2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点24二次函数

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考点24二次函数考点总结1．二次函数形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数。它的图像是一条抛物线。2．的图像与性质（1）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）。（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。当a<o时，图像开口向下，函数有最大值。当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小。3．的图像与性质（1）由向上（或向下）平移k个单位得到的。（2）对称轴是y轴，顶点坐标是（0,k）。（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=0时，y=k。当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大。当a<o时，图像开口向下，函数有最大值，即当x=0时，y=k。当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小。4．的图像与性质（1）由向左（或向右）平移h个单位得到的。（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，0）。（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=0。当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大。当a<o时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=h时，y=0。当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小。5．+k（a0）的图像与性质（1）（a0）由（a0）先向右（或向左）平移h个单位，再向上（或向下）平移k个单位得到的。（2）对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。（3）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=h时，y=k。当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大。当a<o时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=h时，y=k。当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小。（4）二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k（a0）中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关。6．通过配方把二次函数化成+k（a0）的形式，即（1）对称轴，顶点坐标（）（2）当a>0时，图像开口向上，函数有最小值，即当x=时，y=。当x<时，y随x的增大而减小，当x>时，y随x的增大而增大。当a<o时，图像开口向下，函数有最大值, 即当x=时，y=。当x<时，y随x的增大而增大，当x>时，y随x的增大而减小。7．最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果。8．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式。（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求。（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求。（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求。9．抛物线与直线的交点一次函数与二次函数交点的个数由方程组的解得个数决定。当方程组有两个不同解时，两函数图像有两个交点。当方程组有两个相同解时，两函数图像有一个交点。当方程组无解时，两函数图像没有交点。10．二次函数与一元二次方程的关系（1）二次函数，当y=0时，二次函数就转化为一元二次方程。（2）抛物线与x轴交点的个数就由一元二次方程中的决定。若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。若，抛物线与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。11．二次函数与一元二次不等式之间的关系若，的解集为；          的解集为。若，的解集为；          的无解。若，的解集为x可取任意实数。          的无解。 真题演练 一、单选题1．（2022·湖南娄底·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（    ）A． B． C． D．2．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）A． B．C． D．3．（2022·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（    ）A． B．C． D．4．（2021·湖南岳阳·中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-15．（2020·湖南娄底·中考真题）二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．6．（2020·湖南娄底·中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（    ）A． B． C． D．7．（2020·湖南湘西·中考真题）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（    ）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤8．（2020·湖南长沙·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(       )A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟9．（2020·湖南岳阳·中考真题）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（    ）A． B． C． D．10．（2020·湖南株洲·中考真题）二次函数，若，，点，在该二次函数的图象上，其中，，则（    ）A． B． C． D．、的大小无法确定  二、填空题11．（2021·湖南益阳·中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判断，表中_______．12．（2020·湖南岳阳·中考真题）在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________．13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）二次函数的顶点坐标是__________．14．（2021·湖南·长沙市北雅中学二模）已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为_________．15．（2021·湖南怀化·三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）． 三、解答题16．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，求直线的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021·湖南益阳·中考真题）已知函数的图象如图所示，点在第一象限内的函数图象上．
（1）若点也在上述函数图象上，满足．①当时，求的值；②若，设，求w的最小值；（2）过A点作y轴的垂线，垂足为P，点P关于x轴的对称点为，过A点作x轴的线，垂足为Q，Q关于直线的对称点为，直线是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．