． D．二、填空题11．（2021·江苏姜堰·二模）若，是一元二次方程的两个根，则 __________．12．（2021·广东深圳·一模）如图，已知反比例函数y=(x＞0)与正比例函数y=x(x≥0)的图象，点A(1，4)，点A'(4，b)与点B'均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA'B'B是平行四边形，则B点的坐标为______．13．（2021·青海海东·二模）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划分出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽为xm，则可列方程为_____．14．（2021·山东临沂·一模）如图，已知点A（－1，0）和点B（1，2），在轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P的坐标是____________________．15．（2021·湖北黄冈·九年级阶段练习）已知x为实数，且满足，那么=__________三、解答题16．（2021·重庆·字水中学一模）全面奔小康，关键在农村，经济林是振兴农村经济，实现小康目标的重要途径．在读农林经济学的大学生林可利用知识优势，鼓励家人大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，主打种植大樱桃和小樱桃，今年风调雨顺，大樱桃和小樱桃双双增产．（1）林可家今年大樱桃和小樱桃共2400千克，其中大樱桃的产量不超过小樱桃产量的5倍，求今年林可家收获小樱桃至少多少千克？（2）林可家把今年收获的两种樱桃的一部分运往市场销售，已知他家去年大樱桃的市场销售量为1000千克，销售均价为30元/千克，今年大樱桃的市场销售量比去年减少了m%（），销售均价与去年相同，他家去年小樱桃的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年小樱桃的市场销售量比去年增加了2m%，销售均价也比去年提高了2m%，结果林可家今年运往市场销售的这两种樱桃的销售总金额与他家去年销售这两种樱桃的市场销售总金额相同，求m的值．17．（2021·广东潮阳·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为（1）求a，b的值；（2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值．18．（2021·广西·二模）如图，在中，，O为上一点，，且，以为半径作圆O，交圆O于点E，延长交圆O于点D，连接． 
 （1）求证：是圆O的切线．（2）若圆O的半径为3，求的长．