2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点07分式方程

考点07分式方程

【考点总结】一、分式方程

1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．

2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征：

(1)增根使最简公分母为零；

(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．

【考点总结】二、分式方程的基本解法

解分式方程的一般步骤：

(1)去分母，把分式方程转化为整式方程；

(2)解这个整式方程，求得方程的根；

(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．

【考点总结】三、分式方程的实际应用

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；

(2)检验所求的解是否符合实际．

真题演练

一、单选题

1．（2021·四川三台·一模）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1

【答案】A

【分析】

先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．

【详解】

解：由关于x的不等式组，得

∵有且仅有三个整数解，

∴，，2，或3．

∴，

∴；

由关于y的分式方程得，

∴，

∵解为正数，且为增根，

∴，且，

∴，且，

∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．

故选A．

2．（2021·河南师大附中模拟预测）如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A和B分别代表的是（　　）

A．分式的基本性质，最简公分母=0

B．分式的基本性质，最简公分母≠0

C．等式的基本性质2，最简公分母=0

D．等式的基本性质2，最简公分母≠0

【答案】C

【分析】

根据解分式方程的步骤，可得答案．

【详解】

去分母得依据是等式基本性质2，

检验时最简公分母等于零，原分式方程无解.

故答案选：C.

3．（2021·河北遵化·八年级期中）关于的分式方程解为，则常数的值为(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的一次方程，解得a的值即可．

【详解】

解：把x=4代入方程，得

，

解得a=10．

经检验，a=10是原方程的解

故选D．

4．（2021·新疆·乌苏市教育局教研室一模）某乡镇决定对一段长6 000米的公路进行修建改造．根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修健的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】

设原计划每天修建x米，每天修健的公路比原计划增加了50%所以现在每天修健x（1+50%）m，

，

即：，

故选C．

5．（2021·安徽太湖·七年级期末）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）

A．m＜﹣10 B．m≤﹣10

C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6

【答案】D

【分析】

分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．

【详解】

解：去分母得，

解得，

由方程的解为正数，得到，且，，

则m的范围为且，

故选：D．

6．（2021·内蒙古玉泉·二模）在一只不透明的口袋中放入红球5个，黑球1个，黄球n个，这些球除颜色不同外，其它无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个恰好是黄球的概率为，则放入口袋中的黄球总数n是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】

根据概率公式列出关于n的分式方程，解方程即可得．

【详解】

解：根据题意可得＝，

解得：n＝3，

经检验n＝3是分式方程的解，

即放入口袋中的黄球总数n＝3，

故选：A．

7．（2021·山东济南·一模）若数a关于x的不等式组 恰有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】

先解不等式得出解集x≤2且x≥，根据其有两个整数解得出0＜≤1，解之求得的范围；解分式方程求出y＝2−1，由解为正数且分式方程有解得出2−1＞0且2－ 1≠1，解之求得的范围；综合以上的范围得出的整数值，从而得出答案．

【详解】

解：，

解不等式①得：x≤2，

解不等式②得：x≥，

∵不等式组恰有三个整数解，

∴-1＜≤0，

解得，

解分式方程，

得：，

由题意知，

解得且，

则满足，且的所有整数的值是2，

所有满足条件的整数a的值之和为2．

故选择：A．

8．（2021·全国·八年级专题练习）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】

根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．

【详解】

解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；

方程的根为x=2，故②正确；

方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；

是分式方程，故④正确；

故选：B．

9．（2021·重庆江北·模拟预测）从－4，－3，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是（   ）

A．1 B．2 C．－1 D．－2

【答案】B

【分析】

利用加减消元法解得，根据二元一次方程组有解，得到，再解分式方程得，由分式方程有正数解得到符合条件的m的值，最后求和．

【详解】

二元一次方程组有解，

①②得，

解得，

是正数

，

故选：B．

10．（2021·重庆市育才中学一模）若整数a使得关于x的分式方程＋＝2的解为非负数，且一次函数y＝﹣（a＋3）x＋a＋2的图象经过一、二、四象限，则所有符合条件的a的和为（    ）

A．﹣3 B．2 C．1 D．4

【答案】D

【分析】

先求出方程的解x＝3﹣a≥0，求出a≤3，根据分式方程的分母x﹣2≠0求出a≠1，根据一次函数y＝﹣（a＋3）x＋a＋2的图象经过一、二、四象限求出﹣（a＋3）＜0且a＋2＞0，求出a＞﹣2，再求出答案即可．

【详解】

解：＋＝2，

方程两边乘以x﹣2得：x﹣a﹣1＝2x﹣4，

解得：x＝3﹣a，

∵关于x的分式方程＋＝2的解为非负数，

∴3﹣a≥0，

解得：a≤3，

∵一次函数y＝﹣（a＋3）x＋a＋2的图象经过一、二、四象限，

∴﹣（a＋3）＜0且a＋2＞0，

解得：a＞﹣2，

∴﹣2＜a≤3，

∵分式方程的分母x﹣2≠0，

∴x＝3﹣a≠2，

即a≠1，

∵a为整数，

∴a为﹣1，0，2，3，和为﹣1＋0＋2＋3＝4，

故选：D．

二、填空题

11．（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼．如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．

【答案】1200

【详解】

设鱼塘中约有条鱼，根据题意得：

解得：，

经检验，x=1200是原方程的根，

即鱼塘中大约有1200条鱼.

12．（2021·山东牡丹·二模）若关于x的方程有增根，则m的值是_____

【答案】0．

【详解】

方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使

最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：

方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．

∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．

∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．

13．（2021·广东·模拟预测）分式方程=的解是______________

【答案】

【分析】

先去分母，再解整式方程，然后检验即可．

【详解】

解：=，

两边同乘得，，

解整式方程得，，

检验：当时，，所以是原方程的解．

14．（2021·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校二模）某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，则该品牌饮料一箱有____瓶．

【答案】10

【分析】

首先设该品牌饮料一箱有x瓶，根据题意可得不搞活动时饮料每瓶元，搞活动时每瓶元，根据“相当于每瓶比原价便宜了0.6元”可得方程-=0.6，再解方程即可．

【详解】

设该品牌饮料一箱有x瓶，由题意得：

-=0.6，

解得：x1=-13（不合题意舍去），x2=10，

经检验：x=10是原分式方程的解．

故答案为：10．

15．（2021·全国·九年级专题练习）已知，（其中和都表示角度），比如求，可利用公式得，又如求，可利用公式得，请你结合材料，若（为锐角），则的度数是__________．

【答案】

【分析】

设，先根据公式可得到一个关于x的分式方程，解方程可求出x的值，再根据特殊角的正切函数值即可得出答案．

【详解】

设

由题意得：

解得

经检验，是分式方程的根

即

为锐角

故答案为：．

三、解答题

16．（2021·广东实验中学三模）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费2000元N95口罩花费10000元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少8元．

（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元?

（2）该药店计划再次购进两种口罩共1800只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次外科口罩多少只?

【答案】(1)一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；(2)至少购进一次性医用外科口罩1000只．

【分析】

(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；

(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．

【详解】

解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+8)元，

由题意可知：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

x+8=2+8=10，

故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是10元；

(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有

2y+10(1800-y)≤10000，

解得y≥1000，

故至少购进一次性医用外科口罩1000只．

17．（2021·山西·三模）图1是某种路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于点，，灯臂与支架交于点．

（1）已知，，，求支架的长．（结果精确到；参考数据：，，）

（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯，第二次正好赶上商家搞活动，所有商品一律八折销售，该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个．求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．

【答案】（1）49cm；（2）72个

【分析】

（1）过点作于点，在中求出的长，然后在中可求出的长．

（2）设出该小区第一次购进该型号路灯的个数，表示出第二次购进该型号路灯的个数，根据题意列方程求解即可．

【详解】

解：（1）如解图，过点作于点，则．

∵在中，，，

∴．

∵，

∴．

∴在中，．

答：支架的长约为．

（2）设该小区第一次购进该型号的路灯个．

根据题意，得，

解得：．

经检验，是原方程的解，且符合题意．

∴（个）．

答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．

18．（2021·江苏锡山·一模）（1）解方程：．

（2）解不等式组：．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

【详解】

解：（1）分式方程变形得：，

去分母得：，

解得：，

检验：把代入得：，

则分式方程的解为；

（2），

由①得：，

由②得：，

∴不等式组的解集为．