2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点08 整式的乘除与因式分解

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考点08 整式的乘除与因式分解考点总结知识点一 整式乘法幂的运算性质（基础）：         am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。2）不能疏忽指数为1的情况。3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。         (am)n＝amn      （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。         (ab)n＝anbn  （n为正整数）  积的乘方等于各因式乘方的积．         am ÷an＝am－n  （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。         a0＝1  （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．知识点二 整式乘除         单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：【注意】单项式乘以单项式的结果仍是单项式。运算顺序：先算乘方，再算乘法。         单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。         多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。         乘法公式①     完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2                （a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)： + +2ab扩展二： + = 2(+ ) - = 4ab扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．         单项式÷单项式一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。         多项式÷单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。         整式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。知识点四 因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【因式分解的定义注意事项】 1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．因式分解的常用方法：提公因式法【提公因式法的注意事项】1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。                    2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。                                            3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。  公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式：   a2－b2＝（a＋b）（a－b）②     完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2                  a2－2ab＋b2＝（a－b）2  真题演练 一．选择题（共10小题）1．（2021•开平区一模）如果（　　）•m＝m6，那么（　　）＝（　　）A．m7 B．m6 C．m5 D．5m2．（2021•安次区一模）计算a6×（﹣a2）的结果是（　　）A．a4 B．﹣a8 C．a8 D．﹣a43．（2021•邯郸模拟）下列计算正确的是（　　）A．x2+x2＝x4 B．3x2•x＝3x3 C．（ab2）3＝a4b5 D．a6÷a2＝a34．（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（　　）A．37 B．13 C．20 D．365．（2021•玉田县二模）下列运算正确的是（　　）A．±4 B．3a2+a＝3a3 C．（a2）3＝a6 D．a（a+1）＝a2+16．（2021•平泉市一模）下列运算正确的是（　　）A．x3+x3＝2x6 B．（2x）3＝6x3 C．2x2•3x＝6x3 D．（2x﹣y）2＝4x2﹣y27．（2021•南皮县一模）对于：①x2﹣4＝（x﹣2）2；②﹣x2+1＝（x+1）（1﹣x）；③x3+2x﹣4＝（x+2）2；④x2﹣x+1＝（x﹣1）2．其中因式分解正确的是（　　）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④8．（2021•河北模拟）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣2xy＝x（1﹣2y），从左到右的变形，表述正确的是（　　）A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解9．（2021•唐山一模）下列各式：①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），②（a+b）2＝a2+2ab+b2，③a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．② B．①② C．①③ D．②③10．（2021•平泉市一模）若9×11×13，则k＝（　　）A．12 B．11 C．10 D．9二．填空题（共5小题）11．（2021•惠山区模拟）因式分解：3x2﹣12＝　   　．12．（2021•锡山区模拟）分解因式：2x2﹣8＝　   　．13．（2018•无锡）因式分解：x3﹣4x＝　   　．14．（2021•丰润区一模）计算：（﹣a）6÷a3＝　   　．15．（2021•乐亭县一模）若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则ab的值为　   　．三．解答题（共3小题）16．（2020•玉田县二模）如下，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．…（1）请写出：算式⑤　   　；算式⑥　   　；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．17．（2021•路北区二模）某学校初中部和小学部一起在操场做课间操．初中部排成长方形，每排（4a﹣b）人站成（3a+2b）排；小学部排成一个边长2（a+b）的方阵．（1）初中部比小学部多多少人？（用字母a，b表示）（2）当a＝10，b＝2时，该学校一共有多少名同学？18．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x，y1．