2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点16函数及其图像

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考点16函数及其图像考点总结1．变量与函数（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。（3）表示函数关系的方法1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。2）列表法3）图像法（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。（5）函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值全体。通常从两方面考虑1）在实际问题中，自变量x的取值会受到实际意义的限制。2）使函数的解析式有意义。2．函数的图像（1）直角坐标系1)在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点。2)在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m，称为点P的横坐标；点N在y轴上的坐标为n，称为点P的纵坐标，得到一对有序实数（m，n），称为点P的坐标，可记为P（m，n）。3)在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。4)在平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的。 5)不同位置点的坐标的特征 横坐标纵坐标第Ⅰ象限++第Ⅱ象限-+第Ⅲ象限--第Ⅳ象限+-x轴任意实数0y 轴0任意实数（2）函数的图像1）一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成。图像上的每一点的坐标（x，y）代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。2）画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三步。3．一次函数（1）函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称它们为一次函数。     一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b是常数，k0。     特别的，当b=0时，一次函数y=kx（常数k0），也叫做正比例函数。（2）一次函数的图像     一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）的图像是一条直线，通常也称为直线y=kx+b。特别的，正比例函数y=kx（k0）的图像是经过原点（0，0）。     对于直线y=kx+b（k、b是常数，k0），k表示直线的倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。（3)一次函数的性质当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左到右上升。当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左到右下降。当k>0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ象限。当k>0，b<0时，函数经过Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ象限。当k<0，b>0时，函数经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ象限。当k<0，b<0时，函数经过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。（4）求一次函数的关系式待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得出所求结果的方法，叫做待定系数法。4．反比例函数（1）一般的，形如是常数）的函数叫做反比例函数。（2）反比例函数的图像时双曲线。（3）反比例函数的性质1）当k>0时，函数的图像在第Ⅰ、Ⅲ象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。2）当k<0时，函数的图像在第Ⅱ、Ⅳ象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。5．二元一次方程组的图像解法画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点，这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程的方法叫做二元一次方程组的图像解法。6．一次函数与一元一次不等式使一次函数y=kx+b（k0）的函数值y>0的自变量的所有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。 真题演练 一、单选题1．（2021·湖南湘西·中考真题）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ）A．图象与轴没有交点B．当时C．图象与轴的交点是D．随的增大而减小2．（2021·湖南益阳·中考真题）如图，已知的面积为4，点P在边上从左向右运动（不含端点），设的面积为x，的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（    ）A．  B．C．  D．3．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（    ）A． B． C． D．或4．（2021·湖南娄底·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（    ）A． B． C． D．5．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，于E点，交BD于M点，反比例函数的图象经过线段DC的中点N，若，则ME的长为（    ）
 A． B．C． D．6．（2021·湖南长沙·中考真题）下列函数图象中，表示直线的是（    ）A．  B．C． D．7．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）A． B．C． D．8．（2021·湖南益阳·中考真题）正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（    ）A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点9．（2021·湖南娄底·中考真题）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（    ）①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．（2021·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（    ）A． B．C． D． 二、填空题11．（2021·湖南永州·中考真题）如图，A，B两点的坐标分别为，在x轴上找一点P，使线段的值最小，则点P的坐标是_______________．12．（2021·湖南永州·中考真题）已知函数，若，则_________．13．（2021·湖南益阳·中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判断，表中_______．14．（2021·湖南郴州·中考真题）在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________．15．（2021·湖南株洲·中考真题）点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________． 三、解答题16．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．（1）求直线的解析式；（2）求反比例函数的解析式；（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．17．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．
（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点的坐标及直线的表达式；（3）判断的形状，试说明理由；（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．