2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点19圆的有关性质

这是一份2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点19圆的有关性质，文件包含2022-2023数学北师大版新中考精讲精练考点19圆的有关性质解析版docx、2022-2023数学北师大版新中考精讲精练考点19圆的有关性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
考点19圆的有关性质 【考点总结】一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径．2．圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．【考点总结】二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．【考点总结】三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．【考点总结】四、圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．2．性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．真题演练一、单选题1．（2021·河北桥西·模拟预测）“已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算”．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，过作于 交于 则此时最短，由新定义求解的长度即可得到答案．【详解】解：如图，过作于 交于 则此时最短，由新定义可得： 故选：2．（2021·河南洛宁·一模）下列关于圆的说法，正确的是（    ）A．弦是直径，直径也是弦B．半圆是圆中最长的弧C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D．过三点可以作一个圆【答案】C【分析】根据弧、弦的概念、对称轴的概念、过三点的圆的条件判断即可．【详解】解：A、弦不一定是直径，但直径是弦，本选项说法错误，不符合题意；B、半圆小于优弧，半圆是圆中最长的弧说法错误，本选项不符合题意；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，本选项说法正确，符合题意；D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，本选项说法错误，不符合题意；故选：C．3．（2021·浙江·模拟预测）下列选项中，能够被半径为的圆及其内部所覆盖的图形是（    ）A．长度为的线段 B．斜边为的直角三角形C．面积为的菱形 D．半径为，圆心角为的扇形【答案】D【分析】由直径为圆中最长的弦可判断 由直角三角形的外接圆的直径是斜边的长可判断，利用圆的面积为，小于菱形的面积，可判断 由半径为，圆心角为的扇形的面积小于圆的面积可判断【详解】解： 半径为的圆的直径为 半径为的圆及其内部所能覆盖的线段最长为，而＞ 半径为的圆及其内部不能覆盖长度为的线段．故 不符合题意， 斜边为的直角三角形的外接圆的直径为，而＞，所以半径为的圆及其内部不能覆盖斜边为的直角三角形，故不符合题意，，菱形的面积为 而＜ 半径为的圆及其内部不能覆盖面积为的菱形，故不符合题意； 半径为，圆心角为的扇形的面积为： 而＜ 所以半径为的圆及其内部能覆盖半径为，圆心角为的扇形，故符合题意，故选：4．（2021·河南新蔡·一模）如图甲所示，A，B是半径为2的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O以每秒一个单位长度度速度匀速运动，回到点A运动结束，设P点的运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么在图乙中可能表示y与x函数关系的是（　　）A．① B．② C．②或④ D．①或③【答案】D【分析】分两种情形讨论当点顺时针旋转时，图象是③，当点逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点顺时针旋转，到达⊙O顶点时，运动过程中BP逐渐增大，从增大到4，据此可以判断，y与x函数图象是③，当点逆时针旋转，到达B点时，运动过程中BP逐渐减小，从减小到0，据此可以判断，y与x函数图象是①，故①③正确，故选：．5．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中点，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∵OC⊥AB,∴，,∴∴∴圆心O到弦AB的距离为，故选C.6．（2021·河北·中考真题）如图，等腰中，顶角，用尺规按①到④的步骤操作：①以为圆心，为半径画圆；②在上任取一点（不与点，重合），连接；③作的垂直平分线与交于，；④作的垂直平分线与交于，．结论Ⅰ：顺次连接，，，四点必能得到矩形；结论Ⅱ：上只有唯一的点，使得．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（    ）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【分析】Ⅰ、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；Ⅱ、在确定点P的过程中，看∠MOF=40°是否唯一即可．【详解】解：Ⅰ、如图所示．∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．∴OM=ON，OE=OF．∴四边形MENF是平行四边形．∵线段MN是⊙O的直径，∴∠MEN=90°．∴平行四边形MENF是矩形．∴结论Ⅰ正确；Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，∵AP=AB，∴．∵MN⊥AB，EF⊥AP，∴∴∴∴．∴．∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，∴．如图3，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，同理可证：．∴结论Ⅱ错误．故选：D7．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；故选：B．8．（2021·全国·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（　　）A．同弧所对的圆心角相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．二次函数的图象与坐标轴有两个交点D．若，则【答案】C【分析】利用圆心角的知识、菱形的判定、二次函数的图像与性质及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、在圆中，同一条弧对的圆心角只有一个，因此A选项说法有问题，是假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项是假命题；C、∵二次函数中，∴图象与坐标轴有两个交点，故C选项是真命题，符合题意；D、当、b=-1时，满足，但，故D选项是假命题，故选：C．9．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（    ）A．40° B．55° C．70° D．110°【答案】B【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠D＝70°，∴∠BOC＝2∠D＝140°，∵OA⊥BC，∴∠COA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，故选：B．10．（2021·辽宁盘锦·中考真题）下列命题正确的是（    ）A．同位角相等 B．相等的圆心角所对的弧相等C．对角线相等的四边形是矩形 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】D【分析】根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；故选：． 二、填空题11．（2021·全国·九年级专题练习）如图，四边形是的内接四边形，若半径为4，且，则的长为________．（结果保留π）【答案】【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接OB，OD，
 ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，∴∠C+∠A=3∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴弧BD=，故答案为：．12．（2021·山东芝罘·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA和CD的延长线交于E点，已知AB＝BC＝CD，AD＝3cm，∠E＝20°，则劣弧BC的长度是__________．【答案】【分析】先证 =，得=，再由圆周角定理得,然后分析推导出劣弧所对的圆心角度数，再根据弧长公式求解．【详解】 =，，即=，，，= ，如图，连接OA、OB、OC、OD，
 设 ，则，∴∴，
 又∵，∴，∴，∴，∴OA=AD=3∴劣弧BC的长度为：故答案为：cm13．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________．【答案】20°【分析】连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠ABC=40°，OB=OC，即可得到结果．【详解】解：如图，连接AO，BO，∴OA=OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，∵AB=BC，∴∠BOC=∠AOB，∴，∵∠ABC=40°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=20°．故答案为：20°．14．（2021·全国·九年级课时练习）已知下列四个图形：①长度为的线段；②斜边为3的直角三角形；③面积为4的菱形；④半径为，圆心角为90°的扇形；其中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是______．（填写序号）【答案】④【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．【详解】解：半径为1的圆的直径为2，①∵＞2，∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；②∵3＞2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；③∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；④∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故答案为：④．15．（2021·四川省内江市第六中学一模）把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是___．【答案】1：：：2【分析】设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，，所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，因而半径的比是，周长的比等于相似比，即半径的比，是．故答案为：． 三、解答题16．（2021·江苏工业园区·一模）如图，在苏州工业园区的金鸡湖东岸，有一座世界最大的水上摩天轮“苏州之眼”，其直径为，旋转1周用时．小明从摩天轮的底部（与地面相距）出发开始观光．
 （1）后小明离地面多高？（2）摩天轮转动1周，小明在离地面以上的空中有多长时间？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据摩天轮旋转一周用时，求出摩天轮旋转，再利用锐角三角函数知识进行求解；（2）重点是根据题意作出与地面平行的线段并延长交于点，利用锐角三角函数知识求出是解题的关键．【详解】解：（1）摩天轮旋转一周用时，摩天轮旋转，旋转度数为，设小明旋转到点，则，过点作AO的垂线交于点，
 摩天轮的直径是，，，，，（2）如图：假设为离地面的线段，则其与地面平行，延长交于点，则，
 ，，，，，,，，，摩天轮旋转需要的时间为，旋转，即从到所需要的时间为，小明在离地面以上的空中．17．（2021·江苏·扬州市梅岭中学一模）数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系，有些运算结果由每个变量的值来确定，也有些运算结果与某个变量无关，但这无关变量有时也有它的意义．（1）已知代数式，其中、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，求、的值；（2）在平面直角坐标系内，为坐标原点，直线交轴于点，且不论取任何非零实数，该直线始终经过一个定点，连接．①直接写出点坐标_________；②若是以为腰的等腰三角形，求此时点坐标．【答案】（1），；（2）①（2，1），②点坐标是（0，），或（0，），或（0，）．【分析】（1）将化简得 ，根据、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，可得， ，据此求解即可；（2）①根据经过定点与k值无关，可得k的系数等于零，可得点的坐标；②以为半径，点为圆心，作交轴于，两点，以为半径，点为圆心，作交轴于点，则，，是以为腰的等腰三角形，据此分别求出点坐标即可．【详解】解：（1）∵、是常数，且代数式的值与字母的取值无关，∴，，∴，，（2）①∵，且不论取任何非零实数，该直线始终经过一个定点，则点坐标是（2，1）；②如图示，以为半径，点为圆心，作交轴于， 两点，则，是以为腰的等腰三角形，∵点坐标是（2，1）∴，∴，则，是以为腰的等腰三角形，∴点坐标是（0，），点坐标是（0， ）；以为半径，点为圆心，作交轴于点，则是以为腰的等腰三角形，且关于 对称，则点坐标是（0，），综上所述，若是以为腰的等腰三角形，此时点坐标是（0，），或（0，），或（0，）；18．（2021·江苏泗洪·一模）一块含有角的三角板如图所示，其中，，．将此三角板在平面内绕顶点旋转一周．（1）画出边旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积．【答案】（1）画图见详解；（2）BC扫过的面积S圆环=．【分析】（1）由三角板可求AB=2BC=6cm，由勾股定理：AC=，边在平面内绕顶点旋转一周．图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示；（2）BC扫过的面积S圆环=计算即可．【详解】解：（1）∵三角板，，，，∴AB=2BC=6cm，∴由勾股定理：AC=，边在平面内绕顶点旋转一周．图形是以AB为半径的圆去掉以AC为半径的圆，所形成的圆环，如图所示：（2）BC扫过的面积S圆环=．