人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征示范课课件ppt

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甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
问题　(1)由E(X1)和E(X2)的值能比较两名工人的产品质量吗？(2)试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点　离散型随机变量的方差1．定义：设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
我们称D(X)＝_____________________________________________＝__________________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)．
(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn
2．标准差称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)．3．方差的性质(1)D(X＋b)＝_______；(2)D(aX)＝___________；(3)D(aX＋b)＝___________．
(2)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X的概率分布唯一确定；(3)随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X的取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．显然D(X)≥0，标准差与随机变量本身有相同的单位．
1．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．一组数据的方差的大小，反映了该组数据的什么性质？提示：方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　)(2)离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度． (　　)
2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)＝(　　)A．2　　　B．3　　　　C．4　　　D．5解析：因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4，故选C.
题型一　求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、均值和方差；解 由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4.
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解 由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2.又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
|通性通法|1．求离散型随机变量方差的步骤(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)计算E(X)；(5)计算D(X)．
2．线性关系的方差计算若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)．　
已知随机变量ξ的分布列如下表：
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．
题型二　方差的实际应用【例2】　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50.D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)D(Y)，所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同，但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大，乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定，相对而言，乙保护区的管理更好一些．
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差．解 由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
|通性通法|处理综合问题的步骤第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立；第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率；第三步：列分布列，并计算均值及方差．　
有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；解：由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，4.
(2)随机变量X的均值与方差．
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计 (　　)A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
2．下列说法中正确的是(　　)A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
解析：E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度．
2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0，1)，则E(ξ)，D(ξ)的值分别是 (　　)A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和p(1－p)解析：由题可得，P(ξ＝0)＝1－p，P(ξ＝1)＝p，E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(1－p)2×p＋(0－p)2×(1－p)＝p(1－p)，故选D.
6．已知随机变量X的分布列如表所示：
则a＝________，D(X)＝________．解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5，E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，D(X)＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56.
7．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________．
8. 若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0