2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点24 菱形与梯形

考点24 菱形与梯形

考点总结

知识点一 菱形

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：

1、  菱形具有平行四边形的所有性质；

2、菱形的四条边都相等；

几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD

3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。

几何描述：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC

3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。

菱形的判定：

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、四条边相等的四边形是菱形。

3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝

知识点二 梯形

梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角

梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形

.

等腰梯形性质：

1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；

2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；

3）等腰梯形的两条对角线相等；

4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）。

等腰梯形判定：

1）两腰相等的梯形是等腰梯形；

2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

梯形的面积公式：面积=×（上底+下底）×高

解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；

3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形；

4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.

5）平移腰。过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形。

6）过上底中点平移两腰。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）如图，四边形ABCD为菱形，若CE为边AB的垂直平分线，则∠ADB的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°

2．（2021•海港区模拟）如图，菱形ABCD中，∠1＝15°，则∠D＝（　　）

A．130° B．125° C．120° D．150°

3．（2021•桥东区二模）如图，两根木条钉成一个角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝2cm，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，在平面内，拉动橡皮筋上的一点C，当四边形OACB是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（　　）

A．2cm B．4cm C．（44）cm D．（4﹣2）cm

4．（2021•河北一模）如图，在菱形ABCD中，标出了四条线段的长度，其中有一个长度是标错的，这个长度是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（　　）

A．1cm B．cm C．（23）cm D．（2）cm

6．（2021•顺平县二模）在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　）

A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 

C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错

7．（2021•路北区三模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（3，0），（0，），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（　　）

A．8 B．4 C．2 D．4

8．（2021•张家口一模）如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，AD∥OC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．

甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；

乙：若α＝60°，一定PD＝PE；

丙：若α≠60°，一定PD≠PE；

丁：若α＝80°，可能PD＝PE．

下列判断正确的是（　　）

A．甲、乙、丙正确，丁不正确 

B．甲、乙、丁正确，丙不正确 

C．甲、乙正确，丙、丁不正确 

D．甲、乙、丁不正确，丙正确

9．（2021•清苑区模拟）如图，把菱形ABCD沿着对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD的面积的．若AC，菱形移动的距离AA′是（　　）

A． B． C．1 D．1

10．（2020•嘉峪关）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（　　）

A．90° B．100° C．120° D．150°

二．填空题（共5小题）

11．（2021•河北模拟）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为﹣4和1，则BC＝　   　．

12．（2021•河北模拟）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（1.5，0），（﹣1，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　   　．

13．（2020•开平区一模）边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．

（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为　   　．

（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为　   　．

14．（2020•玉田县一模）如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为　   　．

15．（2020•丰润区二模）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为　   　．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．

（1）证明：AF＝CE；

（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．

17．（2020•新华区校级一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，作等边△BEF，连接AF．

（1）求证：CE＝AF；

（2）EF与AD交于点P，∠DPE＝46°，求∠CBE的度数．

18．（2020•遵化市一模）如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．

（1）求证：△AED≌△CFD；

（2）求证：四边形AECF是菱形．

（3）若ED＝6，AE＝10，则菱形AECF的面积是多少？