2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点17全等三角形判定

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考点17全等三角形判定
考点总结
1．命题
判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。
命题可以写成“如果……，那么……”的形式。
2．定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
3．公理
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。
4．全等三角形的判定
一般三角形 SSS SAS ASA AAS
直角三角形 SSS SAS ASA AAS HL
5．尺规作图
只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。
（1）作一条线段等于已知线段
（2）作一个角等于已知角
（3）作已知角的平分线
（4）经过一已知点（直线上、直线外）作已知直线的垂线
（5）作已经线段的垂直的平分线
6．逆命题
（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
（2）原命题为真，它的逆命题不一定为真
7．等腰三角形的判定
（1）利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）。
8．勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这个三角形是直角三角形。
9．角平分线
到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
10．线段垂直平分线
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

真题演练

一、单选题
1．（2021·湖南望城·模拟预测）如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（ ）

A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠F
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
解：，
，
，
，即，
当时，满足，无法判定，故A选项符合题意；
当时，满足，可以判定，故B选项不合题意；
当时，满足，可以判定，故C选项不合题意；
当时，满足，可以判定，故D选项不合题意；
故选：A．
2．（2021·湖南长沙·模拟预测）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】A
【分析】
连接EC、DC．根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，利用SSS即可证明△ODC≌OEC．
【详解】
如图，连接EC、DC．

根据作图的过程知，OE=OD，CE=CD，
在△EOC与△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SSS）．
故选A．
3．（2021·湖南绥宁·一模）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且，CE⊥DF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG＝BC，连接CM．有如下结论：①AE＝BF；②AN＝AD；③∠ADF＝∠GMF；④S△ANF＝S△ABC，上述结论中，正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】
①正确．证明△ADF≌△DCE（ASA），即可判断．②正确．利用平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质解决问题即可．③正确．作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，通过计算证明MH＝CH即可解决问题．④错误．设△ANF的面积为m，由AF∥CD，推出，△AFN∽△CDN，推出△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，推出△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，由此即可判断．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠CDE＝∠DAF＝90°，
∵CE⊥DF，
∴∠DCE+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DE＝AF，
∴AD﹣DE＝BC﹣AF，即AE＝BF，
故①正确；
∵AB∥CD，
∴，
∵AF：FB＝1：2，
∴AF：AB＝AF：CD＝1：3，
∴，
∴，
∵AC＝AD，
∴AN＝AD；
故②正确；
作GH⊥CE于H，设AF＝DE＝a，BF＝2a，则AB＝CD＝BC＝3a，EC＝a，

由△CMD∽△CDE，可得CM＝a，
由△GHC∽△CDE，可得CH＝a，
∴CH＝MH＝CM，
∵GH⊥CM，
∴GM＝GC，
∴∠GMH＝∠GCH，
∵∠FMG+∠GMH＝90°，∠DCE+∠GCM＝90°，
∴∠FMG＝∠DCE，
∵∠ADF＝∠DCE，
∴∠ADF＝∠GMF；
故③正确，
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝12m，
∴S△ANF：S△ABC＝1：12，
故④错误，
故选：C．

二、填空题
4．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．

【答案】
【分析】
证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：由题意：平分，于,
，，
又为公共边，
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
故答案是：．
5．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______．

【答案】①②④
【分析】
利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明，可得①正确；②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE，
∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，
∴∠EDC=∠PDA，
在△APD和△CED中，
∴△APD≌△CED，故①正确，
∴∠APD=∠DEC，
∵DP=DE，∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠DEP=45°，
∴∠APD=∠DEC=135°，
∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，
∴AE⊥CE，故②正确，
如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，
∵，∠PDE=90°，
∴PE=，
∵，∠PEC=90°，
∴CE==2，
∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，
∴∠FEC=45°，
∵∠EFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=EF==，
∴点到直线的距离为，故③错误，
∴DF=EF+DE=+1，
∴CD2===，
∴，故④正确，

综上所述：正确的结论有①②④，
故答案为：①②④
6．（2021·湖南长沙·一模）如图，点O是三角形内的一点，，已知，则___________，___________．

【答案】
【分析】
（1）由已知，三角形ABC的外接圆的圆心为O，根据圆周角定理可求∠BOC度数；
（2）三角形OBC的面积可求，只需求出三角形OAB和三角形OAC的面积即可求出三角形ABC的面积；为此，延长AO交三角形ABC的外接圆于点P，分别过点B、C作BM⊥AP于点M，CN⊥AP于点N，求出BM+CN的长即可．
【详解】
解：（1）∵OA=OB=OC=4，
∴的外接圆的圆心为O，半径为4，如图所示．



故答案为：
（2）延长AO交于点P，分别过点B、C作BM⊥AP于点M，CN⊥AP于点N，如图所示．







在和中，



在中，


∵CN-BM=1，
∴设BM=x，则CN=x+1．

整理得，
解得，（不合题意，舍去）







故答案为：
7．（2021·湖南雨花·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则CD的长为___________．

【答案】
【分析】
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，由面积法可求OE=OF=OH=1，可证四边形OFBH是矩形，可得BF=OH=1，由“AAS”可证△COE≌△COF，可得CE=CF=3，由勾股定理可求解．
【详解】
解：如图所示，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO
∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB
∴OE=OH=OF
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4
∴
∵
∴
∴OE=OF=OH=1
∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB
∴四边形OFBH是矩形
∴BF=OH=1
∴CF=3
又∵点O为Rt△ABC的内心
∴∠OCF=∠OCE
又∵OC=OC，∠CEO=∠CFO=90°
∴△COE≌△COF
∴CE=CF=3
∵OD∥BC
∴∠DOC=∠OCF=∠OCE
∴OD=DC
∵
∴
∴
故答案为：．

8．（2021·湖南邵阳·一模）如图，已知在中，，点，在上，且，请你在图中找出一组全等三角形______．（不添加任何字母和辅助线）

【答案】或
【分析】
由AB=AC，得∠B=∠C，则由BD=CE可判定；由BD=CE，可得BE=CD，则可得．
【详解】
在与中，
，
∴（）；
∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴（）；
故答案为：或．

三、解答题
9．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，．
（1）证明：．
（2）若，，求四边形的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）四边形的周长=
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，再根据SAS证明两三角形全等即可
（2）先根据正方形的性质得出∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD，再根据勾股定理计算出BE，再证明四边形DEBF是菱形，即可得出四边形的周长
【详解】
（1）证明：∵四边形是正方形
∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°
在△ADE和△CBF中
∴(SAS)
（2）∵四边形是正方形
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又
∴OA=OB=sin∠OAB×AB=
∵
∴OE=2
在Rt△EOB中，
∵四边形是正方形
∴AO=CO，DO=BO
又∵
∴EO=FO，又DO=BO
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵AC⊥BD，即BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形
∴BE=DE=DF=BF=
∴四边形的周长=4×=
10．（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：．
求作：，使得≌．
作法：如图．

（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在和中，

∴≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）；（2）④．
【分析】
（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得；
（2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得．
【详解】
（1）证明：由作图可知，在和中，
，
∴．
故答案为：．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是，
故答案为：④．
11．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点．

（1）求证：；
（2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）90°，理由见解析
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且，可以证明两三角形全等；
（2）根据平行四边形对角线垂直即可说明．
【详解】
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）当时四边形为菱形，
理由：∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
12．（2021·湖南·台州市书生中学一模）如图，在中，、为上两点，．求证：．

【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，，证明△ADE△CBF，即可得结论．
【详解】
证明：四边形平行四边形，
，，
．
在与中，
，
，
，
．
13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG=3
【分析】
（1）根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴，即GA2=GE•GF，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根据（1）中的结论AG=CG，
∴CG=3．
14．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图

①作射线 ；
②以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；
③以为圆心，OC为半径作弧 ，交 于 ；
④以 为圆心，CD为半径作弧，交弧 于 ；
⑤过点 作射线 ，则 就是所求作的角
请完成下列问题：
（1）该作图的依据是 （填序号）①ASA；②SAS；③AAS；④SSS
（2）请证明 ＝∠AOB
【答案】（1）④；（2）见解析
【分析】
（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是SSS，即可求解；
（2）由作法得已知：OC＝ ， ， ，从而，即可求证．
【详解】
解：（1）根据作图过程可得：作一个角等于已知角的方法依据是④；
（2）证明：由作法得已知：OC＝ ， ， ，
在△OCD和 中， ，
∴ ，
∴ ．
15．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校一模）如图，在中，，点，分别为，的中点，作与相切于点，在边上取一点，使．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作于．连接，证明，得到，再证明四边形是矩形,得到即可得证．
（2）设，则，在中，，在中，,建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）证明：作于．连接

，，
．
．
，，
．
．
是的切线，
．
．

，
∴四边形是矩形．
．
．
是的切线；
（2）设，则．
，
．
在中，．
在中，
，
．
解得．
的半径为．