2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点27锐角三角函数

考点27锐角三角函数

考点总结

1、锐角三角函数的概念

如图所示，在中，，的对边的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边；的对边的边记为，叫做的对边，也叫做的邻边；直角所对的边记为，叫做斜边。

在中，如果锐角确定，那么的邻边与斜边的比、的对边与邻边之比也随之确定。

（1）正弦：把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即
    ；

（2）余弦：把锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即
    ；

（3）正切：把锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即
    ；

锐角的正弦、余弦、正切都是的三角函数．当锐角变化时，相应的三角函数值也随之变化．

2、锐角三角函数增减规律

（1）的值随的增大而增大；

（2）的值随的增大而减小；

（3）的值随的增大而增大.

3、特殊角的三角函数值

4、解直角三角形

定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

例，如图，在中，，

（1）边的关系：；

（2）角的关系：；

（3）边角关系：三角函数的定义.

5、解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用—坡度坡角问题；

解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题；

解直角三角形的实际应用—方向角问题.

真题演练

一、单选题

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．

【详解】

解：在中，，，，

由勾股定理得，，

∴，

故选：D．

2．如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交于点C，连接OA，OB，BC．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

结合已知条件推知直角的直角边与斜边的关系可求，进而根据圆周角定理求出∠C．

【详解】

解：与相切于点，

．

，，

∴，

，

∴

故选：B．

3．如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案．

【详解】

解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2．

∵ME⊥AB，，

∴是直角三角形，，，，

∵，

∴，．

又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK，

∴．

∵，

∴，

∴是直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

即

则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点．

故选：A．

4．如图，线段是的直径，为上两点，如果，那么的度数是(　　)

A．15° B．30° C．45° D．60°

【答案】B

【分析】

如图（见解析），连接BC，先根据圆周角定理可得，再根据正弦三角函数值可得，然后根据圆周角定理即可得．

【详解】

如图，连接BC

线段是的直径

在中，，

由圆周角定理得：

故选：B．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是（　　）

A．AB和CD B．AB和EF C．CD和GH D．EF和GH

【答案】D

【分析】

如图，当点M在线段AB上时，连接OM．根据正弦函数，余弦函数的定义判断sinα，cosα的大小．当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．判断sinα，cosα的大小即可解决问题．

【详解】

如图，当点M在线段AB上时，连接OM．

∵sinα=，cosα=，OP＞PM，

∴sinα＜cosα，

同法可证，点M在CD上时，sinα＜cosα，

如图，当点M在EF上时，作MJ⊥OP于J．

∵sinα=，cosα=，OJ＜MJ，

∴sinα＞cosα，

同法可证，点M在GH上时，sinα＞cosα，

故选：D．

6．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，，则的长为（    ）

A．2.5 B．4 C．5 D．10

【答案】C

【分析】

先根据垂径定理得出CE=DE=2，易得∠B=∠C，然后在Rt△ACE和Rt△BDE中分别利用∠C和∠B的正切求出AE与BE的长，进而可得答案．

【详解】

解：∵的直径垂直于弦，，

∴CE=DE=2，

在Rt△ACE中，∵，∴，∴AE=1，

∵∠B=∠C，

∴在Rt△BDE中，由，则，∴BE=4，

∴AB=AE+BE=5．

故选：C．

7．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）

A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变

【答案】D

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．

8．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）

A．200 米 B．（200+200）米

C．600 米 D．（200+20）米

【答案】B

【分析】

在Rt△ACD中，由tan∠A＝，可知（米），在Rt△BCD中，由∠B＝45°知BD＝CD＝200米，根据AB＝AD+BD可得答案．

【详解】

解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，

在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，

∴（米），

在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，

∴BD＝CD＝200米，

∴AB＝AD+BD＝200+200（米），

故选：B．

9．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为(     )

A．asinα+asinβ B．acosα+acosβ C．atanα+atanβ D．

【答案】C

【分析】

在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC＝atanα，BD＝atanβ，得出CD＝BC+BD＝atanα+atanβ即可．

【详解】

在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，

∴BC＝atanα，BD＝atanβ，

∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，

故选C．

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）

A． B．2 C．5 D．10

【答案】C

【详解】

分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．

详解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，

∴∠AOB=90°，

∵BD=8，

∴OB=4，

∵tan∠ABD=，

∴AO=3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，

故选C．

二、填空题

11．如图所示的正方形网格中有，则的值为___________．

【答案】1

【分析】

利用网格特点，构建Rt△ACB，然后利用正切的定义求解．

【详解】

解：如图，在中，．

故答案为：1．

12．如图，小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，若点在同一直线上，两点间距离为3米，则条幅的高为_________米（结果可以保留根号）

【答案】3

【分析】

过点C作CE∥AB，交BD于点E，可得四边形ABEC是平行四边形，在直角中，利用锐角三角函数的定义，即可求解．

【详解】

过点C作CE∥AB，交BD于点E，

∵小石同学在两点分别测得某建筑物上条幅两端两点的仰角均为，

∴∠CAO=∠DBO=60°，

∴AC∥BD，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∴CE=AB=3，∠DEC=60°，

∵BO⊥DO，

∴EC⊥DO，

∴在直角中，CD=EC×tan60°=3，

故答案是：3．

13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格交点上，是的外接圆，则的值是____________．

【答案】

【分析】

作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．

【详解】

解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD=，
在Rt△BDC中，cos∠BDC=，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=，
故答案为：．

14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．

【答案】

【分析】

作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．

【详解】

解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，

∵BC＝，BD＝，

∴sin∠ACB＝，

故答案为：．

15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么与的大小关系为：________（填“＞”“＝”或“＜”）．

【答案】＞

【分析】

根据已知条件转化为比较与的大小比较，根据正切的概念进行比较即可；

【详解】

如图所示，

∵，

∴，

∵，

，

∴比较与的大小，即比较与的大小，

∵，

，

∵，

∴，

∴＞．

三、解答题

16．已知：如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°，连接OD，AD．过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）如果OD＝CD＝2，求AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）2+．

【分析】

（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论；

（2）过点D作DM⊥AM于点M，根据∠C＝45°．可得三角形MAD是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得AB的长．

【详解】

（1）证明：如图，连接OA，

∵∠C＝45°，

∴∠DOA＝90°，

∴AO⊥OD，

∵ABOD，

∴OA⊥AB，

∵OA是半径，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC，

∵OD＝CD＝2，

∴△OCD为等边三角形，

∴，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，

△DAM为等腰直角三角形，

∵DA＝2，

∴AM＝2，DM＝2，MB＝，

∴AB＝2+．

17．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）根据题意，推导得DE＝BC，DE∥BC，从而得BCDE是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线性质，证明BE＝DE，即可解决问题；

（2）结合题意，根据特殊角度三角函数的性质，得∠ADB＝30°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得；再结合菱形及三角形内角和性质，得直角△ACD，通过三角函数性质计算，即可解决问题．

【详解】

∵AD＝2BC，E为AD的中点，

∴DE＝BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）连接AC

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝1，

∵AD＝2BC＝2，

∴sin∠ADB＝

∴∠ADB＝30°，

∴ ,∠ADC＝2∠ADB＝60°，

∴∠DAC＝30°，

∴

∵在Rt△ACD中， AD＝2BC＝2，

∴AC＝＝．

18．计算：．

【答案】

【分析】

直接利用二次根式的化简、负指数幂的性质、零指数幂以及三角函数的常用值分别进行化简后计算即可得出结果．

【详解】

解：原式，