2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点26图形的相似

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考点26图形的相似考点总结  1、三角形相似判定（1）预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．（2）判定定理1三边成比例的两个三角形相似．如下图，在△ABC和中，，则△ABC∽．（3）判定定理2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如下图：如果，则△ABC∽．（4）判定定理3两角分别相等的两个三角形相似．
如下图：如果，则△ABC∽．   
2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；
（3）相似三角形的对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方．3、常见相似模型（1）“A字”型：条件：在中，点在上，点在上，．结论：△ADE∽△ABC，． 



（2）反“A字”型：条件：在中，点在上，点在上，结论：，  

变式：条件：在中，点D在AB上，．结论：，．  （3）“8字”型：条件：在中，点在的延长线上，点在的延长线上，．结论：，． 
（4）反“8字”型：条件：在中，点在的延长线上，点在的延长线上，．结论：，．    4、位似图形如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，其相似比又叫做位似比。 位似图形的性质（1）周长比等于位似比；（2）面积比等于位似比的平方；（3）位似图形上任意一对对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比。真题演练一、单选题1．如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（    ）A．正比例函数关系 B．一次函数关系C．二次函数关系 D．反比例函数关系【答案】B【分析】过梯子中点O作地面于点D．由题意易证，即得出．由O为中点，，，即可推出，即．即可选择．【详解】如图，过梯子中点O作地面于点D．∴，又∵，∴，∴，根据题意O为中点，，．∴，整理得：．故y与x的函数关系为一次函数关系．
 故选B．2．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，，∴斜边，∵要做一个与其相似的三角形木架，∴两个三角形对应边成比例，∵直角三角形中斜边最大，∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，则有2种情况，①，解得：，②，解得：，∴另两边中长度最大的一边最多可达到，故选：C．3．若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（    ）A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．【详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A4．如图，在中，∥，若，，则等于（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【详解】解：∵DE∥BC，AD＝2，AB＝3，∴．故选：D．5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　）A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）【答案】A【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，∴，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选A．6．如图，在中，延长至点E，使，连接交于点F，交于点G，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设DE=x,由得出AD=2x，AE=3x，利用平行四边形的性质知AE∥BC，BC=AD=2x，据此得出，利用相似三角形的性质得即可得出答案．【详解】解:设DE=x，由知AD=2x,则AE=3x,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC，BC=AD=2x，∴∴故选: A．7．正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点．设AE=x，矩形的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（    ）A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变D．y与x之间不是函数关系【答案】C【分析】设正方形的边长为，先根据正方形的性质得出，，再根据矩形的性质得出，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案．【详解】设正方形的边长为四边形ABCD是正方形，，四边形是矩形又，即则矩形的面积因此，y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变故选：C．8．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F．若EF＝1，则DE的长为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】设AB＝x则BC＝2x，根据矩形ABCD中，，可得BD的长，证明，对应边成比例即可求出DE的长．【详解】设AB＝x，则BC＝2x∵矩形ABCD中，∴∵∴∵∴∴，即∴故选：B．9．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（    ） A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m【答案】C【分析】根据在同一时刻物高和影长比值相同，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【详解】解：延长AC交BD延长线于点E，根据物高与影长成正比得：，
∵CD=1，∴解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB=4，即树AB的高度为4米，
故选：C．10．如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点，重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（    ）A． B． C． D．2【答案】D【分析】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，根据折叠的性质可得∠EHG=∠A=90°，EH=AE，可得EH=a-y，DH=a-x，根据直角三角形两锐角互余的关系可得∠DEH=∠CHG，可证明△DEH∽△CHG，根据相似三角形的性质可用a、x、y表示出CG、HG的长，在Rt△DEH中利用勾股定理可得x2=2a(x-y)，表示出△CHG的周长，进而可得答案．【详解】设正方形ABCD的边长为a，CH=x，DE=y，则m=4a，∵将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合，∴∠EHG=∠A=90°，EH=AE，∴DH=a-x，EH=a-y，∵∠CHG+∠DHE=90°，∠DEH+∠DHE=90°，∴∠CHG=∠DEH，∵∠D=∠C=90°，∴△DEH∽△CHG，∴，即：，∴CG=，HG=，在Rt△DEH中，EH2=DE2+DH2，即(a-y)2=y2+(a-x)2，∴x2=2a(x-y)，∴n=CH+HG+CG=x++==2a，∴==2，故选：D． 二、填空题11．某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．【答案】2∶3        【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时间相同，∴，解得：，∴；故答案为，．12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，D，E是AC，BC分别与网格线的交点，若小正方形的边长为1，则DE的长为________．【答案】2【分析】根据格点的特征可得，再证明△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得DE=2．【详解】如图，∵DMAN，∴，∵DEAB，∴△CDE∽△CAB，∴，∵AB=4，∴DE=2．故答案为：2．13．如图，中，，点D是边上的一个动点（点D与点不重合），若再增加一个条件，就能使与相似，则这个条件可以是____（写出一个即可）． 
 【答案】答案不唯一，如：【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．【详解】∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，∴添加的条件是DB：BA=AB：BC； 
 ∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，∴添加的条件是；故答案为：DB：BA=AB：BC或．14．如图，在中，点分别是边上的点，， 则的长为________. 【答案】4【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】∵，，∴，，则，，∴，∵，∴．故答案为：4．15．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为_______m．【答案】14【分析】利用同时同地物的高与影长成正比列式计算即可．【详解】解：设旗杆高度为xm由題意得， 解得：x=14故答案为14． 三、解答题16．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧），且．直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的对称轴；（2）求点的坐标（用含有的式子表示）；（3）点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，若，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为；（2）；（3）或【分析】（1）根据一次函数可求对称轴；（2）根据对称轴可求得B、C两点的坐标，代入解析式可求得a、b、c之间的关系，即可解得；（3）先根据题意作图，再利用相似的判断和性质求解．【详解】解：（1）把代入得∴，∴抛物线的对称轴为 （2）∵对称轴为，∴，∴解得∴抛物线解析式为令得即（3）关于的对称点为过点作轴于，则，，∴，∴∴，∴∴∴或
  17．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠PAB=，BC=2，求PO的长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到ABC=，证明≌，得到OBP=OAP，根据切线的判定定理证明；（2）根据余弦的定义求出AO，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝，∵ABPO，∴POBC∴AOP＝C，POB=OBC，OB=OC，∴OBC＝C，AOP=POB在和中，∴≌∴OBP=OAP，∵PA为⊙O的切线，∴OBP=OAP=，∴PA为⊙O的切线；（2）解：∵PAB+BAC=，C+BAC=，∴PAB=C，，在RT△ABC中，∴，易证∽∴∴故最后答案为5．18．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点的坐标；（3）点与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴的垂线与直线交于点，若，结合函数图象，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线；（2）点C的坐标为；（3）a的取值范围是或．【分析】（1）将点代入，求得，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴，即，得，代入，令，可解得C点坐标；（3）表示出点A，点M的坐标，根据轴，得，表示出EN，进而得MN长度表示，用，解出的取值范围即可．【详解】（1）直线与抛物线的对称轴交于点，．抛物线的对称轴为直线． （2）由（1）知对称轴，即，得∴，令，则，即解得由于点B在点C左侧∴点C的坐标为． （3）抛物线与y轴交于点A，点A的坐标为．点M与点A关于抛物线的对称轴对称，点M的坐标为．①当时，如图1．轴，，即．．∴若，即，得．
 ②当时，如图2．同理可得若，即，得．综上所述，a的取值范围是或．