2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 模拟测试（二）

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模拟测试（二）

一、单选题
1．计算2cos30°的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】
解：cos30°
2cos30°
故选D．
2．2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题解析：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前5天完成任务，
∴﹣=5，
故选A.
3．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先解出不等式的解集，然后再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】
解：：，
由①得：x＞0，
由②得：x≤3，
不等式组的解集为：0＜x≤3，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
4．岳阳是国家历史文化名城，区域内的岳阳楼、君山岛、张谷英村、屈子祠、左宗棠故居都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：13，8，12，9，8（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．9人，8人 B．8人，12人 C．8人，9人 D．9人，12人
【答案】C
【分析】
根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】
解：∵8出现了2次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是8人；
把这些数从小大排列，，
则中位数是9人．
故选：C．
5．如图，长方形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，点D的坐标为（0，4）．则直线BD的函数表达式为（　　）

A．y=－x+2 B．y=－2x+4 C．y=－x+3 D．y=2x+4
【答案】B
【分析】
根据条件易得BC，AB的长，就可以求出B点的坐标，根据待定系数法就可以求出直线BD的函数的解析式．
【详解】
解：因为OA＝1，OC＝2，
所以BC＝1，AB＝2，
所以点B的坐标是（1，2），
又∵点D的坐标是（0，4），
设直线BD的关系式为y＝kx＋b，
把B，D的坐标代入关系式，有
，
解得．
∴直线CD的函数关系式是y＝−2x＋4．
故选：B．
6．下列说法正确的是（ ）
A．-1是最大的负数； B．倒数等于它本身的数1
C．相反数等于本身的是0 ； D．绝对值等于本身的数是正数
【答案】C
【分析】
利用负数，绝对值，相反数，倒数判断即可得到结果．
【详解】
解：、不是最大的负数，是最大的负整数，原说法错误，不符合题意；
、倒数等于本身的数是，原说法错误，不符合题意；
、相反数等于本身的数是0，原说法正确，符合题意；
、绝对值等于本身的数为0和正数，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
7．一次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．－2 C．2或－2 D．3
【答案】B
【详解】
试题分析：把x=0，y=0代入可得，解得k=±2，又因k-2≠0，即k≠2，所以k的值取-2，故答案选B．
8．曲靖市的职业教育是曲靖市教育的一张名片，现在曲靖市中等职业学校在校生约为130000人，将数字130000用科学记数法表示为（　　）
A．0.13×105 B．0.13×106 C．1.3×105 D．1.3×106
【答案】C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【详解】
将数字130000用科学记数法表示为1.3×105，
故选：C．
9．.已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于 ( )
A．25° B．35° C．50° D．95°
【答案】B
【分析】
根据三角形内角和等于180度和相似三角形的性质定理解答
【详解】
因为△ABC和△A1B1C1相似，根据相似三角形对应角相等可得：∠AC=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，因为∠A=50°，∠B=95°，所以∠C=,故∠C1等于35°，答案选B.
10．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2
【答案】A
【分析】
作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】
如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，
∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），
∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，
由勾股定理得，AB=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2，
∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，
故选A．

11．下面四个图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
12．如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
【详解】
连接AC，

设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC=AB=a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，
故选C.

二、填空题
13． 判断正误(对于真命题画“√”，对于假命题画“×”)：同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．（______）
【答案】√，
【解析】
试题解析：同一平面内既不重合也不平行的两条直线一定相交．正确.
故答案为√.
14．______.
【答案】
【分析】
将原式进行变形后，利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可.
【详解】
解：原式=
==
15．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是_________．

【答案】4
【分析】
根据题意过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，

∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=8，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2=64，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4．
故答案为：4．
16．如图，某兴趣小组用无人机对大楼进行测高，无人机从距离大楼30米（PB＝30米）垂直起飞，飞到A处悬停，测得大楼底部俯角α＝45°，大楼顶部仰角β＝60°，则大楼的楼高BC＝____米．（结果保留根号）

【答案】##
【分析】
过A点作AD⊥BC交BC于D点，根据题意得到四边形APBD是正方形，求出DB的长度，然后根据仰角β＝60°的三角函数值和AD=30求出DC的长度，即可求出大楼的楼高BC的长度．
【详解】
解：如图所示，过A点作AD⊥BC交BC于D点，

∵，，，
∴四边形APBD是矩形，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形APBD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．

三、解答题
17．如图，已知在正方形中，对角线与交于点，点在线段上，联结并延长交边于点，点在线段上，且，联结与线段交于点，联结、．

（1）如果，求证：四边形是菱形；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD是正方形，推出，所以MN∥CD，再根据EN∥BD，推出四边形DMNE是平行四边形，再证明△AOM≌△DON，推出∠OMA=∠OND，由∠OAM+∠OMA=90°，∠OAM+∠OND=90°得出∠AHN=90°，即DN⊥ME，所以四边形DMNE是菱形；
（2）由MN∥CD，推出，由四边形ABCD是正方形，推出AB∥DC，AB=DC，∠ADC=90°，即AD⊥DC，根据EN⊥DC，得出EN∥AD，所以，根据AB∥DC，推出，所以，最后得出结论．
【详解】
证明：（1）如图1，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是平行四边形
在和中，∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∴平行四边形是菱形
（2）如图2，

∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
18．计算： ；．
【答案】；．
【解析】
分析：（1）先根据零指数幂、绝对值的意义、负整数指数幂的意义逐项化简，然后合并同类项即可；
（2）第一项根据完全平方公式计算，第二项根据平方差公式计算，然后合并同类项即可.
详解：原式；
原式．
19．已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是常数．
（1）若函数的图象经过点（﹣1，8），求此函数的解析式．
（2）当x≤2时，y随x的增大而减小，求m的最小值．
（3）当﹣1≤x≤2时，若二次函数图象始终在直线y＝3的上方，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）1；（3）
【分析】
（1）将点代入解析式即可求得的值，进而求得二次函数的解析式；
（2）根据二次函数的性质，在抛物线对称轴的左侧，y随x的增大而减小，进而列出不等式
（3）分三种情况讨论，当时， 当时， 当＜＜ 再结合二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得：，
∴该函数的表达式为：；
（2）∵二次函数，
∴函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴，
∴
∴m的最小值为1.
（3）∵二次函数，
∴函数图象的对称轴为直线，图象的开口向上，
当时，此时
此时当时，函数值取最小值，
＞
＜
所以此时符合条件的不存在；
当时，此时
此时当时，函数值取最小值，



当＜＜ 即＜＜
此时当时，函数取最小值，
最小值为：
＞ 即＜
令

由二次函数图象的开口向上，
＜的解集为：
＜＜，
所以：＜＜，
综上：的取值范围为：．
20．（1）设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=______，其中P=（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=_________
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）I为△ABC内心，根据S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC列式整理即可得出结论；
（2）根据切线的性质得出∠IDC＝∠IEC＝90°，OE＝OD，∠C＝90°得出四边形IDCE是正方形，则CE＝CE＝r，然后根据切线长定理用r表示AF、BF，最后根据AF＋BF＝AB列式整理即可得出r．
试题解析：
（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，
则S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC，
∴S＝c·r＋a·r＋b·r＝(a＋b＋c)r＝Pr，
则r＝；
（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，
如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C＝90°，ID＝IE，
∴四边形DIEC为正方形，
∴CE＝CD＝r，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴AD＝AF＝b－r，BE＝BF＝a－r，
∴b－r＋a－r＝c，
∴r＝（a＋b－c）．

21．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．

【答案】OD =3，AD=213
【解析】
【分析】
连接AC，设⊙O的半径为R．在Rt△ODB中，利用勾股定理求出R，再利用三角形的中位线定理求出AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD即可；
【详解】
解：连接AC，设⊙O的半径为R．

∵CE=EB，
∴OE⊥BC，
∴CD=DB=4cm，
在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，
∴（R﹣2）2+42=R2，
∴R=5，
∴OD=OE﹣DE=3，
∵AO=OB，CD=DB，
∴AC=2OD=6，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴AD=AC2+CD2 =62+42 =213 ．
22．某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元.
（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？
（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电.已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？
（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2500元；（2）方案一：购进A型号彩电7台、B型号彩电13台；方案二：购进A型号彩电8台、B型号彩电12台；方案三：购进A型号彩电9台、B型号彩电11台；方案四：购进A型号彩电10台、B型号彩电10台；（3）当购进A型号彩电7台、B型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最大利润为5300元
【分析】
（1）设去年四月份每台A型号彩电售价是a元，根据两年四月份卖出彩电的数量相同，列方程求解；
（2）设A型号彩电购进x台，则B型号彩电购进（20-x）台，购进共需1800x+1500（20-x）元，根据购进的资金范围，列不等式组求解；
（3）设A型号彩电购进x台，则B型号彩电购进（20-x）台，则利润w=（2000-1800）x+（1800-1500）（20-x），根据一次函数的增减性求最大利润．
【详解】
解：（1）设去年四月份每台A型号彩电售价元，依题意：

解得：.
经检验，是原方程的解.
∴.
答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元.
（2）设电器城在此次进货中，购进A型号彩电台，则B型号彩电台，依题意：

解得：.
由于只取非负整数，所以，8，9，10.
所以电器城在此次进货中，共有4种进货方案，分别是：
方案一：购进A型号彩电7台、B型号彩电13台；
方案二：购进A型号彩电8台、B型号彩电12台；
方案三：购进A型号彩电9台、B型号彩电11台；
方案四：购进A型号彩电10台、B型号彩电10台.
（3）设电器城获得的利润为元，则与的函数关系式为：

∵，随的增大而减小，且，8，9，10.
∴当时，可取得最大值，.
因此，当购进A型号彩电7台、B型号彩电13台时，电器城获得的利润最大，最大利润为5300元
23．已知，，求的值.
【答案】12.
【分析】
先根据二次根式的运算，分别求出x+y、xy的值，然后把分式变形求解即可.
【详解】
∵
∴x+y=，xy=，
∴原式==12，.
24．（1）如图1，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，求证：BE＝BF；
（2）如图2，若G是EF的中点，连接AG、CG、AC，请判断△AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝9，BH＝2AH，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【分析】
（1）由矩形的性质结合角平分线的定义可证得∠ADF＝∠BEF＝∠CDF＝∠F，可证明BE＝BF；
（2）连接BG，由“SAS”可证△AGF≌△CGB，可AG＝CG，进一步可证明∠AGC＝90°，可判定△AGC为等腰直角三角形；
（3）在BH上截取BN＝BE，连接NE，由等腰三角形的性质可求HN＝NE＝BN，可求BN的长，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠F＝∠CDF，∠ADF＝∠BEF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADF，
∴∠F＝∠BEF，
∴BE＝BF；
（2）△AGC为等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接BG，

由（1）可知BE＝BF，且∠FBE＝90°，
∴∠F＝45°，
∴∠F＝∠ADF＝45°，
∴AF＝AD＝BC，
∵G为EF中点，
∴BG＝FG，∠EBG＝45°，
在△AGF和△CGB中，
，
∴△AGF≌△CGB（SAS），
∴AG＝CG，∠AGF＝∠BGC，
∴∠BGF+∠AGB＝∠AGB+∠AGC，
∴∠AGC＝∠BGF＝90°，
∴△AGC为等腰直角三角形；
（3）如图，在BH上截取BN＝BE，连接NE，

∵AB＝9，BH＝2AH，
∴AH＝3，BH＝6，
∵∠BEF＝45°，
∴∠BED＝135°，
∵EH平分∠BED，
∴∠BEH＝67.5°，
∴∠BHE＝22.5°，
∵BE＝BN，∠ABC＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，
∵∠BNE＝∠BHE+∠HNE＝45°，
∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，
∴HN＝NE＝BN，
∵BH＝BN+NH＝（+1）BN＝6，
∴BN＝6﹣6＝BE，
∴BF＝6﹣6，
∴BC＝AD＝AF＝AB+BF＝9+6﹣6＝6+3．
25．为了解某市区九年级学生每天的健身活动情况，随机从市区九年级的12000名学生中抽取了500名学生，对这些学生每天的健身活动时间进行统计整理，作出了如下不完整的统计图（每组数据含最小值不含最大值，统计数据全部为整数），请根据以下信息解答如下问题：
时间/分
频数
频率
30～40
25
0.05
40～50
50
0.10
50～60
75
b
60～70
a
0.40
70～80
150
0.30

（1）a=_______，b=_______；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）学生每天健身时间的中位数会落在哪个时间段？
（4）若每天健身时间在60分钟以上为符合每天“阳光一小时”的规定，则符合规定的学生人数大约是多少人？

【答案】（1）200， 0.15 （2）见解析 （3）60~70时间段内 （4）8400人
【分析】
（1）根据频数=总人数×频率可得a的值，再由频率=频数÷总人数可得b的值；
（2）根据所求结果补全图形可得；
（3）根据中位数的定义知其中位数为第250、251个数据的平均数，由第250、251个数据均落在60～70内可得答案；
（4）总人数乘以样本中60～80的频率之和可得．
【详解】
（1）∵本次调查的总人数为25÷0.05=500，
∴a=500×0.4=200、b=75÷500=0.15，
故答案为200、0.15；
（2）频数分布直方图如图：

（3）由于公共有500个数据，其中位数为第250、251个数据的平均数，
∵第250、251个数据均落在60～70内，
∴学生每天的健身时间的中位数会落在 60～70时间段；
（4）12000×（0.4+0.3）=8400，
答：符合规定的学生人数大约是8400人．