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2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 中考模拟卷（三）
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中考模拟卷（三）
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（ ）
A．或 B．或2 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】
分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可．
【详解】
解：连接DB，交AC于点O，则DB⊥AC.
∵EF ⊥AC，
∴EF//DB
∵，
∴∠CAB= ∠CAD= ∠BCA=30°，
∵
∴AD=AB=BC=DB=，DO=BO=
∵DB⊥AC
∴AO= ,即AC=6
当GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；
当GB=GC时，过点G做GH⊥BC，则CH=BC=
∵∠BCA=30°
∴
∴GC= 2，
∴AP=（AC-CG）=（6-2）=2；
综上，AP的长为3-或2．
故选B．
2．如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点A，且点B在轴上，过点B作轴的垂线交反比例函数图像于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF=tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF=2BC，OB=2OF进一步导出OA=3OF，在Rt△AOF中，AF=,，在Rt△OBC中，即可求出OF的长，求出k的值．
【详解】
解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，
∴AF∥BC，
∴△AED∽△BCD，
∴，
∴，
设，则AF=tBC，
∴
又OF×AF=OB×BC，
∴，
又EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB
∴，
∴，
解得t=2，
∴AF=2BC，OB=2OF
又∵，
∴，
∴OA=3OF，
在Rt△AOF中，勾股定理可得AF=，
∴，
在Rt△OBC中，，
∴，
解得OF= 或﹣（舍去）
∴AF==4，
∴k=OF×AF=，
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解】
如图，分别连接BD、
∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出△BDE∽△ADC，求出DE＝，BE＝，进而求出S△BDE＝，AE＝，再判断出△AHE∽△ADC，求出AH＝7，HE＝，再判断出△BFH∽△ACD，求出BF＝，最后用三角形的面积的差，即可得出结论．
【详解】
解：∵CD＝3BD，BC＝4，
∴BD＝1，CD＝3，
∴S△ACD＝AC•CD＝6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝＝5，
过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，
∴∠BED＝90°＝∠C，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△BDE∽△ADC，
∴，
∴，
∴DE＝，BE＝，
∴S△BDE＝DE•BE＝，AE＝AD+DE＝，
延长EB交AC的延长线于H，
由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，
∵∠C＝∠AEH＝90°，
∴△AHE∽△ADC，
∴，
∴，
∴AH＝7，HE＝，
∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HE﹣BE＝，S△AHE＝AE•HE＝，
过点B作BF⊥C'H于F，
∴∠BFH＝90°＝∠C，
∴∠H+∠FBH＝90°，
∵∠C'AD+∠H＝90°，
∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，
∴△BFH∽△ACD，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴S△BC'H＝C'H•BF＝，
∴S△BC'D＝S△AEH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝﹣﹣﹣6＝，
故选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可；
②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；
④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立；
④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立．
【详解】
解：设正方形的边长为2
∵在正方形ABCD中， E是BC的中点
∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，
∴AE=,tan∠BAE=
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，
∴∠BAE=∠BAE
∴tan∠FEC=,CE=1
∴CF=
∴EF=
∴tan∠EAF =
∴∠BAE＝∠EAF，故①正确；
∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，
∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵BC=CD，BC=2CE=4CF，
∴CF=CD，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C=90°，
∴EG=EC，
∴EG=EB，
∵∠B=∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
AE=AE，EB=EG
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB=AG，
又∵CF=GF，AF=AG+GF，
∴AF=AB+CF，故④正确；
综上共有4个正确结论．
故答案为D．
6．如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
如图：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．先通过等腰三角形和全等三角形的判定和性质得到FQ=BQ=PE=1；再说明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理计算得到DE=EF=；如图2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的长，从而得EG的长；然后再根据AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的长；利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则可得EN=，然后计算出△EMN各边的长，最后求周长即可．
【详解】
解：如图1：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．
∵DC∥AB
∴PQ⊥AB，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠ACD=450
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=PC.
设PC=x，则PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.
∴PD=EQ，
∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.
∴△DPE≌△EQF
∴DE=EF
∵DE⊥EF
∴△DEF是等腰直角三角形
易证△DEC≌△BEC
∴DE=BE
∴EF=BE
∵EQ⊥FB
∴FQ=BQ=BF
∵AB=4，F是AB的中点
∴BF=2
∴FQ=BQ=PE=1
∴CE=，PD=4-1=3
Rt△DAF中，
∴DE=EF=
如图2：∵DC//AB.
∴△DGC∽△FGA
∴
∴AG=2AG,DG=2FG
∴
∵
∴
∴
连接GM、GN，交EF于H.
∵∠GFE=45°
∴△GHF是等腰直角三角形
∴
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=
∴∠EHM=∠DEF=90°
∴DE∥HM
∴△DEN∽△MNH
∴
∴
∴EN=3NH
∵EN+NH=EH=
∴EN=
∴NH=EH-EN=
在Rt△GNH中，
由折叠得：MN=GN，EM=EG
∴△EMN的周长为．
故选：C．
7．如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】
解：∵平行四边形中，E是的中点，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正确；
若，
则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，
E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，
由，可得BN=CN，
所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正确；
若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，
∴DQ=2EP，
∵，
∴，
故③正确；
若，
因为，
所以，
分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正确；
故选：D．
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
【答案】D
【分析】
分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
思想方法等．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】D
【分析】
先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】
解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴,
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴,
∴,
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴,
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
10．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
【答案】D
【分析】
结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案．
【详解】
第一个正方形左上角数字为：1
第二个正方形左上角数字为：2
第三个正方形左上角数字为：3
…
第n个正方形左上角数字为：n；
第一个正方形右上角数字为：
第二个正方形右上角数字为：
第三个正方形右上角数字为：
…
第n个正方形右上角数字为：
∵题干中最后一个正方形右上角为：18
∴
∴
∴题干中最后一个正方形为第八个正方形；
第一个正方形左下角数字为：
第二个正方形左下角数字为：
第三个正方形左下角数字为：
…
第n个正方形左下角数字为：
第八个正方形左下角数字为：9；
第一个正方形右下角数字为：
第二个正方形右下角数字为：
第三个正方形右下角数字为：
…
第n个正方形右下角数字为：
∵
∴第8个正方形右下角数字为：
故选：D．
二、填空题
11．将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2﹣；③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF•EF．其中正确的是_____．
【答案】①②④．
【分析】
①由正方形的性质得出AB＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD＝CD，BN＝CN，∠FDE＝∠CDE，∠DFE＝∠C＝90°，∠DEF＝∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD＝FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
②设AB＝AD＝BC＝4a，则MN＝4a，BN＝AM＝2a，由等边三角形的性质得出∠DAF＝∠AFD＝∠ADF＝60°，FA＝AD＝4a，FM＝AM＝2a，得出FN＝MN﹣FM＝（4﹣2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
③求出△ADF的面积＝AD•FM＝4a2，正方形ABCD的面积＝16a2，得出③错误；
④求出∠BFE＝∠DFB，∠BEF＝∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD＝CD，BN＝CN，
∠FDE＝∠CDE，∠DFE＝∠C＝90°，∠DEF＝∠DEC，
∴FD＝FA，
∴AD＝FD＝FA，即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB＝AD＝BC＝4a，则MN＝4a，BN＝AM＝2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF＝∠AFD＝∠ADF＝60°，FA＝AD＝4a，FM＝AM＝2a，
∴FN＝MN﹣FM＝（4﹣2）a，
∴tan∠EBF＝，②正确；
∵△ADF的面积＝AD•FM＝×4a×2a＝4a2，
正方形ABCD的面积＝（4a）2＝16a2，
∴，③错误；
∵AF＝AB，∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AFB＝∠ABF＝75°，
∴∠DBF＝75°﹣45°＝30°，∠BFE＝360°﹣90°﹣60°﹣75°＝135°＝∠DFB，
∵，
∴=180°﹣15°-135°＝30°＝∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴，∴BF2＝DF•EF，④正确；
故答案为：①②④．
12．在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______
【答案】
【分析】
①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；
②在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同①得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解．
【详解】
①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，
∵⊙A的半径为6，即AP=6，
∴，又，
且，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过C作CI⊥AB于I，
∴，
在Rt△CIB中，∵，BC=8，
，
∴，
∴，
，
在Rt△CIQ中，，
∴的最小值为；
故答案为：；
②连接AP，
由①得：在Rt△CIA中，，
在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过G作GH⊥AB于H，
∴，
在Rt△CIA中，，
在Rt△GAH中，
，
∴，
∴，
，
在Rt△GHB中，，
∴的最小值为．
故答案为：．
13．如图，扇形圆心角为，半径为，点，分别为，中点，连接与相交于点，则阴影部分面积为___；
【答案】
【分析】
先求出∠OFA=∠OEB=90°和EG与FG的长，再分别求出扇形面积和空白部分面积，相减即可求解．
【详解】
解：如图，连接EF，
∵点 E ， F 分别为 OA ， OB 中点，
∴OE=EA=OF=BF=2，
又∵扇形圆心角为 60° ，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=2=EA=BF，∠OEF=∠OFE=60°，
∴∠EAF=∠EFA=∠EBF=∠BEF=30°，
∴∠OFA=∠OEB=90°，
在Rt△AEG和Rt△BFG中，
EG=AE×tan∠EAG=，GF=BF×tan∠GBF=，
连接OG，
则
；
∵扇形面积，
∴阴影面积为：；
故答案为：．
14．如图1是一张双档位可训节靠背椅，档位调节示意图如图2．两脚，以及靠背，座位，其中D，F分别为，上固定连接点，在点A上移动实现靠背的调节，，，已知分米，．
（1）当时，点E离水平地面的离度为_________分米．
（2）当靠背时，有，则的长为_____分米．
【答案】
【分析】
（1）先利用得到，然后证出得到，再用相似三角形的性质得出结果；
（2）作辅助线，然后利用得到，再利用勾股定理求出，利用得出，再利用勾股定理得出结果．
【详解】
（1）如图1，过点作于点，
∵，
∴为的中点，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
得，，
过点作延长线作垂线交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E离水平地面的离度为分米；
图1
（2）如图2，过点作，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
则的长为分米．
图2
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 ___．
【答案】n≤254
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），通过列三元一次方程组并求解，即可得到b=a+4及c的值；分a>0和a<0两种情况分析；当a>0时，结合二次函数图像的性质，得t<0，不符合题意；当a<0时，结合二次函数平移和一元二次方程的性质，通过求解二元一次方程组和一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴a−b+c=0c=4，
∴b=a+4
根据题意，分a>0和a<0两种情况分析；
当a>0时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=−b2a<0
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴0+t2=−b2a<0
∴t<0，即和t≥3相矛盾
∴a>0不符合题意；
当a<0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当n>0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随n增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为t=3时，即3,0
∴32=−b2a，即b=−3a
∴b=−3ab=a+4
∴a=−1b=3
∴t=3时，y＝ax2+bx+c最大值为254
∴254−n=0
∴n=254
当n<0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随n减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴n≤254
故答案为：n≤254．
16．习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山！”全国上下各行各业都把环境保护放在了首位．重庆某汽车厂在新能汽车的研究上下足功夫，取得了瞩目的成绩！现该汽车厂对一款新车在三条不同的线路上进行测试，每条测试线路都分为高速和非高速两种路段，测试车在出厂时设定了固定不变的高速路段和非高速路段的速度（途中车辆从一种路段变为另一种路段时的加、减速以及车辆出发、停车时的速度变化都忽略不计），其中高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，测试时，测试车都直接从出发地驶向目的地，途中不掉头、不停留．测试记录表上显示，三次测试的时间分别是10小时、16小时、26小时（每条测试线路高速路段和非高速路段各自用去的时间都是整数），并且三条测试线路的路程都是，那么该测试车设定的高速路段速度是______．
【答案】63或72或81．
【分析】
根据题意，找出题目的等量关系，列出方程组，然后解方程组，结合高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，以及时间都是整数，进行讨论分析，即可得到答案．
【详解】
解：设测试车在高速路段上的速度为，则；在低速路段上的速度为，；
测试车三次行驶在高速路段上的时间为：，，；则三次行驶在低速路路段上的时间为：，，，（，，均为整数）；则
，
整理得：，
由①②，得：，
由②③，得：，
∵，，均为整数，
∴与成正比例函数，
设
∵，，，，均为整数，
∴，（k只能取正整数）
把代入②，得：，
∴，
∵，
∴，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时或28；
当时，，此时或36；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，无解；
当时，，不符合题意；
∵，
∴满足题意的有：
①，，此时；
②，，此时；
③，，此时；
∴那么该测试车设定的高速路段速度是：63千米/小时或72千米/小时或81千米/小时；
故答案为：63或72或81．
17．如图，半圆的半径为1，为直径，、为切线，，P为上一动点，求的最小值______________．
【答案】
【分析】
取CO中点M，利用相似三角形的判定和性质推出，利用勾股定理即可计算求解．
【详解】
∵OA=AC=1，AC是切线，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，
连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，
∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切线，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四边形MNBH为矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值为，
故答案为：．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．
【答案】（1）(5，0)；（2）见解析；（3）（7，7）
【分析】
（1）由题意易证，即可利用“AAS”证明，即得出，即得出B点坐标．
（2）延长OF、DC，且交于点M，由（1）全等可得，．再根据题意可知，即可证明是等腰直角三角形，即得出，从而可证明BD=CM，即证明出AO=CM．最后利用“ASA”即可证明，得出，即证明F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，先证明AD平分∠BDC；将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，先证明△EGN≌△CGN得到EN=CN， 则，然后利用“AAS”可证明，即得，从而得出，进而可求出，即得出M点坐标．最后由中点坐标公式即可求出F点坐标．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵轴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴B点坐标为(5，0)．
（2）如图，延长OF、DC，且交于点M，
∵，
∴，．
∵OF平分，
∴，
∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即BD=CM，
∴AO=CM．
∵CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，，
∴，
∴，即F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，现在证明AD平分∠BDC，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，∠ACE=∠ABD，
∵∠BAC=∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠ADC，即AD平分∠BDC；
如图3-2所示，将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，
∵∠GEC=45°，∠EGC=90°，
∴∠GCE=180°-∠GEC-∠EGC=45°，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GE=GC，
∵△ABC中∠ABC＝90°，AB＝BC，，
∴△ANC中，AN=CN=AB=BC，∠ANC=90°，
∴由前面所证可得∠EGN=∠CGN，
在△EGN和△CGN中，
，
∴△EGN≌△CGN（SAS），
∴EN=CN，
∵NH⊥EC，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M坐标为(14，14)，
∵点F为OM中点，
∴F点坐标为()，即F()，
∴F(7，7)．
19．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
【答案】（1）点P在⊙O上，点Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在，−1
【分析】
（1）如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；
（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；
（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，求出此时BP的值即可；
【详解】
解：（1）如图①中，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，
∴点Q在⊙O外．
故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．
延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，
∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
易知HP＝HP′＝，
∴BH＝OA＝2，
∴BP′＝2− ，PB＝2＋．
（3）如图③中，存在．
作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，
∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，
∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
∵AB＝BG＝1，
∴AG＝，
∵AD＝2，OE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，
设OP＝PF＝r，则OF＝r，OE＝EF−OF＝2−r，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴，
解得r＝4− 或4＋（舍弃），
∴BP＝GF−GB−PF＝4−1−r＝−1．
20．已知等腰直角和等腰直角（），，连接AF，点M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，
①猜想MB与ME的数量关系和位置关系，
②请证明①的猜想．
（2）若，将绕点C顺时针旋转一周，连接CM，当以点A、B、C、M为项点的四边形是平行四边形时，
①直接写出此时EF的长度．
②直接写出点M到直线EF的距离．
【答案】（1）①，；②见解析；（2）①；②或
【分析】
（1）①据图可推断，；
②先证明，然后证明，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）①分三种情况，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，根据情况画出图形，然后进行求值即可；
②根据①的情况，进行分析求解即可．
【详解】
解：①，；
②延长BM与EF相交于点D，
，
；，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
和是等腰三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）①当四边形为平行四边形时，
过点A作交延长线于点,
过作于点,
∵四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∵,
∴四边形是正方形，
∴,
∴,
∴,
∵点是的中点，
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∵,
∴是矩形，
∴,
∴
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴;
当四边形为平行四边形时，
,
此时，与题意不符，故舍去；
当四边形为平行四边形时，
,
过作交延长线于,
此时四边形为正方形，
∴
∴,
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴当为顶点的平行四边形时，的长为；
②当四边形为平行四边形时，
过作交延长线于,
过点作于点,
过点作于点,
由①可知：,
∴,
在和中，
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴,
由①可知,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
即点到直线的距离为；
当四边形是平行四边形时，
过点作交延长线于，
连接,过点作于点,
由①可知为正方形，
∴，
∵,,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形，
∵,
∴,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴点M到直线的距离为，
综上所述，点到直线的距离为或．
21．如图，在平面直角坐标系中，的边AB在轴上，且，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为，，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC重合)，过点P作，垂足为点Q，连接PC．若以点P、C、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
（3）若平分线所在的直线l交x轴与点E，过点E任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为：（6，4）或（，）；（3），理由见详解．
【分析】
（1）根据题意，先证明∽，得到，求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）根据题意，可分为两种情况：∽或∽，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P的坐标，即可得到答案；
（3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，然后由角平分线的性质定理，得到EI=EJ，再证明△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，得到，然后求出EI一个定值，即可进行判断．
【详解】
解：（1）∵以AB为直径的圆过点C，
∴∠ACB=90°，
∵点C的坐标为，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC,
∴∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，满足题意，
∵，
∴，
∴点A为（，0），点B为（8，0）．
设抛物线的解析式为，把点A、B、C三点的坐标代入，有
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）根据题意，如图：
当∽时，
∴，
∵，
∴，
∴PC⊥OC，
∴点P的纵坐标为4，
当时，有，
解得：或（舍去）；
∴点P的坐标为（6，4）；
当∽时，则此时BC垂直平分OP，作PG⊥y轴，垂足为G，如上图，
∴，
∴AC∥OP，
∴∠ACO=∠POG，
∵，
∴∽，
∴，
设点P为（，），
∴，，
∴，
解得：，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，）；
综合上述，点P的坐标为：（6，4）或（，）；
（3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，如图：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴EI=EJ，
∵EI∥CN，EJ∥CM，
∴△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵△ACO∽△AEI，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，经检验，符合题意，
∴；
∴是一个定值．
22．问题背景：已知在中，AB边上的动点D由点A向点B运动（与点A、点B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（点E不与点C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上的一点．
（1）初步尝试：如图所示，若是等边三角形，，且点D、点E的运动速度相等，求证：．
（2）类比探究：如图所示，若在中，，，且点D、点E的运动速度之比是，求的值．
（3）延伸拓展．如图所示，若在中，，，记，且点D、点E的运动速度相等，试用含m的代数式表示．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】
（1）证法一：过点D作，交AC于点G，由此可以得到是等边三角形，得到，根据三角形全等，可以得到，即可求证；证法二：过点E作交AC的延长线于点M，通过求证三角形全等，即可求解；
（2）方法一：过点D作，交AC于点G，通过全等三角形的性质可求得，即可求解；方法二：过点作，过点作交延长线于点，可以得到为等边三角形，通过三角形全等求得，，即可求解；
（3）方法一：过点D作交AC于点G，通过平行线的性质定理即可求解；方法二：过点作，过点作交延长线于点，根据相似三角形的性质求得，即可求解．
【详解】
解：（1）证明：证法一 如图所示，过点D作，交AC于点G．
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
．
，．
又，
，，
易证．
，
，即．
证法二 如图所示，过点E作交AC的延长线于点M．
是等边三角形，
．
，，
．
，
，
，．
又∵，，
，
．
（2）方法一：如图所示，过点D作，交AC于点G，则．
，
．
，．
由题意可知，，
．
，
，，
，
，
，即，
．
方法二：过点作，过点作交延长线于点，如下图：
由题意得，，
∴，，
∴，即为等边三角形
∴
在中，，由勾股定理可以求得，即
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）如图所示，过点D作交AC于点G，可得，，．
．
又，
，
．
由比例的性质可得，，
，
，即．
方法二：过点作，过点作交延长线于点，如下图：
∵
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
又∵
∴
∴
由题意可得，，∴，
∴
又∵
∴
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据已知条件求得点坐标，进而求得的长，将解析式变形为，进而求得的坐标，求得的长，根据，即可求得的值，进而求得解析式；
（2）根据已知二次函数解析式，由已知条件可得点P的横坐标为t，则设的横坐标为，设直线的解析式为，根据的坐标，的坐标，求得直线解析，进而求得点的坐标，求得△CDE的面积，根据已知条件，进而求得的横坐标，将横坐标代入二次函数解析式，即可求得的坐标；
（3）连接，过作轴与，根据已知条件求得是等腰直角三角形，根据旋转证明，延长至，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，根据已知条件∠AGB＝2∠APB可推出，过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，证明，根据，根据（2）的结论，求得的坐标，进而求得根据的坐标和的坐标，求得列出比例式，解方程即可求得的值，进而求得的坐标．
【详解】
（1）抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且，
令，则，则，
，
由，
则,，
，
，
即，
解得，
（2），
，
点P的横坐标为t，则，,，，
设的横坐标为，
设直线的解析式为，
则
解得
，
，
，
设△CDE的面积为s，
则，
，
，
解得，
，
将代入，
，
（3）如图，连接，过作轴与
,，,,,
,
，
是等腰直角三角形
将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
,
,
延长至，使得，连接，
，
在与中
，，
即
是等腰直角三角形
过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，设关于轴对称的点为，
设，则，，
轴，是等腰直角三角形，
，
，轴，
，的横坐标为1，
直线的解析式为
令
解得
，
，，
，，
，
即，
整理得，
解得，
，
，
将代入，
．
24．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜ON＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转；
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2；
②填空：当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，BN＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，得，，；再根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案；
（2）①连接，通过证明△AOM≌△BON，得，；根据等腰直角三角形，推导得，根据勾股定理，得、，即可完成证明；
②结合题意，根据旋转的性质，分点在右侧和点在左侧两种情况分析；当点在右侧时，结合（1）的结论，根据等腰直角三角形、全等三角形的性质，得，再根据勾股定理和二次根式的性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；当在左侧时，同理，通过计算即可得到答案．
【详解】
（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形
∴，
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
（2）①连接，如下图
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴，
∵，∠AOB＝90°
∴
∴
∴
∴
∵，∠MON＝90°
∴
∴BN2＋AN2＝2ON2；
②根据题意，分两种情况分析
当点在右侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴；
当点在左侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴ ；
∴
故答案为：或．
25．如图1，直线y＝x－5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： 、 、 ；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： ，并简要写出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标 ，并简要写出解答过程．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点，根据已知条件待定系数法求解析式即可；
（2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标；
（3）连接，证明是等腰直角三角形，设交于点,设,则过点作轴，作的角平分线交于点，过点作分别垂直于，垂足分别为，连接，证明，，进而证明，设，则在中，，勾股定理列出方程，求得，进而求得，从而求得的坐标．
【详解】
（1）直线y＝x－5与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令，则，令，则，
点A为y轴正半轴上一点，
设直线AB的解析式为，将，代入，得
解得
直线AB的解析式为
故答案为：，
（2）如图，过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，
是等腰直角三角形
，
轴，轴，轴，
，
在与中
，
设直线的直线解析式为，将,代入，则
解得
直线的直线解析式为
令，则
即
故答案为：
（3）如图， 连接，
，
是等腰直角三角形
点是的中点，
，
，,
是等腰直角三角形，
设交于点,设,则
，
过点作轴，作的角平分线交于点，过点作分别垂直于，垂足分别为，连接，如图，
，平分
,
又
四边形是正方形
在与中
，
在和中
设，则
，
在中，
即
整理得
即
解得（舍）
中考模拟卷（三）
一、单选题
1．如图，在菱形中，，，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（ ）
A．或 B．或2 C．或4 D．或
【答案】B
【分析】
分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可．
【详解】
解：连接DB，交AC于点O，则DB⊥AC.
∵EF ⊥AC，
∴EF//DB
∵，
∴∠CAB= ∠CAD= ∠BCA=30°，
∵
∴AD=AB=BC=DB=，DO=BO=
∵DB⊥AC
∴AO= ,即AC=6
当GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；
当GB=GC时，过点G做GH⊥BC，则CH=BC=
∵∠BCA=30°
∴
∴GC= 2，
∴AP=（AC-CG）=（6-2）=2；
综上，AP的长为3-或2．
故选B．
2．如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限经过的顶点A，且点B在轴上，过点B作轴的垂线交反比例函数图像于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
过A向OB作垂线，垂足为F，交OC于E，根据AF∥BC，得出，设，则AF=tBC，得，又，可推导出，求出t的值，得出AF=2BC，OB=2OF进一步导出OA=3OF，在Rt△AOF中，AF=,，在Rt△OBC中，即可求出OF的长，求出k的值．
【详解】
解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，
∴AF∥BC，
∴△AED∽△BCD，
∴，
∴，
设，则AF=tBC，
∴
又OF×AF=OB×BC，
∴，
又EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB
∴，
∴，
解得t=2，
∴AF=2BC，OB=2OF
又∵，
∴，
∴OA=3OF，
在Rt△AOF中，勾股定理可得AF=，
∴，
在Rt△OBC中，，
∴，
解得OF= 或﹣（舍去）
∴AF==4，
∴k=OF×AF=，
故选：C．
3．如图，在矩形ABCD中，，，点E为AB上一点，连接DE，将沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
分别连接BD、；根据矩形和勾股定理的性质，得；根据轴对称性质，得；当点不在BD上时，根据三角形边角关系的性质，得，当点在BD上时，得，即可得到最小值，再结合三角形中位线的性质计算，即可得到答案．
【详解】
如图，分别连接BD、
∵矩形ABCD中，，
∴
∴
∵将沿DE折叠，点A落在处，
∴
当点不在BD上时，
∴
当点在BD上时，
∴最小值为2
∵F，G分别为，BC的中点
∴为的中位线
∴
∴FG的最小值为1
故选：D．
4．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是BC边上一点，且CD＝3BD，连接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC'，DC′与AB交于点E，连接BC′，则△BDC'的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出BD，CD，进而求出AD，再构造直角三角形，判断出△BDE∽△ADC，求出DE＝，BE＝，进而求出S△BDE＝，AE＝，再判断出△AHE∽△ADC，求出AH＝7，HE＝，再判断出△BFH∽△ACD，求出BF＝，最后用三角形的面积的差，即可得出结论．
【详解】
解：∵CD＝3BD，BC＝4，
∴BD＝1，CD＝3，
∴S△ACD＝AC•CD＝6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD＝＝5，
过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E，
∴∠BED＝90°＝∠C，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴△BDE∽△ADC，
∴，
∴，
∴DE＝，BE＝，
∴S△BDE＝DE•BE＝，AE＝AD+DE＝，
延长EB交AC的延长线于H，
由折叠知，S△AC'D＝S△ACD＝6，AC'＝AC＝4，∠C'AD＝∠CAD，
∵∠C＝∠AEH＝90°，
∴△AHE∽△ADC，
∴，
∴，
∴AH＝7，HE＝，
∴C'H＝AH﹣AC'＝3，BH＝HE﹣BE＝，S△AHE＝AE•HE＝，
过点B作BF⊥C'H于F，
∴∠BFH＝90°＝∠C，
∴∠H+∠FBH＝90°，
∵∠C'AD+∠H＝90°，
∴∠FBH＝∠C'AD＝∠CAD，
∴△BFH∽△ACD，
∴，
∴，
∴BF＝，
∴S△BC'H＝C'H•BF＝，
∴S△BC'D＝S△AEH﹣S△BDE﹣S△BC'H﹣S△AC'D＝﹣﹣﹣6＝，
故选：B．
5．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝∠EAF；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝CD；④AF＝AB+CF．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①设正方形的边长为2,然后求出AE、FC、EF，然后比较正切函数值即可；
②由已知条件，可得∠AEB和∠CFE的正切值，从而可以得到射线FE是否为∠AFC的角平分线；
④结合②③的结论，确定CF和CD的关系，从而可以判断CF=CD是否成立；
④由已知条件和全等三角形的判定与性质以及线段的和差即可判定AF=AB+CF是否成立．
【详解】
解：设正方形的边长为2
∵在正方形ABCD中， E是BC的中点
∴AB=BC=2，BE=EC=AB=1，∠C=∠B=90°，
∴AE=,tan∠BAE=
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE =90°，
∴∠BAE=∠BAE
∴tan∠FEC=,CE=1
∴CF=
∴EF=
∴tan∠EAF =
∴∠BAE＝∠EAF，故①正确；
∴tan∠CFE=，tan∠AFE=，
∴∠AFE=∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；
∵BC=CD，BC=2CE=4CF，
∴CF=CD，故③正确；
作EG⊥AF于点G，
∵FE平分∠AFC，∠C=90°，
∴EG=EC，
∴EG=EB，
∵∠B=∠AGE=90°，
在Rt△ABE和Rt△AGE中
AE=AE，EB=EG
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）
∴AB=AG，
又∵CF=GF，AF=AG+GF，
∴AF=AB+CF，故④正确；
综上共有4个正确结论．
故答案为D．
6．如图，正方形中，，点是对角线上一点，连接，过点作，交于点，连接，交于点，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是的中点，则的周长是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
如图：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．先通过等腰三角形和全等三角形的判定和性质得到FQ=BQ=PE=1；再说明△DEF是等腰直角三角形，然后再利用勾股定理计算得到DE=EF=；如图2，由DC//AB可得△DGC∽△FGA，列比例式可求FG和CG的长，从而得EG的长；然后再根据AGHF是等腰直角三角形，求得GH和FH的长；利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则可得EN=，然后计算出△EMN各边的长，最后求周长即可．
【详解】
解：如图1：过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE．
∵DC∥AB
∴PQ⊥AB，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠ACD=450
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=PC.
设PC=x，则PE=x，PD=4-x，EQ=4-x.
∴PD=EQ，
∴∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ.
∴△DPE≌△EQF
∴DE=EF
∵DE⊥EF
∴△DEF是等腰直角三角形
易证△DEC≌△BEC
∴DE=BE
∴EF=BE
∵EQ⊥FB
∴FQ=BQ=BF
∵AB=4，F是AB的中点
∴BF=2
∴FQ=BQ=PE=1
∴CE=，PD=4-1=3
Rt△DAF中，
∴DE=EF=
如图2：∵DC//AB.
∴△DGC∽△FGA
∴
∴AG=2AG,DG=2FG
∴
∵
∴
∴
连接GM、GN，交EF于H.
∵∠GFE=45°
∴△GHF是等腰直角三角形
∴
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=
∴∠EHM=∠DEF=90°
∴DE∥HM
∴△DEN∽△MNH
∴
∴
∴EN=3NH
∵EN+NH=EH=
∴EN=
∴NH=EH-EN=
在Rt△GNH中，
由折叠得：MN=GN，EM=EG
∴△EMN的周长为．
故选：C．
7．如图，在平行四边形中，E是的中点，则下列四个结论：①；②若，，则；③若，则；④若，则与全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
依次分析各选项，进行推理论证即可；其中①可通过证明，进一步转换后可以得到结论，②可先得到该平行四边形是矩形，利用矩形的性质等得到MN垂直平分BC，即可完成求证，③可以先证明两个三角形的共线边上的高的关系，再利用三角形面积公式即可完成证明，④可以先证明后可进一步证明，即可完成求证．
【详解】
解：∵平行四边形中，E是的中点，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正确；
若，
则平行四边形是矩形，
由矩形的对角线相等，而点E是矩形的对角线的交点可知，
E点到B、C两点的距离相等，
∴E点在BC的垂直平分线上，
由，可得BN=CN，
所以N点是BC的中点，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正确；
若，则BN=2CN，
如图1，分别过D、E两点向BC作垂线，垂足分别为Q点和P点，
∵E点是BD中点，
∴DQ=2EP，
∵，
∴，
故③正确；
若，
因为，
所以，
分别过N、C两点向AD作垂线，垂足分别为H、K，
由平行线间的距离处处相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正确；
故选：D．
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
【答案】D
【分析】
分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
思想方法等．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】D
【分析】
先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】
解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴,
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴,
∴,
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴,
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
10．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（ ）
A．135 B．153 C．169 D．170
【答案】D
【分析】
结合题意，根据数字规律的性质，分别计算正方形中四个数字的规律，即可得到答案．
【详解】
第一个正方形左上角数字为：1
第二个正方形左上角数字为：2
第三个正方形左上角数字为：3
…
第n个正方形左上角数字为：n；
第一个正方形右上角数字为：
第二个正方形右上角数字为：
第三个正方形右上角数字为：
…
第n个正方形右上角数字为：
∵题干中最后一个正方形右上角为：18
∴
∴
∴题干中最后一个正方形为第八个正方形；
第一个正方形左下角数字为：
第二个正方形左下角数字为：
第三个正方形左下角数字为：
…
第n个正方形左下角数字为：
第八个正方形左下角数字为：9；
第一个正方形右下角数字为：
第二个正方形右下角数字为：
第三个正方形右下角数字为：
…
第n个正方形右下角数字为：
∵
∴第8个正方形右下角数字为：
故选：D．
二、填空题
11．将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：①△ADF是等边三角形；②tan∠EBF＝2﹣；③S△ADF＝S正方形ABCD；④BF2＝DF•EF．其中正确的是_____．
【答案】①②④．
【分析】
①由正方形的性质得出AB＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD＝CD，BN＝CN，∠FDE＝∠CDE，∠DFE＝∠C＝90°，∠DEF＝∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD＝FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
②设AB＝AD＝BC＝4a，则MN＝4a，BN＝AM＝2a，由等边三角形的性质得出∠DAF＝∠AFD＝∠ADF＝60°，FA＝AD＝4a，FM＝AM＝2a，得出FN＝MN﹣FM＝（4﹣2）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
③求出△ADF的面积＝AD•FM＝4a2，正方形ABCD的面积＝16a2，得出③错误；
④求出∠BFE＝∠DFB，∠BEF＝∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD＝CD，BN＝CN，
∠FDE＝∠CDE，∠DFE＝∠C＝90°，∠DEF＝∠DEC，
∴FD＝FA，
∴AD＝FD＝FA，即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB＝AD＝BC＝4a，则MN＝4a，BN＝AM＝2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF＝∠AFD＝∠ADF＝60°，FA＝AD＝4a，FM＝AM＝2a，
∴FN＝MN﹣FM＝（4﹣2）a，
∴tan∠EBF＝，②正确；
∵△ADF的面积＝AD•FM＝×4a×2a＝4a2，
正方形ABCD的面积＝（4a）2＝16a2，
∴，③错误；
∵AF＝AB，∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AFB＝∠ABF＝75°，
∴∠DBF＝75°﹣45°＝30°，∠BFE＝360°﹣90°﹣60°﹣75°＝135°＝∠DFB，
∵，
∴=180°﹣15°-135°＝30°＝∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴，∴BF2＝DF•EF，④正确；
故答案为：①②④．
12．在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______
【答案】
【分析】
①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；
②在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同①得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解．
【详解】
①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，
∵⊙A的半径为6，即AP=6，
∴，又，
且，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过C作CI⊥AB于I，
∴，
在Rt△CIB中，∵，BC=8，
，
∴，
∴，
，
在Rt△CIQ中，，
∴的最小值为；
故答案为：；
②连接AP，
由①得：在Rt△CIA中，，
在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，
∴，
∵，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，
过G作GH⊥AB于H，
∴，
在Rt△CIA中，，
在Rt△GAH中，
，
∴，
∴，
，
在Rt△GHB中，，
∴的最小值为．
故答案为：．
13．如图，扇形圆心角为，半径为，点，分别为，中点，连接与相交于点，则阴影部分面积为___；
【答案】
【分析】
先求出∠OFA=∠OEB=90°和EG与FG的长，再分别求出扇形面积和空白部分面积，相减即可求解．
【详解】
解：如图，连接EF，
∵点 E ， F 分别为 OA ， OB 中点，
∴OE=EA=OF=BF=2，
又∵扇形圆心角为 60° ，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=2=EA=BF，∠OEF=∠OFE=60°，
∴∠EAF=∠EFA=∠EBF=∠BEF=30°，
∴∠OFA=∠OEB=90°，
在Rt△AEG和Rt△BFG中，
EG=AE×tan∠EAG=，GF=BF×tan∠GBF=，
连接OG，
则
；
∵扇形面积，
∴阴影面积为：；
故答案为：．
14．如图1是一张双档位可训节靠背椅，档位调节示意图如图2．两脚，以及靠背，座位，其中D，F分别为，上固定连接点，在点A上移动实现靠背的调节，，，已知分米，．
（1）当时，点E离水平地面的离度为_________分米．
（2）当靠背时，有，则的长为_____分米．
【答案】
【分析】
（1）先利用得到，然后证出得到，再用相似三角形的性质得出结果；
（2）作辅助线，然后利用得到，再利用勾股定理求出，利用得出，再利用勾股定理得出结果．
【详解】
（1）如图1，过点作于点，
∵，
∴为的中点，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
得，，
过点作延长线作垂线交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E离水平地面的离度为分米；
图1
（2）如图2，过点作，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过点作于点，
则，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
则的长为分米．
图2
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 ___．
【答案】n≤254
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），通过列三元一次方程组并求解，即可得到b=a+4及c的值；分a>0和a<0两种情况分析；当a>0时，结合二次函数图像的性质，得t<0，不符合题意；当a<0时，结合二次函数平移和一元二次方程的性质，通过求解二元一次方程组和一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴a−b+c=0c=4，
∴b=a+4
根据题意，分a>0和a<0两种情况分析；
当a>0时
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4）
∴y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=−b2a<0
∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（0，4），（t，4）
∴0+t2=−b2a<0
∴t<0，即和t≥3相矛盾
∴a>0不符合题意；
当a<0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图：
当n>0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移
∴随n增大，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向左移动
根据题意，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点的最小值，为t=3时，即3,0
∴32=−b2a，即b=−3a
∴b=−3ab=a+4
∴a=−1b=3
∴t=3时，y＝ax2+bx+c最大值为254
∴254−n=0
∴n=254
当n<0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向上平移；
∴随n减小，y＝ax2+bx+c-n与x轴右侧交点向右移动，即当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根
∴n≤254
故答案为：n≤254．
16．习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山！”全国上下各行各业都把环境保护放在了首位．重庆某汽车厂在新能汽车的研究上下足功夫，取得了瞩目的成绩！现该汽车厂对一款新车在三条不同的线路上进行测试，每条测试线路都分为高速和非高速两种路段，测试车在出厂时设定了固定不变的高速路段和非高速路段的速度（途中车辆从一种路段变为另一种路段时的加、减速以及车辆出发、停车时的速度变化都忽略不计），其中高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，测试时，测试车都直接从出发地驶向目的地，途中不掉头、不停留．测试记录表上显示，三次测试的时间分别是10小时、16小时、26小时（每条测试线路高速路段和非高速路段各自用去的时间都是整数），并且三条测试线路的路程都是，那么该测试车设定的高速路段速度是______．
【答案】63或72或81．
【分析】
根据题意，找出题目的等量关系，列出方程组，然后解方程组，结合高速路段车速不低于，非高速路段车速不高于，以及时间都是整数，进行讨论分析，即可得到答案．
【详解】
解：设测试车在高速路段上的速度为，则；在低速路段上的速度为，；
测试车三次行驶在高速路段上的时间为：，，；则三次行驶在低速路路段上的时间为：，，，（，，均为整数）；则
，
整理得：，
由①②，得：，
由②③，得：，
∵，，均为整数，
∴与成正比例函数，
设
∵，，，，均为整数，
∴，（k只能取正整数）
把代入②，得：，
∴，
∵，
∴，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时或28；
当时，，此时或36；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，无解；
当时，，不符合题意；
∵，
∴满足题意的有：
①，，此时；
②，，此时；
③，，此时；
∴那么该测试车设定的高速路段速度是：63千米/小时或72千米/小时或81千米/小时；
故答案为：63或72或81．
17．如图，半圆的半径为1，为直径，、为切线，，P为上一动点，求的最小值______________．
【答案】
【分析】
取CO中点M，利用相似三角形的判定和性质推出，利用勾股定理即可计算求解．
【详解】
∵OA=AC=1，AC是切线，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，
连接CO、OP，取CO中点M，连接DM，PM，
∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
过M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切线，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四边形MNBH为矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值为，
故答案为：．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．
【答案】（1）(5，0)；（2）见解析；（3）（7，7）
【分析】
（1）由题意易证，即可利用“AAS”证明，即得出，即得出B点坐标．
（2）延长OF、DC，且交于点M，由（1）全等可得，．再根据题意可知，即可证明是等腰直角三角形，即得出，从而可证明BD=CM，即证明出AO=CM．最后利用“ASA”即可证明，得出，即证明F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，先证明AD平分∠BDC；将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，先证明△EGN≌△CGN得到EN=CN， 则，然后利用“AAS”可证明，即得，从而得出，进而可求出，即得出M点坐标．最后由中点坐标公式即可求出F点坐标．
【详解】
解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵轴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴B点坐标为(5，0)．
（2）如图，延长OF、DC，且交于点M，
∵，
∴，．
∵OF平分，
∴，
∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即BD=CM，
∴AO=CM．
∵CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，，
∴，
∴，即F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，现在证明AD平分∠BDC，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，∠ACE=∠ABD，
∵∠BAC=∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠ADC，即AD平分∠BDC；
如图3-2所示，将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，
∵∠GEC=45°，∠EGC=90°，
∴∠GCE=180°-∠GEC-∠EGC=45°，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GE=GC，
∵△ABC中∠ABC＝90°，AB＝BC，，
∴△ANC中，AN=CN=AB=BC，∠ANC=90°，
∴由前面所证可得∠EGN=∠CGN，
在△EGN和△CGN中，
，
∴△EGN≌△CGN（SAS），
∴EN=CN，
∵NH⊥EC，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M坐标为(14，14)，
∵点F为OM中点，
∴F点坐标为()，即F()，
∴F(7，7)．
19．问题发现：
（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意一点．
（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．
（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．
【答案】（1）点P在⊙O上，点Q在⊙O外；（2）PB=2+或；（3）存在，−1
【分析】
（1）如图①中，根据圆周角与圆心角的关系即可判断；
（2）如图2中，造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．求出BP′和BP的长即可解决问题；
（3）作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，求出此时BP的值即可；
【详解】
解：（1）如图①中，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴点P在⊙O上，
∵∠AQB＜45°，
∴点Q在⊙O外．
故答案为点P在⊙O上，点Q在⊙O外．
（2）如图2中，如图构造等腰直角三角形△AOD，与O为圆心，OA为半径作⊙O交BC于P、P′，易知∠APD＝∠AP′D＝45°．
延长DO交BC于H，
∵∠DAB＝135°，∠DAO＝45°，
∴∠OAB＝∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠DOA＝∠OHB＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴AB＝OH＝1，OA＝BH，
∵AD＝2，
∴OA＝OD＝OP＝OP′＝2，
在Rt△OPH和Rt△OP′H中，
易知HP＝HP′＝，
∴BH＝OA＝2，
∴BP′＝2− ，PB＝2＋．
（3）如图③中，存在．
作线段AD的垂直平分线，交AD于E，交BC于F，点O在EF上，以OA为半径作⊙O，当⊙O与BC相切于点P时，∠APD最大，理由：在BC上任意取一点M，连接MA、MD，MD交⊙O于N，连接AN．
∵∠AND＞∠AMD，∠APD＝∠AND，
∴∠APD＞∠AND，
连接OP，延长DA交CB的延长线于点G．
∵AB⊥BC，∠DAB＝135°，
∴∠G＝∠EFG＝45°，
∴△ABG，△EFG都是等腰直角三角形，
∵AB＝BG＝1，
∴AG＝，
∵AD＝2，OE⊥AD，
∴AE＝ED＝，
∴EG＝EF＝2，GF＝EG＝4，
设OP＝PF＝r，则OF＝r，OE＝EF−OF＝2−r，
在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，
∴，
解得r＝4− 或4＋（舍弃），
∴BP＝GF−GB−PF＝4−1−r＝−1．
20．已知等腰直角和等腰直角（），，连接AF，点M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，
①猜想MB与ME的数量关系和位置关系，
②请证明①的猜想．
（2）若，将绕点C顺时针旋转一周，连接CM，当以点A、B、C、M为项点的四边形是平行四边形时，
①直接写出此时EF的长度．
②直接写出点M到直线EF的距离．
【答案】（1）①，；②见解析；（2）①；②或
【分析】
（1）①据图可推断，；
②先证明，然后证明，然后根据全等三角形的性质可得结论；
（2）①分三种情况，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，当四边形为平行四边形时，根据情况画出图形，然后进行求值即可；
②根据①的情况，进行分析求解即可．
【详解】
解：①，；
②延长BM与EF相交于点D，
，
；，
是中点，
，
在和中，
，
，
，，
和是等腰三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）①当四边形为平行四边形时，
过点A作交延长线于点,
过作于点,
∵四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∵,
∴四边形是正方形，
∴,
∴,
∴,
∵点是的中点，
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∵,
∴是矩形，
∴,
∴
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴;
当四边形为平行四边形时，
,
此时，与题意不符，故舍去；
当四边形为平行四边形时，
,
过作交延长线于,
此时四边形为正方形，
∴
∴,
∴,
∵是等腰直角三角形，
∴,
∴,
∴当为顶点的平行四边形时，的长为；
②当四边形为平行四边形时，
过作交延长线于,
过点作于点,
过点作于点,
由①可知：,
∴,
在和中，
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴,
由①可知,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
即点到直线的距离为；
当四边形是平行四边形时，
过点作交延长线于，
连接,过点作于点,
由①可知为正方形，
∴，
∵,,
∴,
在和中，
,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形，
∵,
∴,,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∴点M到直线的距离为，
综上所述，点到直线的距离为或．
21．如图，在平面直角坐标系中，的边AB在轴上，且，以AB为直径的圆过点C．若点C的坐标为，，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点（不与BC重合)，过点P作，垂足为点Q，连接PC．若以点P、C、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
（3）若平分线所在的直线l交x轴与点E，过点E任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N．则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为：（6，4）或（，）；（3），理由见详解．
【分析】
（1）根据题意，先证明∽，得到，求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）根据题意，可分为两种情况：∽或∽，结合解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，分别求出点P的坐标，即可得到答案；
（3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，然后由角平分线的性质定理，得到EI=EJ，再证明△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，得到，然后求出EI一个定值，即可进行判断．
【详解】
解：（1）∵以AB为直径的圆过点C，
∴∠ACB=90°，
∵点C的坐标为，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OCB=∠OAC,
∴∽，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：或，
经检验，满足题意，
∵，
∴，
∴点A为（，0），点B为（8，0）．
设抛物线的解析式为，把点A、B、C三点的坐标代入，有
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）根据题意，如图：
当∽时，
∴，
∵，
∴，
∴PC⊥OC，
∴点P的纵坐标为4，
当时，有，
解得：或（舍去）；
∴点P的坐标为（6，4）；
当∽时，则此时BC垂直平分OP，作PG⊥y轴，垂足为G，如上图，
∴，
∴AC∥OP，
∴∠ACO=∠POG，
∵，
∴∽，
∴，
设点P为（，），
∴，，
∴，
解得：，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴点P的坐标为（，）；
综合上述，点P的坐标为：（6，4）或（，）；
（3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，如图：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴EI=EJ，
∵EI∥CN，EJ∥CM，
∴△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵△ACO∽△AEI，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，经检验，符合题意，
∴；
∴是一个定值．
22．问题背景：已知在中，AB边上的动点D由点A向点B运动（与点A、点B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（点E不与点C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上的一点．
（1）初步尝试：如图所示，若是等边三角形，，且点D、点E的运动速度相等，求证：．
（2）类比探究：如图所示，若在中，，，且点D、点E的运动速度之比是，求的值．
（3）延伸拓展．如图所示，若在中，，，记，且点D、点E的运动速度相等，试用含m的代数式表示．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【分析】
（1）证法一：过点D作，交AC于点G，由此可以得到是等边三角形，得到，根据三角形全等，可以得到，即可求证；证法二：过点E作交AC的延长线于点M，通过求证三角形全等，即可求解；
（2）方法一：过点D作，交AC于点G，通过全等三角形的性质可求得，即可求解；方法二：过点作，过点作交延长线于点，可以得到为等边三角形，通过三角形全等求得，，即可求解；
（3）方法一：过点D作交AC于点G，通过平行线的性质定理即可求解；方法二：过点作，过点作交延长线于点，根据相似三角形的性质求得，即可求解．
【详解】
解：（1）证明：证法一 如图所示，过点D作，交AC于点G．
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
．
，．
又，
，，
易证．
，
，即．
证法二 如图所示，过点E作交AC的延长线于点M．
是等边三角形，
．
，，
．
，
，
，．
又∵，，
，
．
（2）方法一：如图所示，过点D作，交AC于点G，则．
，
．
，．
由题意可知，，
．
，
，，
，
，
，即，
．
方法二：过点作，过点作交延长线于点，如下图：
由题意得，，
∴，，
∴，即为等边三角形
∴
在中，，由勾股定理可以求得，即
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴
（3）如图所示，过点D作交AC于点G，可得，，．
．
又，
，
．
由比例的性质可得，，
，
，即．
方法二：过点作，过点作交延长线于点，如下图：
∵
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴
又∵
∴
∴
由题意可得，，∴，
∴
又∵
∴
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且OB＝2OC．
（1）求a的值；
（2）如图1，点D、P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t，连接BP，交y轴于点E，连接CD、DE，设△CDE的面积为s，若，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线AE与射线FB交于点G，连接AP，若∠AGB＝2∠APB，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据已知条件求得点坐标，进而求得的长，将解析式变形为，进而求得的坐标，求得的长，根据，即可求得的值，进而求得解析式；
（2）根据已知二次函数解析式，由已知条件可得点P的横坐标为t，则设的横坐标为，设直线的解析式为，根据的坐标，的坐标，求得直线解析，进而求得点的坐标，求得△CDE的面积，根据已知条件，进而求得的横坐标，将横坐标代入二次函数解析式，即可求得的坐标；
（3）连接，过作轴与，根据已知条件求得是等腰直角三角形，根据旋转证明，延长至，使得，连接，证明，是等腰直角三角形，根据已知条件∠AGB＝2∠APB可推出，过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，证明，根据，根据（2）的结论，求得的坐标，进而求得根据的坐标和的坐标，求得列出比例式，解方程即可求得的值，进而求得的坐标．
【详解】
（1）抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴点B，交y轴的正半轴于点C，且，
令，则，则，
，
由，
则,，
，
，
即，
解得，
（2），
，
点P的横坐标为t，则，,，，
设的横坐标为，
设直线的解析式为，
则
解得
，
，
，
设△CDE的面积为s，
则，
，
，
解得，
，
将代入，
，
（3）如图，连接，过作轴与
,，,,,
,
，
是等腰直角三角形
将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，
,
,
延长至，使得，连接，
，
在与中
，，
即
是等腰直角三角形
过点引坐标的两条垂线，垂足为，作直线关于轴对称的直线，交于点,过点作，设关于轴对称的点为，
设，则，，
轴，是等腰直角三角形，
，
，轴，
，的横坐标为1，
直线的解析式为
令
解得
，
，，
，，
，
即，
整理得，
解得，
，
，
将代入，
．
24．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜ON＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转；
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2；
②填空：当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，BN＝ ．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②或
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，得，，；再根据全等三角形的判定性质分析，即可得到答案；
（2）①连接，通过证明△AOM≌△BON，得，；根据等腰直角三角形，推导得，根据勾股定理，得、，即可完成证明；
②结合题意，根据旋转的性质，分点在右侧和点在左侧两种情况分析；当点在右侧时，结合（1）的结论，根据等腰直角三角形、全等三角形的性质，得，再根据勾股定理和二次根式的性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；当在左侧时，同理，通过计算即可得到答案．
【详解】
（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形
∴，
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
（2）①连接，如下图
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴，
∵，∠AOB＝90°
∴
∴
∴
∴
∵，∠MON＝90°
∴
∴BN2＋AN2＝2ON2；
②根据题意，分两种情况分析
当点在右侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴；
当点在左侧时，如下图，分别连接、，过点作，交于点
∵∠AOB＝∠MON＝90°
∴，即
∴△AOM和△BON中
∴△AOM≌△BON；
∴
∵，,∠AOB＝∠MON＝90°
∴，
∴
∵
∴
直角中，
直角中，
∴
∴或（舍去）
∴ ；
∴
故答案为：或．
25．如图1，直线y＝x－5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且＝75．
（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式： 、 、 ；
（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标： ，并简要写出解答过程；
（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标 ，并简要写出解答过程．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】
（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点，根据已知条件待定系数法求解析式即可；
（2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标；
（3）连接，证明是等腰直角三角形，设交于点,设,则过点作轴，作的角平分线交于点，过点作分别垂直于，垂足分别为，连接，证明，，进而证明，设，则在中，，勾股定理列出方程，求得，进而求得，从而求得的坐标．
【详解】
（1）直线y＝x－5与x轴、y轴分别交于B、C两点，
令，则，令，则，
点A为y轴正半轴上一点，
设直线AB的解析式为，将，代入，得
解得
直线AB的解析式为
故答案为：，
（2）如图，过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，
是等腰直角三角形
，
轴，轴，轴，
，
在与中
，
设直线的直线解析式为，将,代入，则
解得
直线的直线解析式为
令，则
即
故答案为：
（3）如图， 连接，
，
是等腰直角三角形
点是的中点，
，
，,
是等腰直角三角形，
设交于点,设,则
，
过点作轴，作的角平分线交于点，过点作分别垂直于，垂足分别为，连接，如图，
，平分
,
又
四边形是正方形
在与中
，
在和中
设，则
，
在中，
即
整理得
即
解得（舍）
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