2022-2023 数学北师大版新中考精讲精练 考点05一次方程（组）

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考点05一次方程（组） 【考点总结】一、等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方的解，也叫它的根．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．【考点总结】二、一元一次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝.2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.【考点总结】三、二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．【考点总结】四、二元一次方程组的解法1、代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．2、代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b.②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解．⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解．取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，这样不但避免错误，还能提高运算速度．1、加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．2、加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．谈重点  加减消元法解二元一次方程组当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．【考点总结】五、列方程(组)解应用题步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．真题演练一、单选题1．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】B【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况．【详解】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得，把③代入①②得，解得z=（k为整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1．综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．故选B． 2．（2021·江苏·七年级专题练习）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可.【详解】解：大量筒中的水的体积为：，小量筒中的水的体积为：，则可列方程为：.故选A.3．（2021·河南·三模）《九章算术》是中国古代的数学专著，奠定了中国传统数学的基本框架.方程术是《九章算术》最高的数学成就. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”译文：“假设有若干人共同出钱买羊，如果每人出5钱，那么还差45钱；如果每人出7钱，那么仍旧差3钱，求买羊的人数和羊的价钱.”设羊是x钱，可列方程为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据羊的数量保持不变即可解题.【详解】解：设羊是x钱，依题意得：,故选D.4．（2021·重庆实验外国语学校九年级期末）已知一次函数y＝kx＋2的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ）．A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【分析】结合题意，根据一次函数的性质可得：k＜0，由各选项中点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值，取k值为负的选项即可得出结论．【详解】∵y随x的增大而减小，∴k＜0A、当点（﹣1，2）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，﹣k＋2＝2解得：k＝0，选项A不符合题意；B、当点（2，-1）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，2k＋2＝-1解得：k＝，选项B符合题意；C、当点（2，3）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，2k＋2＝3解得：k＝，选项C不符合题意；D、当点（3，4）在一次函数y＝kx＋2的图象上时，3k＋2＝4解得：k＝，选项D不符合题意故选：B．5．（2021·湖北武汉·中考真题）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（    ）
 A． B． C． D．【答案】B【分析】求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．【详解】解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），代入得,解得，∴慢车解析式为：，设快车从甲地到乙地的解析式，过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，解得，快车从甲地到乙地的解析式，设快车从乙地到甲地的解析式，过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，解得，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇，解得，快车从乙地到甲地与慢车相遇，解得，两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．故选择B．6．（2021·青海·中考真题）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）．A．8 B．6或8 C．7 D．7或8【答案】D【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：∵，∴解得，①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．7．（2021·湖北武汉·七年级期末）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意列出方程组求出解即可得出结果．【详解】解：设长方体木块长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意，得，两式相加，得 2a=150，解得 a=75，故选：D．8．（2021·河南·三模）列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有x个人，物品价值y钱，可列方程组为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱;每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解【详解】设人数为x人，物价为y钱，依题意得: 故选: A9．（2021·陕西兴平·八年级期末）将直线向下平移后得到直线，若直线经过点，且，则直线的解析式为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】可设直线l的解析式为y=-2x+c，由题意可得关于a、b、c的一个方程组，通过方程组消去a、b后可以得到c的值，从而得到直线l的解析式．【详解】解：设直线l的解析式为y=-2x+c，则由题意可得：，
 ①+②可得：b+c=b-7，∴c=-7，∴直线l的解析式为y=-2x-7，故选C ． 10．（2021·四川三台·二模）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为4cm2的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　）A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2【答案】D【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据拼图，可以得出关于x，y的二元一次方程组【详解】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：，∴.故选：D． 二、填空题11．（2021·江苏姜堰·二模）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为___________．【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10， 在Rt△OCP'中，由勾股定理得：（x+1﹣5）2+102＝x2．故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．12．（2021·江苏·滨海县第一初级中学七年级阶段练习）对任意四个有理数a，b，c，d，定义：，已知，则x=_____．【答案】3【分析】首先看清这种运算规则，将转化为一元一次方程2x－(﹣4x) ＝18，然后通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程即可．【详解】由题意得，2x－(﹣4x) ＝186x＝18解得：x＝3故答案为：313．（2021·江苏无锡·一模）已知y1=x＋3，y2=2－x，当x=_________时，y1比y2大5．【答案】2【详解】根据题意得：（x+3）-（2-x）=5，去括号得：x+3-2+x=5，移项合并得：2x=4，解得：x=2，则当x=2时，y1比y2大5，故答案为214．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）若方程组的解是，那么|a-b|= ______________．【答案】1【详解】将代入中，得解得所以|a－b|＝|1－2|＝1．15．（2021·江西·模拟预测）已知是关于，的二元一次方程组的解，则的值是__________．【答案】【分析】将x与y的值代入原方程组，然后将所求式子的分母分解因式后整体代入计算即可．【详解】解：将代入方程组，得，∴，故答案为：． 三、解答题16．（2021·全国·七年级单元测试）为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始，某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台；（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元．【答案】（1）560，400；（2）516.2【详解】解：设手动型x台 自动型960-x台则 （1+30%）x+（1+25%）（960-x）=12281.3x+1200-1.25x=1228解得：x=560960-x=960-560=400    所以手动型 560台 自动型 400台（2）万元17．（2021·山东张店·一模）（1）解方程组：（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2），【分析】（1）先整理方程组，然后利用加减消元法解方程组，即可求出方程组的解；（2）由分式的加减乘除混合运算进行化简，得到最简分式，再把代入计算，即可得到答案．【详解】（1）解：由式，解得：③由①+③，解得：，所以，将代入①式得， 所以，原方程组的解为；（2）解：原式 ；将代入得，原式．18．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）七年级期末）长春是以汽车产业为主要经济支柱的工业化城市，新中国的第一辆汽车就是在长春诞生的，长春是中国大型的汽车制造城市，所以又叫“汽车城”．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名．【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，再依据题意建立关于与的二元一次方程组，解方程组即可得；（2）设还需要招聘名新工人才能完成一个月的生产计划，再结合（1）的结论，根据“计划一个月生产200辆”可建立关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】（1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，依题意得：，解得：，经检验，符合题意，答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）设还需要招聘名新工人才能完成一个月的生产计划，依题意得：，解得：，答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．