2023年江苏省中考数学一轮复习练习卷07：反比例函数

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 2023年江苏省中考数学一轮复习练习卷07：反比例函数
一．选择题（共14小题）
1．（2022•仪征市二模）已知点A在反比例函数y=6x第一象限的图象上，B（﹣2，0）、C（2，0）在x轴上，则下列说法中正确的是（　　）
①满足△ABC面积为4的点A有且只有一个
②满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个
③满足△ABC是等腰三角形的点A有且只有一个
④满足△ABC是等边三角形的点A有且只有一个

A．①④ B．①② C．②③ D．③④
2．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（−1m，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B．134 C．72 D．154
3．（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2022•昆山市校级一模）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'B'C'．若反比例函数y的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点 A、B分别落在双曲线y=kx（k≠0）上，顶点 C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y=kx经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．（2022•海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=534x（x＞0）的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若∠BAO＝60°，且A（1，0），则点B的坐标为（　　）

A．（﹣1，22） B．（﹣1，23） C．（−32，323） D．（−32，23）
7．（2022•工业园区模拟）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点A，且与BC相交于点D．若△AOD的面积为20，则k的值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．32
8．（2022•江阴市模拟）已知A（﹣2，3）和点B（a，6）在同一反比例函数图象上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．−16
9．（2022•金坛区二模）如图，Rt△OBC的斜边OB落在x轴上，∠OCB＝90°，CO＝CB＝22，以O为圆心，OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作CE∥OB，交圆弧于点E．若反比挒函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象经过点E，则k的值是（　　）

A．33 B．35 C．43 D．45
10．（2022•江都区校级三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图象如图所示（　　）

A．y=3x+1 B．y=3|x| C．y=3x2+1 D．y=3(x+1)2
11．（2022•丹徒区模拟）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段AB左侧作等腰三角形ABC，底边BC∥x轴，过点C作CD⊥x轴交双曲线于点D，连接BD，若S△BCD＝16，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣16
12．（2022•连云港模拟）如图，在平直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（8，0），（0，6），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y=kx上，当CE长度最小时，k的值为（　　）

A．485 B．28825 C．19225 D．10
13．（2022•沭阳县模拟）如图，Rt△ABC位于第一象限，AB＝2，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx（k≠0）的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
14．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．22 D．4
二．填空题（共8小题）
15．（2022•江都区校级三模）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是 　 　．
16．（2022•东海县校级三模）如图，A、B分别是反比例函数，y1=kx(k＜0，x＜0)，y2=4x(x＞0)图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 　 　．

17．（2022•海州区校级二模）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°，则tanC的值为 　 　．

18．（2022•仪征市校级模拟）如图，反比例函数图象l1的表达式为y=k1x(x＞0)，图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为 　 　．

19．（2022•靖江市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+bk）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k的和谐点”．已知点A在函数y=2x（x＞0）的图象上运动，且点A是点B的“2的和谐点”，若Q（﹣2，0），则BQ的最小值为 　 　．
20．（2022•工业园区校级二模）如图，已知点A，B是函数y=kx（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO交BN于点E，若NE=13NB，四边形AMNE的面积为3，则k的值为 　 　．

21．（2022•镇江）反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，写出符合条件的k的值 　 　（答案不唯一，写出一个即可）．
22．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 　 　．
三．解答题（共12小题）
23．（2022•邗江区二模）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的旋转函数．
例如：当m＝0时，函数y＝x2+3关于点（0，0）旋转函数为y＝﹣x2﹣3．
（1）在图1的平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x+3关于P（0，0）的旋转函数图象；
（2）图2中图象是函数y＝（x+1）2+3关于点P（m，0）的旋转函数的图象，请求出图2中所示图象的函数解析式，并求出m的值；
（3）借助以往研究函数的经验，以及网格的特征，在图3的网格中画出反比例函数y=4x关于点（﹣1，0）的旋转函数图象，并结合所画图象，直接写出该图象的两条相关性质．

24．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD=92，求线段OB的长．

25．（2022•海陵区校级三模）已知过原点的一条直线l与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，且A的横坐标为a（a＞0），c是反比例函数图象上位于A点上方的一点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．AC＝pCD，BC＝qCE．
（1）直接写出B点坐标（用a，k表示）．
（2）当p＝1，k＝8时
①求△ABD的面积．
②求p﹣q的值．
（3）当点c在A点上方运动时，请说明p﹣q是定值．

26．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）直接写出这个反比例函数的表达式 　 　；
（2）若△ABC与△EFG关于点M成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出OF的长 　 　、对称中心点M的坐标 　 　；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

27．（2022•亭湖区校级三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为 　 　．

28．（2022•天宁区校级二模）如图，直线y＝x+m与双曲线y=kx相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值；
（2）不解关于x、y的方程组y=x+m，y=kx，直接写出点B的坐标；
（3）直接写出kx−x−m＞0的取值范围．

29．（2022•丹徒区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+m的图象与函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OAC的面积是△BOC面积的一半．
（1）k＝　 　，m＝　 　；
（2）求点C的坐标；
（3）若将△BOC绕点O顺时针旋转，得到△B'OC'，当点C'正好落在x轴正半轴上时，判断此时点B'是否落在函数y=kx（x＞0）的图象上，并说明理由．

30．（2022•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵（a−b）2≥0，
∴a+b﹣2ab≥0
∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝　 　时，x+1x有最小值为 　 　；
（2）如图，已知点A是反比例函数y=3x的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支与点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．记点C的运动轨迹为l，过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．

31．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．


32．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝　 　，b＝　 　；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．

33．（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

34．（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．


2023年江苏省中考数学第一轮复习卷：7反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2022•仪征市二模）已知点A在反比例函数y=6x第一象限的图象上，B（﹣2，0）、C（2，0）在x轴上，则下列说法中正确的是（　　）
①满足△ABC面积为4的点A有且只有一个
②满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个
③满足△ABC是等腰三角形的点A有且只有一个
④满足△ABC是等边三角形的点A有且只有一个

A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【解答】解：设点A（x，6x），则AC2＝（x﹣2）2+（ 6x）2，AB2＝（x+2）2+（6x）2，BC＝4，
①∴S△ABC=12BC•yA=12×4×6x=4，
∴x＝3，
∴满足△ABC面积为4的点A只有一个，故①正确，符合题意；
②∵点A在第一象限，
∴∠C≠90°，
当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，
∴（x﹣2）2+（6x）2+42＝（x+2）2+（6x）2，
解得：x＝2，
∴点A（2，3），
当∠CAB＝90°时，AC2+AB2＝BC2，
∴（x﹣2）2+（6x）2+（x+2）2+（6x）2＝42，无解，舍去，
综上所述，满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个，故②正确，符合题意
③∵点A在第一象限，点B在x轴的负半轴，
∴CA≠AB，
当BC＝AC时，
∵当x＝2时，y＝3，
∴当以点C为圆心BC＝4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
同理，当BC＝AC时，以点B为圆心BC＝4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
故③错误，不符合题意；
④∵点A在第一象限，
∴AC≠AB，
∴△ABC不可能为等边三角形，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的序号有①②，
故选：B．
2．（2022•无锡）一次函数y＝mx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（−1m，﹣2m）、B（m，1），则△OAB的面积是（　　）
A．3 B．134 C．72 D．154
【解答】解：∵点A（−1m，﹣2m）在反比例函数y=mx上，
∴﹣2m=m−1m，
解得：m＝2，
∴点A的坐标为：（−12，﹣4），点B的坐标为（2，1），
∴S△OAB=12×52×5−12×12×4−12×2×1−12×1=154，
故选：D．
3．（2022•扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：根据题意，可知xy的值即为该校的优秀人数，
∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两所学校的优秀人数相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，
∴丙校的xy的值最大，即优秀人数最多，
故选：C．
4．（2022•昆山市校级一模）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'B'C'．若反比例函数y的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【解答】解：作A′H⊥y轴于H．
∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，
∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠A′BH，
∵BA＝BA′，
∴△AOB≌△BHA′（AAS），
∴OA＝BH，OB＝A′H，
∵点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），
∴OA＝2，OB＝6，
∴BH＝OA＝2，A′H＝OB＝6，
∴OH＝4，
∴A′（6，4），
∵BD＝A′D，
∴D（3，5），
∵反比例函数y=kx的图象经过点D，
∴k＝15．
故选：C．

5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点 A、B分别落在双曲线y=kx（k≠0）上，顶点 C、D分别落在y轴、x轴上，双曲线y=kx经过AD的中点E，若OC＝3，则k的值为（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则k＝ab，y=abx，如图，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
∠DAM=∠BCN∠AMD=∠CNB=90°AD=CD，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
∴ON＝3﹣b，即yB＝b﹣3，且B在y=abx图象上，
∴B（abb−3，b﹣3），
∴BN＝DM＝|xB|=ab3−b，
∵点E是AD的中点，
∴MF=ab6−2b，OF＝a+ab6−2b，OD＝a+ab3−b，
∴E（a+ab6−2b，12b），
∵双曲线y=kx经过AD的中点E，
∴（a+ab6−2b）•12b＝ab，解得b＝2，
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而C（0，﹣3），且矩形ABCD有AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴A（1，2），代入y=kx得：k＝2．
故选：B．

6．（2022•海门市二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=534x（x＞0）的图象经过矩形ABCD的顶点C，D，若∠BAO＝60°，且A（1，0），则点B的坐标为（　　）

A．（﹣1，22） B．（﹣1，23） C．（−32，323） D．（−32，23）
【解答】解：如图，过B作BF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E，
设AF＝a，
∵∠BAO＝60°，
∴BF=3AF=3a，
∴B（1﹣a，3a）．
∵∠BAO＝60°，∠BAD＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∴AE=3DE．
设DE＝m，则AE=3m，
∴D（1+3m，m），
∵反比例函数y=534x（x＞0）的图象经过点D，
∴（1+3m）•m=534，
解得m=32或m=−536（舍去），
∵四边形ABCD是矩形，A（1，0），
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴C（1﹣a+3m，3a+m），即C（1﹣a+32，3a+32），
∵反比例函数y=534x（x＞0）的图象经过点C，
∴（52−a）•3（a+12）=534，
解得a＝2或a＝0（舍去）．
∴B（﹣1，23），
故选：B．

7．（2022•工业园区模拟）如图，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，tan∠AOC=43，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点A，且与BC相交于点D．若△AOD的面积为20，则k的值为（　　）

A．12 B．18 C．24 D．32
【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥OC，垂足为E，

∵四边形OACB是菱形，
∴OA＝OC，OA∥BC，
∴△AOD的面积＝△AOC的面积＝20，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=AEOE=43，
∴设AE＝4k，OE＝3k，
∴OC＝OA=OE2+AE2=(3k)2+(4k)2=5k，
∴OEOC=3k5k=35，
∴S△AOES△AOC=OEOC=35，
∴△AOE的面积=35×20＝12，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴12|k|＝12，
∴k＝±24，
∵k＞0，
∴k＝24，
故选：C．
8．（2022•江阴市模拟）已知A（﹣2，3）和点B（a，6）在同一反比例函数图象上，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．−16
【解答】解：∵点A（﹣2，3）和点B（a，6）在同一反比例函数图象上，
∴﹣2×3＝6a，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
9．（2022•金坛区二模）如图，Rt△OBC的斜边OB落在x轴上，∠OCB＝90°，CO＝CB＝22，以O为圆心，OB长为半径作弧交OC的延长线于点D，过点C作CE∥OB，交圆弧于点E．若反比挒函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象经过点E，则k的值是（　　）

A．33 B．35 C．43 D．45
【解答】解：连接OE，作EF⊥OB于F，CM⊥OB于M，
∵∠OCB＝90°，CO＝CB＝22，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB＝4，
∴CM＝OM＝2，
∵OE＝OB＝4，EF＝CM＝2，
∴OF=OE2−EF2=42−22=23，
∴E（23，2），
∵反比挒函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝23×2＝43，
故选：C．

10．（2022•江都区校级三模）运用你学习函数的经验，判断以下哪个函数的图象如图所示（　　）

A．y=3x+1 B．y=3|x| C．y=3x2+1 D．y=3(x+1)2
【解答】解：A．当x＝﹣2时，y=1−2+1=−1，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
B．当x＝0时，y=3|x|无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意；
C．当自变量x取其相反数时，y=3(−x)2+1=3x2+1，且当x＝0时，y＝3为最大值，与题干中图象相符，该选项符合题意；
D．当x＝﹣1时，y=3(x+1)2无意义，故与题干中图象不符，该选项不合题意．
故选C．
11．（2022•丹徒区模拟）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段AB左侧作等腰三角形ABC，底边BC∥x轴，过点C作CD⊥x轴交双曲线于点D，连接BD，若S△BCD＝16，则k的值是（　　）

A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣16
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，

则OE∥AH，
∵△ABC是等腰三角形，且底边BC∥x轴，
∴BH＝CH，
∵过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点O对称，即O为AB的中点，
∴点E为BH的中点，
∴BH＝2BE，
∴BC＝4BE，
设BE＝a，则CE＝3a，BC＝4a，
∴A（﹣a，−ka），B（a，ka），C（﹣3a，ka），D（﹣3a，−k3a），
∴CD=−k3a−ka=−4k3a，
∵S△BCD=12BC•CD＝16，
∴12•4a•（−4k3a）＝16，
解得：k＝﹣6，
故选：B．
12．（2022•连云港模拟）如图，在平直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（8，0），（0，6），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y=kx上，当CE长度最小时，k的值为（　　）

A．485 B．28825 C．19225 D．10
【解答】解：由折叠可知，AE＝AB，∠AED＝∠B＝90°，
∴CE≥AC﹣AE＝2，
∴当且仅当点A，E，C三点共线时，CE最小．
∵OA＝8，OC＝6，
∴AC＝10．
如图，过点E作EM⊥OA于点M，

∴EM：OC＝AE：AC＝AM：OA＝3：5，
解得EM=185，AM=245，
∴OM=165．
∴E（165，185），
∵点E在双曲线y=kx上，
∴k=165×185=28825．
故选：B．
13．（2022•沭阳县模拟）如图，Rt△ABC位于第一象限，AB＝2，AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx（k≠0）的图象与△ABC有交点，则k的最大值是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：由题意可知，A点的坐标为（1，1），C点的坐标为（1，3），B点的坐标为（3，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则k+b=33k+b=1，
解得k=−1b=4，
则函数的解析式为：y＝﹣x+4，
根据题意，得kx=−x+4，
即x2﹣4x+k＝0，
Δ＝16﹣4k≥0，
解得k≤4，
故k的最大值为4，
故选：B．
14．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　）

A．1 B．2 C．22 D．4
【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OA最小，
设A点坐标为（a，2a），
∴OA=a2+4a2，
∵(a−2a)2≥0，
即：a2+4a2−4≥0，
∴a2+4a2≥4，
∵(a−2a)2≥0，
两边同时开平方得：a−2a=0，
∴当a=2a时，OA有最小值，
解得a1=2，a2=−2（舍去），
∴A点坐标为（2，2），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，
∴OB=2OA＝22．
故选：C．

二．填空题（共8小题）
15．（2022•江都区校级三模）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（4，1），当y＜1时，x的取值范围是 　x＜0或x＞4　．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点A（4，1），
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，图象如图所示．
由图可知，当y＜1时，x＜0或x＞4．
故答案为：x＜0或x＞4．

16．（2022•东海县校级三模）如图，A、B分别是反比例函数，y1=kx(k＜0，x＜0)，y2=4x(x＞0)图象上的点，且AB∥x轴，C是x轴上的点，连接AC，BC．若△ABC的面积是3，则k的值是 　﹣2　．

【解答】解：∵点B在y=4x上，
设B（a，4a），
∵点A在y1=kx（x＜0）上，AB∥x轴，
∴yB＝yA=4a；
则xA=ak4，
∴AB＝xB﹣xA＝a−ak4，
∴S△ABC=12×AB×yA
=12×（a−ak4）×4a=3，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．（2022•海州区校级二模）如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）、B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°，则tanC的值为 　2　．

【解答】解：（1）把A（1，a）代入y＝2x得a＝2，则A（1，2），
把A（1，2）代入y=kx得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y=2x，
解方程组y=2xy=2x得x=1y=2或x=−1y=−2，
∴B点坐标为（﹣1，﹣2）；
作BD⊥AC于D，如图，
∴∠BDC＝90°，
∵∠C+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD=2+21+1=2，
即tanC＝2．
故答案为：2．

18．（2022•仪征市校级模拟）如图，反比例函数图象l1的表达式为y=k1x(x＞0)，图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则k1k2的值为 　89　．

【解答】解：∵图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，即f（x）与f（2﹣x）关于直线x＝1对称，
∴反比例函数l2为：y=k12−x，
∵直线y＝k2x与l2交于A，B两点，
∴y=k2xy=k12−x，
整理得：x2﹣2x+k1k2=0，
∴xA+xB＝2，xAxB=k1k2（根与系数的关系），
∵A为OB中点，
∴2xA＝xB，
∴xA+2xA＝2，
∴xA=23，xB=43，
∴k1k2=xAxB=23×43=89．
故答案为：89．
19．（2022•靖江市校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+bk）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k的和谐点”．已知点A在函数y=2x（x＞0）的图象上运动，且点A是点B的“2的和谐点”，若Q（﹣2，0），则BQ的最小值为 　23　．
【解答】解：过点B作QB⊥MN，垂足为B，
设B（x，y），
∵点A是点B的“2的和谐点”，
∴A（3x+y，x+y3），
∵点A在函数y=43x（x＞0）的图象上，
∴（3x+y）（x+y3）＝43，
即：3x+y＝23或3x+y＝﹣23（舍去x＞0，y＞o），
∴y=−3x+23，
∴点B在直线y=−3x+23上，
直线y=−3x+23与x轴、y轴相交于点M、N，
则M（2，0）、N（0，23），
∴MN=22+(23)2=4，MQ＝MO+OQ＝2+2＝4，
∴MN＝MQ，
∴△MON≌△MBQ （AAS），
∴BQ＝ON=23；
故答案为：23．

20．（2022•工业园区校级二模）如图，已知点A，B是函数y=kx（x＞0）图象上的两点，点B位于点A的左侧，AM，BN均垂直于x轴，垂足为点M，N，连接AO交BN于点E，若NE=13NB，四边形AMNE的面积为3，则k的值为 　9　．

【解答】解：设点B坐标为（a，b），则ON＝a，BN＝b，k＝ab，
∵NE=13NB，
∴NE=13b，
∵S△OEN=12ON⋅NE=16ab=16k，
∵AM⊥x轴于M，
∴S△OAM=12k，
∵四边形AMNE的面积为3，
∴12k−16k＝3，
解得k＝9，
故答案为：9．
21．（2022•镇江）反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，写出符合条件的k的值 　﹣1　（答案不唯一，写出一个即可）．
【解答】解：∵反比例函数y=kx（k≠0）的图像经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜0＜x2时，y1＞y2，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数，例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1．
22．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 　y=6x　．
【解答】解：令反比例函数为y=kx（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴3=k2，
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y=6x．
故答案为：y=6x．
三．解答题（共12小题）
23．（2022•邗江区二模）定义：将函数l的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新的函数l'的图象，我们称函数l'是函数关于点P的旋转函数．
例如：当m＝0时，函数y＝x2+3关于点（0，0）旋转函数为y＝﹣x2﹣3．
（1）在图1的平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x+3关于P（0，0）的旋转函数图象；
（2）图2中图象是函数y＝（x+1）2+3关于点P（m，0）的旋转函数的图象，请求出图2中所示图象的函数解析式，并求出m的值；
（3）借助以往研究函数的经验，以及网格的特征，在图3的网格中画出反比例函数y=4x关于点（﹣1，0）的旋转函数图象，并结合所画图象，直接写出该图象的两条相关性质．

【解答】解：（1）y＝x+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴与x轴、y轴的两个交点坐标分别为（﹣3，0），（0，3），
两个交点关于P（0，0）旋转180°后的坐标为（3，0），（0，﹣3），连接即可得出旋转函数图象如图所示：


（2）由图象可设解析式为：y＝a（x﹣3）2﹣3，
把（2，﹣4）代入得：a＝﹣1，
∴函数的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2﹣3，
借助图象可知：m＝1；

（3）反比例函数的旋转图象如图所示：当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，该函数关于点（﹣2，0）成中心对称．

24．（2022•亭湖区校级模拟）如图，正比例函数y＝kx（k为常数）的图象与反比例函数y=6x（x＞0）的图象交于点A（a，3）．点B为x轴正半轴上一动点，过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点 D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若CD=92，求线段OB的长．

【解答】解：（1）把点A（a，3）代入反比例函数y=6x（x＞0）得，
a＝2，
∴点A（2，3），代入y＝kx得，k=32，
∴正比例函数的关系式为y=32x；
（2）设点B的坐标为（b，0），
将x＝b代入y=6x和y=32x中，
得y=6b，y=32b，
∴C（b，6b），D（b，32b），
∵CD=92，
∴32b−6b=92，
解得：b＝﹣1（舍）或b＝4，
∴OB的长度为4．
25．（2022•海陵区校级三模）已知过原点的一条直线l与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，且A的横坐标为a（a＞0），c是反比例函数图象上位于A点上方的一点，连接AC并延长交y轴于点D，连接CB交y轴于点E．AC＝pCD，BC＝qCE．
（1）直接写出B点坐标（用a，k表示）．
（2）当p＝1，k＝8时
①求△ABD的面积．
②求p﹣q的值．
（3）当点c在A点上方运动时，请说明p﹣q是定值．

【解答】解：（1）∵直线l与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，且A的横坐标为a（a＞0），
∴A（a，ka），
∵直线l过原点，
∴B（﹣a，−ka）；
（2）①当p＝1，k＝8时，则AC＝CD，BC＝qCE，y=8x，
∵A的横坐标为a（a＞0），
∴C的横坐标为12a，
∴A（a，8a），C（12a，16a），
∴B（﹣a，−8a），
设直线AC为y＝mx+n，
∴am+n=8a12am+n=16a，解得m=−16a2n=24a，
∴直线AC为y=−16a2x+24a，
∴D（0，24a），
∴△ABD的面积=12•24a（a+a）＝24；
②作CM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，
∴CM∥BN，
∴CEBE=CMBN，
∵C（12a，16a），B（﹣a，−8a），
∴CM=12a，BN＝a，
∴CEBE=12，
∴BC＝3CE，
∴q＝3，
∴p﹣q＝1﹣3＝﹣2；
（3）如图，∵CM∥AF∥BN，AC＝pCD，
∴CM：AF：BN＝1：（1+p）：（1+p），
∴CE：BE＝1：（1+p），
∵BC＝qCE．
∴CE：BE＝1：（q﹣1），
∴1+p＝q﹣1，
∴p﹣q＝﹣2．

26．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过BC边的中点D（3，1）．
（1）直接写出这个反比例函数的表达式 　y=3x　；
（2）若△ABC与△EFG关于点M成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出OF的长 　1　、对称中心点M的坐标 　（32，32）　；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

【解答】解：（1）∵反比例函数y=kx（k＞0）的图象经过点D（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数表达式为y=3x．
故答案为：y=3x；
（2）①∵D为BC的中点，
∴BC＝2，B（3，2）
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG（中心对称的性质），
∴GF＝BC＝2，GE＝AC＝1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG＝3，
∴OF＝OG﹣GF＝1；
∴F（0，1），
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴对称中心M是线段BF的中点，
∴M（32，2+12），即M（32，32）．
故答案为：1，（32，32）；
②如图，连接AF、BE，

∵AC＝1，OC＝3，
∴OA＝GF＝2，
在△AOF和△FGE中
AO=FG∠AOF=∠FGEOF=GE
∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴AF＝EF，
∴∠GFE＝∠FAO＝∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO＝∠FAO+∠BAC＝90°，
∴EF∥AB，且EF＝AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
又AF＝EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．
27．（2022•亭湖区校级三模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为 　﹣3＜x＜0，或x＞1　．

【解答】（1）把A（1，3）代入y=mx得：m＝3×1＝3，
所以反比例函数解析式为y=3x；
把B（﹣3，n）代入y=3x得：n＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
把A（1，3）和B（﹣3，﹣1）分别代入y＝kx+b得：k+b=3−3k+b=−1，
解得k=1b=2，
所以一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由（1）可知一次函数和反比例函数的交点是A（1，3）和B（﹣3，﹣1），
要使得一次函数的值大于反比例函数的值，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方时，此时对应的x的值的范围是：﹣3＜x＜0，或x＞1，
∴x的取值范围为：﹣3＜x＜0，或x＞1．
故答案为：﹣3＜x＜0，或x＞1．
28．（2022•天宁区校级二模）如图，直线y＝x+m与双曲线y=kx相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值；
（2）不解关于x、y的方程组y=x+m，y=kx，直接写出点B的坐标；
（3）直接写出kx−x−m＞0的取值范围．

【解答】解：（1）将点A（2，1）的坐标分别代入一次函数y＝x+m与反比例函数y=kx，
可得，1＝2+m，1=k2，
解得：m＝﹣1，k＝2；
（2）∵A，B两点关于直线y＝﹣x对称，
∴B点的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）由kx−x−1＞0得kx＞x+1，
即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值，
由图像可知：0＜x＜2或x＜﹣1．
29．（2022•丹徒区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+m的图象与函数y=kx（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OAC的面积是△BOC面积的一半．
（1）k＝　6　，m＝　5　；
（2）求点C的坐标；
（3）若将△BOC绕点O顺时针旋转，得到△B'OC'，当点C'正好落在x轴正半轴上时，判断此时点B'是否落在函数y=kx（x＞0）的图象上，并说明理由．

【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+m，
得，6＝1+m，
∴m＝5，
将A（1，6）代入y=kx，
得，6=k1，
∴k＝6，
故答案为：6，5；

（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，
∵△OBC与△OBA的面积比为1：2，
∴CMAN=12，
又∵点A的坐标为（1，6），
∴AN＝8，
∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5中，
得，x＝﹣1，
∴C（﹣1，4）；

（3）由题意可知，OC'＝OC=OE2+CE2=22+42=25，
如图2，过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，

∵S△OBC＝S△OB'C′，
由一次函数y＝x+5可知B（﹣5，0），
∴OB•CE＝OC'•B'F，
即5×4＝25B'F，
∴B'F＝25，
在Rt△OB'F中，
∵OF=OB'2−B'F2=25−25=5，
∴B'的坐标为（5，25），
∵5×25≠6，
∴点B'不在函数y=6x的图象上．

30．（2022•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵（a−b）2≥0，
∴a+b﹣2ab≥0
∴a+b≥2ab，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2k，只有当a＝b时，a+b有最小值2k．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝　1　时，x+1x有最小值为 　2　；
（2）如图，已知点A是反比例函数y=3x的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支与点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．记点C的运动轨迹为l，过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．

【解答】解：（1）∵x+1x≥2x⋅1x=2，
当x=1x时，x+1x有最小值为2，
∴x＝1，
故答案为：1，2；
（2）∵OA＝OB，△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，OC=3OA，
过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，

∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM+∠COE＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠OAM＝∠COE，
∵∠AMO＝∠CEO，
∴△AMO∽△OEC，
∴S△OCE＝3S△AOM=92，
∴点C在双曲线y=−9x上运动，
设A（m，3m），则C（m，−9m），
∴AM＝m，AD=12m，
∴m+12m≥2m⋅12m=43，
∴AM+AD的最小值为43，
∴四边形ADNM周长的最小值为83．
31．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．


【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，8m），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC=12AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，4m），
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为（m，8m），
∴CH＝m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
2k+b=4b=2
∴k=1b=2；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴2a+n=04a+n=2，
∴a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．


32．（2022•镇江）如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（1，4），与y轴交于点B．
（1）k＝　4　，b＝　2　；
（2）连接并延长AO，与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点C，点D在y轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．

【解答】解：（1）将点A（1，4）代入反比例函数y=kx（k≠0）的解析式中，
∴k＝1×4＝4；
将A（1，4）代入一次函数y＝2x+b，
∴2×1+b＝4，
解得b＝2．
故答案为：4；2．
（2）当点D落在y轴的正半轴上，
则∠COD＞∠ABO，
∴△COD与△ABO不可能相似．
当点D落在y轴的负半轴上，
若△COD∽△AOB，
∵CO＝AO，BO＝DO＝2，
∴D（0，﹣2）．
若△COD∽△BOA，则OD：OA＝OC：OB，
∵OA＝CO=17，BO＝2，
∴DO=172，
∴D（0，−172），
综上所述：点D的坐标为（0，﹣2），（0，−172）．
33．（2022•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点C，连接OC．已知点B（0，4），△BOC的面积是2．
（1）求b、k的值；
（2）求△AOC的面积．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象过点B（0，4），
∴b＝4，
∴一次函数为y＝2x+4，
∵OB＝4，△BOC的面积是2．
∴12OB•xC＝2，即12×4⋅xC=2，
∴xC＝1，
把x＝1代入y＝2x+4得，y＝6，
∴C（1，6），
∵点C在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝1×6＝6；

（2）把y＝0代入y＝2x+4得，2x+4＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴S△AOC=12×2×6=6．
34．（2022•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．

【解答】解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y=kx中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y=−12x；
当y＝﹣2时，﹣2=−12x，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：−4a+b=36a+b=−2，
解得：a=−12b=1，
∴一次函数的表达式为：y=−12x+1；
（2）如图，

y=−12x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
=12×1×4+12×1×6
＝2+3
＝5．