2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点04 实数

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考点04 实数考点总结 知识点一 平方根算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作平方根概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根或二次方根，即，那么x叫做a的平方根。平方根的性质与表示：表示：正数a的平方根用表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， 叫做a的负平方根。性质：一个正数有两个平方根： （根指数2省略）且他们互为相反数。0有一个平方根，为0，记作负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：知识点二 立方根和开立方立方根概念：如果一个数的立方等于，即那么x叫做的立方根或三次方根，表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.开立方概念：求一个数的立方根的运算。开平方的表示：        （a取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。注意:０的平方根和立方根都是０本身。次方根(扩展)概念：如果一个数的次方（是大于１的整数）等于，这个数就叫做的次方根。当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。性质： 正数的偶次方根有两个：；０的偶次方根为０：；负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。知识点三 实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。实数概念：有理数和无理数统称为实数实数的分类：1.按属性分类：                      2.按符号分类                实数和数轴上的点的对应关系（重点）：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：1.尺规可作的无理数，如 2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法实数的三个非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。2.非负数有三种形式 ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥03.非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•石家庄模拟）若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是（　　）A．1 B．3 C．4 D．9【分析】依据平方根的性质列方出求解即可．【解答】解：∵一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，∴2a﹣1﹣a+2＝0．解得：a＝﹣1．∴2a﹣1＝﹣3．∴这个正数是9．故选：D．2．（2021•滦南县二模）5的平方根是（　　）A． B．﹣ C．± D．5【分析】根据平方根定义求出即可．【解答】解：5的平方根是±，故选：C．3．（2021•烟台模拟）﹣8的立方根为（　　）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵﹣2的立方等于﹣8，∴﹣8的立方根等于﹣2．故选：B．4．（2021•裕华区校级模拟）的值是（　　）A． B． C． D．2【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【解答】解：的值是2．故选：B．5．（2020•绍兴）实数2，0，﹣2，中，为负数的是（　　）A．2 B．0 C．﹣2 D．【分析】根据负数定义可得答案．【解答】解：实数2，0，﹣2，中，为负数的是﹣2，故选：C．6．（2021•定兴县一模）下列四个数：3，﹣0.5，，﹣中，绝对值最大的数是（　　）A．3 B．﹣0.5 C． D．﹣【分析】根据实数的大小比较解答即可．【解答】解：下列四个数：3，﹣0.5，，﹣中，绝对值最大的数是3，故选：A．7．（2021•清苑区模拟）若a＝，b＝，则实数a，b的大小关系为（　　）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b【分析】直接利用a，b接近的有理数，进而分析得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∵＜＜，∴3＜＜4，∴a＜b．故选：B．8．（2021•河北模拟）若–▢是正无理数，则▢可以是（　　）A．﹣ B．﹣ C．0 D．3.14【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、﹣（﹣）＝是正无理数，若–▢是正无理数，则▢可以是﹣，故此选项符合题意；B、﹣是有理数，故此选项不符合题意；C、0是有理数，故此选项不符合题意；D、3.14是有理数，故此选项不符合题意．故选：A．9．（2021•新华区校级一模）下列实数中的无理数是（　　）A．﹣ B．π C．0.57 D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．﹣是分数，属于有理数；B．π是无理数；C．0.57是有限小数，即分数，属于有理数；D．是分数，属于有理数；故选：B．10．（2021•湖北模拟）下列各数中，是无理数的是（　　）A．3.1415 B． C． D．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数进行判断，＝2是有理数；【解答】解：＝2是有理数，是无理数，故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•兴化市模拟）的立方根是 　﹣　．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，∴﹣的立方根根是：﹣．故答案是：﹣．12．（2021•河北模拟）若，则a2+4ab+4b2＝　3　．【分析】根据完全平方公式、算术平方根、实数的乘方解决此题．【解答】解：∵，∴．∴a2+4ab+4b2＝3．故答案为：3．13．（2021•长安区二模）已知＝3，则a的值为　9　．【分析】直接根据算术平方根的定义求解．【解答】解：∵32＝9，∴＝3，故答案为：9．14．（2021•河北模拟）若＝20，则a＝　1　．【分析】根据算术平方根的定义和零次幂的意义解答即可．【解答】解：∵＝20＝1，∴a＝1．故答案为：1．15．（2021•福田区模拟）的算术平方根是 　2　．【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：∵＝4，∴的算术平方根是＝2．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．（2021•玉田县二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中b＜0，且b的倒数是它本身，且a、c满足（c﹣4）2+|a+3|＝0．（1）计算：a2﹣2a﹣的值；（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．【分析】（1）利用非负数的性质求出a与c的值，代入原式计算即可求出值；（2）根据a，b的值，确定出中点坐标，进而求出与C重合的点即可．【解答】解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，∴c﹣4＝0，a+3＝0，解得：a＝﹣3，c＝4，则原式＝a2﹣2a﹣＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）﹣＝9﹣（﹣6）﹣2＝13；（2）∵b＜0，且b的倒数是它本身，∴b＝﹣1，∵a＝﹣3，∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中点为﹣2，∵c＝4，∴与点C重合的点表示的数是﹣8；故答案为：（1）13；（2）﹣8．17．（2021•桥西区校级模拟）比较x2+y2与2xy的大小．尝试：用“＜”，“＝”或“＞”填空．①当x＝2，y＝2时；x2+y2　＝　2xy；②当x＝1，y＝3时，x2+y2　＞　2xy；③当x＝y＝4时，x2+y2　＝　2xy；验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．【分析】①代入求值，再比较即可；②代入求值，再比较即可；③代入求值，再比较即可；验证：将（x﹣y）2≥0变形即可得答案；应用：利用x2+y2≥2xy可直接得到结果．【解答】解：①x＝2，y＝2时，x2+y2＝8，2xy＝8，∴x2+y2＝2xy，故答案为：＝；②x＝1，y＝3时，x2+y2＝10，2xy＝6，∴x2+y2＞2xy，故答案为：＞；③x＝y＝4时，x2+y2＝32，2xy＝32，∴x2+y2＝2xy，故答案为：＝；验证：x2+y2≥2xy，理由如下：∵（x﹣y）2≥0，∴x2﹣2xy+y2≥0，∴x2+y2≥2xy；应用：由验证知：x2+4y2≥2×x•2y即x2+4y2≥4xy，∵xy＝1，∴x2+4y2≥4，∴x2+4y2的最小值是4．18．（2020•河北模拟）对于题目：实数a，b，c的大小如图中数轴所示，化简：|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c．张皓程的解法如图所示：（1）张皓程从第　①　步开始出错．（2）请你写出正确的解答过程．【分析】由图可得：c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，则可以化简所求式子．【解答】解：（1）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，所以|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c所以是第①步出错，原因是去绝对值符号时，负数没有变号；故答案为：①； （2）因为c＜0＜a＜b，且|b|＞|a|＞|c|，所以a﹣c＞0，a﹣b＜0，c﹣b＜0，|a﹣c|﹣|a﹣b|+|c﹣b|+2c＝（a﹣c）+（a﹣b）﹣（c﹣b）+2c＝a﹣c+a﹣b﹣c+b+2c＝2a．