2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 中考模拟卷（二）

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中考模拟卷（二）


一、单选题
1．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】
①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得，即，；③由①可知，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得
【详解】
解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，

AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC




同理可得




又


故①正确
②如图，延长至，使，连接





，

如图，取的中点，连接并延长至，使得，

是的中点，



，



，




又




③如图，由①可知，故不一定等于
故③不正确

④如图，由②可知，





故④正确
综上所述，故正确的有①②④
故选B
2．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，AB=BC， E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH，下列结论错误的是（ ）

A．HE=2BE B．AC⊥DE C．∠CED=60° D．S△ADE= 2S△BCE
【答案】A
【分析】
根据平行线的性质结合题意易证是等腰直角三角形，即利用“三线合一”的性质可证明出，可判断B选项；由，可求出，即可求出，可判断C选项；在中，由含角的直角三角形的性质可确定．再由在中，，推出，即确定，可判断A选项；设，，即可求出，，．在和中，利用“SAS”可证明，，即推出，从而证明为等边三角形，得出．在中，利用勾股定理即得出，确定出x，y的关系．最后根据三角形面积公式计算出和结合求出的x，y的关系即可得到，可判断D选项．
【详解】
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵AE=AD，
∴．故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故C正确，不符合题意；
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．故A错误，符合题意；
设，，
根据题意可知，，
∴在中．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴在中，即，
整理得：．
∵，，
∴．故D正确，不符合题意．
故选A．
3．将抛物线y＝x2﹣6x+5绕坐标原点旋转180°后，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2﹣6x﹣5 B．y＝﹣x2+6x+5 C．y＝x2+6x+5 D．y＝x2+6x﹣5
【答案】A
【分析】
求得抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标，根据旋转的性质得到旋转180°后的抛物线的顶点坐标，进而即可求得新的抛物线的解析式．
【详解】
解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣6x+5的顶点坐标为（3，﹣4），点（3，﹣4）关于原点的对称点为（﹣3，4），
∴抛物线抛物线y＝x2﹣6x+5的图象绕坐标原点旋转180°所得的新的抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5．
故选：A．
4．如图，正方形内接于⊙O，线段在对角线上运动．若⊙O的面积为，，则周长的最小值是（ ）


A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【详解】
解：连接AC，
⊙O的面积为6π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，BD⊥AC，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
∴CA′⊥AC，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝5，
则△AMN的周长的最小值为5+1＝6，
故选：C．
5．如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】
证明△ABN∽△ADM，可得结论④正确．把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．证明△AEF≌△AHF，推出∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．可得②正确．证明△AMN∽△AFE．可得结论③正确．由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，可得①正确．
【详解】
解：∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，
∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD．
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN•DM．
故④正确；

把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠ADF＝∠ADH＝90°，
∴D、F、H在同一直线上，
∵∠BAD＝∠EAH＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF＝45°．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴∠AFH＝∠AFE，
即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，
即AM•AE＝AN•AF．
故③正确；
由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，
得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．
故①正确．
故选：D．
6．如图，正方形中，为中点，连接，于点，连接，交于点，下列结论：①；②为中点；③；④，其中结论正确的个数有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
如图（见解析），过点作于点，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用正切三角函数可得，从而可得，然后根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断①；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据角的和差可得，最后根据等腰三角形的判定可得，由此即可判断②；先根据上面过程可知，再根据相似三角形的判定即可判断③；设，从而可得，先利用勾股定理可得，再根据线段的和差可得，由此即可判断④．
【详解】
解：如图，过点作于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
又，
，结论①正确；
，
，
，
，
，
又，
，
，
，即为中点，结论②正确；
由上已得：，
，
在和中，，
，结论③正确；
设，则，
，
，
，
，
，结论④正确；
综上，结论正确的个数有4个，
故选：D．

7．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，对角线BD与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论：①∠EAG＝45°；②线段CF的最小值为6；③；④若DE＝2，则G为BC的中点．正确的结论有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
证明可得，则可证明结论①；连接，∵，即，则可证明结论②；将绕点顺时针旋转至，连接，证明，进一步可证明结论③；设，因为DE＝2，得出，
在中，运用勾股定理列出方程，求出的长度，即可得出结论④．
【详解】
解：∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴，
∴，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
连接，

∵正方形ABCD的边长为6，
∴，，
在中
∵，即，
∴当共线时，最小，
此时，
故②正确；
将绕点顺时针旋转至，连接，

∵，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
故③正确；
设，
∵DE＝2，
∴，，，
在中：
即，
解得：，
∴，
∴为的中点，
故④正确，
则正确的结论有④个，
故选：．
8．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（ ）

A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】D
【分析】
利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可．
【详解】
解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，

四边形是菱形，，AB＝3，
，，
、是等边三角形 ，
∴，
，
，
，
，，在一条直线上，
由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小，
∵，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
，，
的最小值是3．
故选：D．
9．如图，底边AB长为2的等腰直角△OAB的边OB在x轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）

A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（，﹣） D．（，﹣1）
【答案】B
【分析】
A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到，然后写出点A1的坐标．
【详解】
如解图，交x轴于H，

∵为等腰直角三角形，
∴，
∵绕原点O逆时针旋转45°得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
故选：B．
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③2a＋c＜0；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为＝3，＝－1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x＋1）（x－3）＋2＝0的两个根，则m＜－1且n＞3．其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（−1，0），所以a−b＋c＝0，又x＝−＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，③不正确；
抛物线与x轴交点（3，0），（−1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝−1；因此cx2＋bx＋a＝0的两根x1＝，x2＝−1，故④错误；
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（3，0），（−1，0），且a＜0，因此当y＝−2时，相应的x的值大于3，或者小于−1，即m＜−1，n＞3，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②⑤，
故选：A．

二、填空题
11．如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PB＋2PC的最小值为________．

【答案】
【分析】
如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，首先证明，得到，所以，而（当且仅当、P、共线时取等号），从而计算出得到的最小值．
【详解】

如图，连接交于点，延长交于点，取的中点，连接，，，，
为的内切圆，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值为的长度，
的最小值为的长度，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
12．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是_______．


【答案】##
【分析】
如图，连接AC，OC．证明点N在⊙T上，运动轨迹是 ，过点T作TH⊥AB于H．求出BT，TN，可得结论．
【详解】
解：如图，连接AC，OC．


∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵CNO＋∠OAC＝180°，
∴点N在⊙T上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝AH•tan30°＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝，
∵BN≥BT−TN，
∴BN≥，
∴BN的最小值为．
故答案为：．
13．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转半周当AE取最小值时，AG的长为____．

【答案】8
【分析】
过点A作AM⊥BC于M，由已知得出DC＝4，得出BC＝BD+DC＝6，由等边三角形的性质得出AB＝AC＝BC＝6，BM＝BC＝3，得出DM＝BM﹣BD＝1，在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM＝＝3，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，AD+AE＝DE，即此时AE取最小值，在Rt△ADM中，由勾股定理得出AD＝2，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得出AG＝8．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于M，
∵BD＝DC＝2，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝×6＝3，
∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，
∵AE≥DE﹣AD．
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，
∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；
故答案为：8．

14．二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过(1，m)，且mc＜0，下列结论：①c＞0；②a＜﹣；③若关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，则a＝﹣4．其中一定正确的有_______．（填序号即可）
【答案】①②④
【分析】
把(1，m)代入得，，①由mc＜0，a＜0讨论及两种情况即可得①成立；②由a＜0，，根据有理数的加法法则得到，且即可得②成立；③依题意可知，二次函数的图像的对称轴为，根据轴对称的性质可知抛物线过(-3，m)，方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为，因为方程有整数解，借助函数图像，可得整数解为-2，-1，0，故符合条件的p值有两个，③不正确；④当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，讨论当或 或三种情况即可得解．
【详解】
解： ，
或，
把(1，m)代入得，，
， ，显然当时，不成立，
，故①成立；
根据有理数的加法法则，可知：，根据绝对值及相反数的意义，得 ，
a＜﹣，故②成立；
二次函数y＝ax2+2ax+c（a，c为常数且a＜0）经过(1，m)，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过(-3，m)，如图，

关于x的方程ax2+2ax＝p﹣c（p＞0）可化为：，
方程的整数解有-2，-1，0，故符合条件的p值有两个，③不正确；
当a≤x≤a+2时，二次函数的最大值为c，且抛物线的对称轴为
分情况讨论：
，抛物线的开口向下，
分情况讨论：
Ⅰ），即，
当时，二次函数有最大值为，
解，得，，，
，故④成立；
Ⅱ） ，即，
当时，二次函数的最大值为，
解，得，，不合题意，舍去；
当时，时，二次函数的最大值为，
解，得 ，不合题意，舍去；
综上所述，①②④成立．
故答案为 ：①②④.
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；③若两个根为x1，x2，则（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 _____．
【答案】①③
【分析】
由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x1＝3，x2＝2，可判断②不正确；根据（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（）2，可判定④不正确．
【详解】
解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x1，x2，且x1＞x2，
则x1＝3，x2＝2，这与x1＞3不符合，故②不正确；
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x1，x2，则x1+x2＝5，x1•x2＝6﹣p2，
（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1•x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正确；
④∵x＝（p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝，
当p为奇数时，不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
16．如图，△ABC为⊙O的内接等边三角形，BC＝12，点D为上一动点，BE⊥OD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是____．

【答案】##
【分析】
连接，取中点，连接，求得，点在以为圆心，以为半径的圆上，求得当共线且点在的延长线上时，最大，求解即可．
【详解】
解：连接，取中点，连接，如下图：

∵，为中点
∴
∴点在以为圆心，以为半径的圆上
∴当共线且点在的延长线上时，最大
延长交于点，如上图：
∵△ABC为⊙O的内接等边三角形
∴垂直平分，
∴
∴，
∴，
∴
∴的最大值为
故答案为：
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB的中点，F是BC边上一动点，将△BEF沿着EF翻折，使得点B落在点B′处，矩形内有一动点P，连接PB'、PC、PD，则PB′+PC+PD的最小值为 ___．

【答案】
【分析】
将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′．由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，推出DP＝PP′，由CP＝P′C′，推出PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，根据EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，可得结论．
【详解】
解：将△PDC绕点D逆时针旋转60°，得到△DP′C′，连接PP′，CP′，EC′，由题意，AE＝EB＝EB′，

∴点B′在上运动，
由作图可知，△PDP′，△DCC′都是等边三角形，
∴DP＝PP′，
∵CP＝P′C′，
∴PB′＋PD＋PC＝PB′＋PP′＋P′C′，
∵EB′＋PB′＋PP′＋P′C′≥EC′，
如图，连接，交于点，



中，

又
∴PB′＋PP′＋P′C′≥12＋-4，
∴PB′＋PP′＋P′C′≥8＋，
∴PB′＋PC＋PD的最小值为8＋，
故答案为：8＋．


三、解答题
18．已知等边△ABC，M在边BC上，MN⊥AC于N，交AB于点P．
（1）求证：BP＝BM；
（2）若MC＝2BM，求证：MP＝MN．
（3）若E，F分别在AB、AC上，且△MEF为等边三角形，当的值最小时，＝　 　．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）利用直角三角形两锐角互余得到∠BMP=∠CMN=30°，再利用三角形的外角性质得到∠P=30°，即可证明结论；
（2）取CM的中点H，证明△BMP≌△HMN即可证明结论；
（3）过点E作EG⊥BC于点G，设BC=a，BF=CM=b，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理得到EM=，再利用等边三角形的面积比等于边长比的平方得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
∵MN⊥AC于N，
∴∠BMP=∠CMN=90°-60°=30°，
∴∠P+∠BMP=∠AB=60°，
∴∠P=30°，即∠P=∠BMP=30°，
∴BP＝BM；
（2）证明：取CM的中点H，连接NH，

∵MN⊥AC于N，
∴NH=HM=HC，
∵MC＝2BM，BP＝BM，
∴BM=HM=HN=BP，
∴∠P=∠BMP=∠NMH=∠HNM=30°，
∴△BMP≌△HMN，
∴PM=MN；
（3）解：过点E作EG⊥BC于点G，如图：

∵△ABC、△MEF都是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠EMF=60°，ME=MF，
∵∠EMC=∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，
∴∠FMC=∠BEM，
∴△BME≌△CFM，
∴BF=CM，
设BC=a，BF=CM=b，则BM=a-b，BG=BE=，GM=a-b-= a-b，
EG=b，
∴EM=，
∴，
整理得：，
∵3>0，
∴当时，有最小值，最小值为，
即M为BC的中点，
∴
故答案为：．
19．在中，，．点D在边BC上，且，AE交边BC于点F，连接CE．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若，求DF的长．

【答案】（1）见解析；（2）为定值，见解析；（3）
【详解】
（1）只需要证明，即可得到；
（2）先求出，得到A，，，四点共圆，则，即可求出；
（3）先证明，得到△CEF∽△BAF，则，设，则，，根据DK是线段AE的垂直平分线，得到，再由勾股定理得到，解得，由此求解即可．
【解答】
（1）证明：如图1中，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）结论：，理由如下：
如图2中，

∵，，，，
∴，
∴A，，，四点共圆，
∴，
∴；
（3）如图3中，连接．

∵，
∴，
∴△CEF∽△BAF，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴DK是线段AE的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍弃），
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
20．请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
…
5
m
1
﹣1
1
3
n
7
…
（1）函数自变量x的取值范围是 　 　．
（2）表格中：m＝　 　，n＝　 　．
（3）在直角坐标系中画出该函数图象．
（4）观察图象：
①当x　 　时，y随x的增大而减小；
②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　．

【答案】（1）全体实数；（2）3，5；（3）见解析；（4）①≤3；②a＞－1．
【分析】
（1）由绝对值的定义即可确定x的取值范围；
（2）将x=1和x=6分别代入解析式即可求得m和n的值；
（3）根据表格已有数据、描点、连线即可得到函数图象；
（4）①根据函数图象即可解答；②根据函数图像得到函数的性质，再运用性质解答即可
【详解】
解：（1）由绝对值的定义可知，x-3可取全体实数，
∴x的取值范围是全体实数，
故填：全体实数；
{2）当x=1时，m=2×|1-3|-1=3；
当x=6时，n=2×|6-3|-1=5，
故填：3，5；
（3）根据表中数据，描点，连线如下图所示：

（4）①由图可知，当x≤3时，y随x的增大而减小，
故填≤3；
∵关于x的方程2|x-3|-1=a有两个不同的实数根，
∴函数y=2|x-3|-1与函数y=a的函数图象有两个不同的交点，
∴a>-1．
故填a>-1．
21．如图，在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm．动点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，同时动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点C运动，连接CE，EF．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题：

（1）当CE⊥AB时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使CE＝CF，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设四边形AEFC的面积为ycm2，求y与t之间的关系式．
【答案】（1）t= （2）存在，，详解见解析 （3）
【分析】
（1）根据三角形面积相等求出CE的长，再由勾股定理求出AE的长，即可得答案；
（2）由勾股定理先求出ED和AD的长，在根据ED=AD-AE，解出的值即可；
（3）过点E作EG⊥BC，垂足为G，证出△BEG∽△BAC，求出EG，再由四边形面积得出y与x的关系式．
【详解】
解：（1）当CE⊥AB时，可知∠AEC=90°，

∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴△ABC的面积=×3×4=6，△ABC的面积=×5×CE，
∴×5×CE=6，
∴CE=，
在Rt△ACE中，AE=；
即t= ；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意可知AE=t，BF=t，

∵BC=4，
∴CF=4-t，
∵CE≥CD，即4-t≥，
∴t≤，
∴此时点E还未到D点，
由（1）可知CD=，
在Rt△CDE中，ED= ，
在Rt△ACD中，AD= ，
ED=AD-AE=，
，
两边同时平方，得：
，
整理得：
，
，
；
（3）过点E作EG⊥BC，垂足为G，

由图可知：四边形AEFC的面积=△ABC的面积－△BEF的面积，
∵AC⊥BC，EG⊥BC，
∴EG AC，
∴△BEG∽△BAC
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴四边形AEFC的面积= ，
设四边形AEFC的面积为y，
∴ ，
∴ ．
22．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．

（1）如图1，当点D在边BC上时，且∠BAD＝30°，求证：AD=BD．
（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC−∠ADC＝45°，求证：BD=AD．
（3）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α(0<α≤180∘)，直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAC面积的最大值____________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE，由折叠的性质可得AE＝AD，BE＝BD，∠EBD＝∠ABD＝45°，∠BAD=∠BAE＝30°，可得∠DBE=90°，∠DAE＝60°，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得结论；
（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，由“SAS”可证△BAE≌△CAD，可得∠ACD＝∠ABE，由“ASA”可证△DOB≌△DOE，可得DB＝DE，由等腰直角三角形的性质可得结论；
（3）作PG⊥AC，交AC所在直线于点G，求出PG的最大值，即可求解．
【详解】
解(1)如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，
∴△ABD≌△ABE，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠EBA＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°，
∴∠DBE＝90°，∠DAE＝60°
∴△ADE是等边三角形，DE=BD，
∴AD＝DE=BD；
(2)如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，

∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC，且AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAE≌△CAD(SAS)
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠ACD+∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠DCB+∠ABC+∠ABE＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AE＝AD，AE⊥AD，
∴DE=AD，∠ADE＝45°，
∵∠BDC−∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDC，且DO＝DO，∠DOB＝∠DOE＝90°，
∴△DOB≌△DOE(ASA)
∴BD＝DE，
∴BD=AD；
(3)如图3，作PG⊥AC，交AC所在直线于点G，

∵D，E在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当CE所在直线与⊙A相切时，直线BD与CE的交点P到直线AC的距离最大，
此时四边形ADPE是正方形，AD＝PD＝2，
则CE= ，
∴∠ACP＝30°，
∴PC＝，
∴点P到AC所在直线的距离的最大值为：PG＝．
∴△PAC的面积最大值为AC×PG＝．
23．已知线段AB上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段AB），并记所有这些线段的长度总和为，例如：图1中，AB＝12，C为AB的中点，则＝AB+AC+CB＝12+6+6＝24．
（1）如图2，线段AB上有C、D两点，其中AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，求；
（2）如图3，线段AB上有C、D、E三点，其中C为AB的中点，E为DB的中点，且CE＝4，αAB＝64，求AB的长度；
（3）线段AB上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若＝38，且CD的长度为奇数，直接写出AB的长度．


【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据比例易求AC，CD，DB的长，进而利用αAB＝AC＋CD＋DB＋AD＋CB＋AB可求解；
（2）结合中点的定义可利用AB表示每条线段长，再根据αAB＝64，列方程即可求解；
（3）根据αAB＝38，可用CD表示AB，由CD是奇数，AB为正整数，CD＜AB，可求得CD的长，进而求得AB的长．
【详解】
解：（1）如图2，∵，，
∴，，，
∴，，
∴；


（2）如图3，∵C为AB的中点，E为DB的中点，，
∴，
∴




∴；


（3）∵，
∴AC＋CD＋DB＋AD＋AB＋CB＝38，
即3AB＋CD＝38，
∴，
∵CD是奇数，AB为正整数，
∴CD＝5，11，，17，23，29，35
∵CD＜AB，
∴，
∴，
∴满足条件的只有CD＝5，
∴．

24．如图1，A（﹣2，6），C（6，2），AB⊥y轴于点B，CD⊥x轴于点D．


（1）求证：△AOB≌△COD；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）如图3，点E为第一象限内一点，点F为y轴正半轴上一点，连接AF，EF．EF⊥CE且EF＝CE，点G为AF中点．连接EG，EO，求证：∠OEG＝45°．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据即可证明；
（2）过点作轴，交于点，得出，由平行线的性质得，由轴得，由得，故可得，从而得出，推出，根据证明，得出即可得证；
（3）延长到，使，连接，，延长交于点，根据证明，得出，，故，由平行线的性质得出，进而推出，根据证明，故，，即可证明．
【详解】
（1）轴于点，轴于点，
，
，，
，，
；
（2）


如图2，过点作轴，交于点，
，
，
轴，
，
，
，
，，，
，
在与中，
，
，
，即点为中点；
（3）


如图3，延长到，使，连接，，延长交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，即．
25．在平面直角坐标系中，，且a，b满足，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点：

（1）如图1，若，求的面积；
（2）如图1，若，且，求D点的坐标；
（3）如图2，若，以为边，在的右侧作等边，连接，当最短时，求A，E两点之间的距离；
【答案】(1)的面积为12；(2) D点的坐标为；(3) A，E两点之间的距离为．
【分析】
(1)利用完全平方式和绝对值的性质求出a， b，然后确定A、B两点坐标，从而利用三角形面积公式求解即可；
(2)根据题意判断出，从而得到CB= AD，然后利用勾股定理求出CB，即可求出结论；
(3)首先根据已知推出 ，得到∠DBC=∠EAC=120°，进一步推出 ，从而确定随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，再根据点到直线的最短距离为垂线段的长度，确定OE最短时，各点的位置关系，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解： (1) ：∵，
由非负性可知： ，
解得：
∴A(3，0)， B(-3，0)， AB=3-(-3)=6，
∵ C(0，4)，
∴OC=4，
∴；
(2)由(1)知A(3，0)， B(-3，0)，
∴OA=OB，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
在△AOC和△BOC中，
，
∴ ，
∴∠CBO=∠CAO，
∵∠CDA=∠CDE +∠ADE=∠BCD+∠CBA，∠CBA=∠CDE，
∴∠ADE=∠BCD，
在△BCD和△ADE中，
，
∴，
∴CB= AD，
∵ B(-3，0)， C(0，4)，
∴OB=3，OC=4,
∴ ，
∴AD=BC=5，
∵A(3，0)，
∴D(-2，0)；
(3)由(2) 可知CB=CA，
∵∠CBA=60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BCA=60°， ∠DBC=120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∵∠DCE=∠DCB+∠BCE，∠BCA=∠BCE+∠ECA，
∴∠DCB=∠ECA，
在△DCB和△ECA中，
，
∴△DCB≌△ECA( SAS)，
∴∠DBC=∠EAC= 120°，
∵∠EAC+∠ACB= 120°+60°= 180°，
∴，
即：随着D点的运动，点E在过点A且平行于BC的直线PQ上运动，
∵要使得OE最短，
∴如图所示，当OE⊥PQ时，满足OE最短，此时∠OEA=90°，
∵∠DBC=∠EAC=120°，∠CAB=60°，
∴∠OAE=∠EAC-∠CAB=60°，∠AOE= 30°，
∵ A(3，0)，
∴OA=3，
∴
∴当OE最短时，A，E两点之间的距离为．