七年级数学下册考点精练专题30 换元法因式分解

这是一份七年级数学下册考点精练专题30 换元法因式分解，共26页。
专题30 换元法因式分解
【例题讲解】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式．
解：设，
(1)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：．
【详解】（1）解：设，

（2）解：设．则．解得或．
当时，，即．解得．
当时，，即．解得，．
综上所述，原方程的解为，，．
【综合解答】
1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式   B．平方差公式  C．两数和的完全平方公式  D．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
(3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
2．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程
解：设①，将①带入原式后，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
3．阅读并解决问题：
材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成．
例如：．
材料2：分解因式：．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
(1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________；
(2)请用“换元法”进行因式分解：．
4．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式



回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；
(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
5．下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解．
6．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于．
解法一：设，则原式
；
解法二：设，，则原式
．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：多项式的值一定是非负数．
7．阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣2a＝A，
原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）
＝A2+2A+1（第二步）
＝（A+1）2（第三步）
＝（a2﹣2a+1）2（第四步）
＝（a﹣1）4
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49．
9．下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，则（第一步）
原式（第二步）
（第三步）
把代入上式，得原式（第四步）
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；
（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．
10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．
A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式   D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
（4）知识延伸：
解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“，则或”．
解方程．
11．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）
＝y2﹣8y+16（第二步）
＝（y﹣4）2（第三步）
＝（x2+3x﹣4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4进行因式分解．
专题30 换元法因式分解
【例题讲解】阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
例：用换元法分解因式．
解：设，
(1)请你用换元法对多项式进行因式分解；
(2)凭你的数感，大胆尝试解方程：．
【详解】（1）解：设，

（2）解：设．则．解得或．
当时，，即．解得．
当时，，即．解得，．
综上所述，原方程的解为，，．
【综合解答】
1．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的__________（填代号）．
A．提取公因式   B．平方差公式  C．两数和的完全平方公式  D．两数差的完全平方公式
(2)按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为______________．
(3)请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
【答案】(1)C；
(2)；
(3)

【分析】（1）从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式；
（2）对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解，再用幂的乘方计算即可；
（3）模仿例题设，对其进行换元后去括号，整理成多项式，再进行分解，分解后将A换回，再分解彻底即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式=
故答案为：；
（3）设．





．
【点睛】本题考查的是因式分解，解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿，要注意分解要彻底．
2．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程
解：设①，将①带入原式后，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解
【答案】(1)提取公因式
(2)
(3)

【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；
（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可；
（3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法
故答案为：提取公因式
（2）解：由题意得：


（3）解：设，将代入中得：
原式




【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果．
3．阅读并解决问题：
材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成．
例如：．
材料2：分解因式：．
解：设，则原式．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
(1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________；
(2)请用“换元法”进行因式分解：．
【答案】(1)①，②．
(2)

【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可；
（2）设，把原多项式换元后因式分解，再代入还元；
【详解】（1）①，②；
故答案为：①，②．
（2）设，
则原式




．
【点睛】本题考查了因式分解的完全平方公式和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键．
4．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式



回答下列问题：
(1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________；
(2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解．
【答案】(1)不彻底，
(2)

【分析】（1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案；
（2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【详解】（1）∵，
∴该同学因式分解的结果不彻底，
故答案为：不彻底，；
（2）设，



  

，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用和换元法的应用．
5．下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题：

(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ；
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解．
【答案】(1)完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）
(2)不彻底；(x-2)4
(3)(x﹣1)4

【分析】（1）根据分解时所用公式判断；
（2）用完全平方差公式继续分解；
（3）先换元，再用公式分解．
（1）
解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．
故答案为：完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）．
（2）
∵x2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ．
故答案为：不彻底；(x-2)4 ．
（3）
解：设x2－2x=y，则
(x2－2x)(x2－2x+2)+1
=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=( x2-2x+1)2
=(x﹣1)4
【点睛】本题考查因式分解，整体代换后用公式是求解本题的关键．
6．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．
对于．
解法一：设，则原式
；
解法二：设，，则原式
．
请按照上面介绍的方法解决下列问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：多项式的值一定是非负数．
【答案】(1)（1）
(2)
(3)见解析

【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可；
（2）仿照题意方法二求解即可；
（3）先把多项式化成，然后仿照题意方法二得到原式，由此即可得答案．
【详解】（1）解：解法一：设，
则原式



；
方法二：设，
则原式




；
（2）解：设，
则原式





；
（3）解：
，
设，
则原式


，
∵，
∴，
∴多项式的值一定是非负数．
【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．
7．阅读与思考：
材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
（1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）  ；（2）不彻底，；（3）．
【分析】（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，即可得出选项；
（2）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式即可．
【详解】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，
故选：C；
（2）小影同学因式分解的结果不彻底，
原式

，
故答案为：不彻底，；
（3）设，
原式，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
8．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解的过程．
解：设a2﹣2a＝A，
原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）
＝A2+2A+1（第二步）
＝（A+1）2（第三步）
＝（a2﹣2a+1）2（第四步）
＝（a﹣1）4
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填代号）．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）请你模仿以上方法，分解因式：（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49．
【答案】（1）C；（2）（x-2）4
【分析】（1）完全平方公式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）按照例题的分解方法进行分解即可．
【详解】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；
（2）设x2-4x=A．
（x2-4x-3）（x2-4x+11）+49
=（A-3）（A+11）+49
=A2+8A+16
=（A+4）2
=（x2-4x+4）2
=（x-2）4．
【点睛】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
9．下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设，则（第一步）
原式（第二步）
（第三步）
把代入上式，得原式（第四步）
我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：
（1）该同学因式分解的结果 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；
（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．
【答案】（1）不彻底，；（2）
【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设，再根据不同的方法把原式进行分解即可．
【详解】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式
=；
（2）设，
则
=
=
=
=
=
【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式和十字相乘法的应用．
10．阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）
回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．
A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式   D．两数差的完全平方公式
（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．
（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．
（4）知识延伸：
解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“，则或”．
解方程．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或
【分析】（1）由 运用的是两数和的完全平方公式，从而可得答案；
（2）由 从而可得最后的答案；
（3）设设 可得 ，再利用完全平方公式分解，再把代入可得答案；
（4）由可得：利用，则或，从而可得答案．
【详解】解：（1）由
运用的是两数和的完全平方公式，
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）设






（4） ，


或或或，
或或或
【点睛】本题考查的是换元法分解因式，因式分解法解高次方程，掌握换元法分解因式及利用因式分解法解高次方程是解题的关键．
11．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25 进行因式分解的过程．
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25（第一步）
＝y2﹣8y+16（第二步）
＝（y﹣4）2（第三步）
＝（x2+3x﹣4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（）；
A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）（x-1）2（x+4）2；（3）（3x-1）4．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】解：（1）由y2﹣8y+16＝（y﹣4）2可知，小涵运用了因式分解的完全平方公式法
故选：C；
（2）（x2+3x﹣9）（x2+3x+1）+25，
解：设x2+3x＝y
原式＝（y﹣9）（y+1）+25
＝y2﹣8y+16
＝（y﹣4）2
＝（x2+3x﹣4）2
=(x-1)2(x+4)2；
故答案为：(x-1)2(x+4)2；
（3）（9x2- 6x+3）（9x2- 6x -1）+ 4
设9x2- 6x =y，
原式=(y+3)（y-1）+4，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（9x2- 6x +1）2，
=（3x-1）4．
【点睛】本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．