2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点09平面直角坐标系与函数的概念

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考点09平面直角坐标系与函数的概念

【考点总结】一、平面直角坐标系与点的坐标特征[
1．平面直角坐标系
如图，在平面内，两条互相竖直的数轴的交点O称为原点，水平的数轴叫x轴(或横轴)，竖直的数轴叫y轴(或纵轴)，整个坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限．

2．各象限内点的坐标特征
点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0；
点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0；
点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0；
点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0.:]
3．坐标轴上的点的坐标的特征
点P(x，y)在x轴上y＝0，x为任意实数；
点P(x，y)在y轴上x＝0，y为任意实数；
点P(x，y)在坐标原点x＝0，y＝0.
【考点总结】二、特殊点的坐标特征
1．对称点的坐标特征
点P(x，y)关于x轴的对称点P1的坐标为(x，－y)；关于y轴的对称点P2的坐标为(－x，y)；关于原点的对称点P3的坐标为(－x，－y)．
2．与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
平行于x轴：横坐标不同，纵坐标相同；
平行于y轴：横坐标相同，纵坐标不同．
3．各象限角平分线上点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相同，第二、四象限角平分线上的点横坐标与纵坐标互为相反数．
【考点总结】三、距离与点的坐标的关系
1．点与原点、点与坐标轴的距离
(1)点P(a，b)到x轴的距离等于点P的纵坐标的绝对值，即|b|；点P(a，b)到y轴的距离等于点P的横坐标的绝对值，即|a|.
(2)点P(a，b)到原点的距离等于点P的横、纵坐标的平方和的算术平方根，即.
2．坐标轴上两点间的距离
(1)在x轴上两点P1(x1,0)，P2(x2,0)间的距离|P1P2|＝|x1－x2|.
(2)在y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)间的距离|Q1Q2|＝|y1－y2|.
(3)在x轴上的点P1(x1,0)与y轴上的点Q1(0，y1)之间的距离|P1Q1|＝.[
【考点总结】四、函数有关的概念及图象
1．函数的概念
一般地，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
2．常量和变量
在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量．
3．函数的表示方法
函数主要的表示方法有三种：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．
4．函数图象的画法
(1)列表：在自变量的取值范围内取值，求出相应的函数值；(2)描点：以x的值为横坐标，对应y的值作为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点；(3)连线：按自变量从小到大的顺序用光滑曲线连接所描的点．
【考点总结】五、函数自变量取值范围的确定
确定自变量取值范围的方法：
1．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．
2．当自变量以二次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以三次方根出现时，它的取值范围为全体实数．
3．当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的实数．
4．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
真题演练
一、单选题
1．（2021·河北顺平·二模）如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有（ ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【详解】
①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．

所以满足条件的点P共有6个．
故选C．
2．（2021·山东·日照港中学二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A(A为坐标原点)出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P的纵坐标为( )

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】
先计算点P走一个的时间，得到点P纵坐标的规律：以1，0，-1，0四个数为一个周期依次循环，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒时点P的纵坐标为是-1．
【详解】
解：点运动一个用时为秒．
如图，作于D，与交于点E．
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；
第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；
第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；
第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；
第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
∵，
∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．
故选B．

3．（2021·全国·九年级专题练习）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E。那么点D的坐标为（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．
【详解】

解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，
而∠ADC=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x=，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-=，
∴，
即 ，
∴DF=，AF=，
∴OF=-1=，
∴D的坐标为（-， ）．
故选A．
4．（2021·辽宁大洼·七年级期中）如果点在第四象限，那么m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．
【详解】
解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，
∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞，故选D．
5．（2021·江苏扬州·一模）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）

A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【详解】
试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．


6．（2021·河北遵化·一模）平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 )
【答案】A
【详解】
∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A．
7．（2021·河北曲阳·八年级期末）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【详解】
根据题意得，
解得．
故选D．
8．（2021·甘肃武都·二模）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．
【详解】
解：当时，，即S与t是二次函数关系，有最小值，开口向上，
当时，，即S与t是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C符合题意，
故选C．
9．（2021·江苏阜宁·二模）函数中的自变量的取值范围是（ ）
A．≠ B．≥1 C．> D．≥
【答案】D
【分析】
由被开方数为非负数可行关于x的不等式，解不等式即可求得答案.
【详解】
由题意得，2x-1≥0，
解得：x≥，
故选D.
10．（2021·湖南娄底·一模）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t（单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是( )

A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．跑步过程中，两人相遇一次
C．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远
D．乙在跑前300米时，速度最慢
【答案】C
【详解】
分析：根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
详解：A．根据图象可知甲乙到达终点的时间分别为160秒和200秒，所以甲比乙先到终点，故本选项错误；
B． 由图象可知，跑步过程中，两人相遇两次，故本选项错误；
C． 观察图象可知，起跑后160秒时，甲、乙两人的路程差最大，甲、乙两人相距最远，故本选项正确；
D． 由图象可知：乙在CD段的速度＜在OB段的速度＜在BC段的速度，故本选项错误．
故选C．
二、填空题
11．（2021·山东·日照港中学三模）函数中，自变量x的取值范围是_________
【答案】≠1的一切实数
【详解】
分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
解：根据题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2021·上海·模拟预测）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是_______．

【答案】7：00．
【详解】
观察函数图象，知巡逻艇出现故障前的速度为80÷1＝80（海里／时），
故障排除后的速度为（180－80）÷1＝100（海里／时）．
设巡逻艇的航行全程为x海里，
由题意，得，
解得x＝480．
则原计划行驶的时间为480÷80＝6（小时）．
故计划准点到达的时刻为7：00．
故答案为：7：00．
13．（2021·全国·八年级专题练习）某计算程序如图所示，当输入x＝________，输出y＝1.

【答案】±4
【分析】
把y=1分别代入两个函数关系式计算即可得解．
【详解】
y=1时，若=1，
解得x=4，符合x≥3，
若x+5=1，
解得x=-4，符合x＜3，
所以，输入的x=4或-4，
故答案为±4．
14．（2021·湖南张家界·一模）平面直角坐标系中一点P（m﹣3，1﹣2m）在第三象限，则m的取值范围是_____．
【答案】0.5＜m＜3
【分析】
根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可．
【详解】
∵点P(m−3,1−2m)在第三象限，
∴，
解得：0.5