七年级数学下册考点精练专题31 十字相乘法因式分解

这是一份七年级数学下册考点精练专题31 十字相乘法因式分解
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，所以．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，故m的值为43或-78．
【综合解答】
1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)__________；
(2)__________；
(3)__________；
(4)__________．
2．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4．用十字相乘法分解下列因式．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
5．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．分解因式：
(1)；
(2)．
7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
8．将下列各式分解因式：
（1）； （2）； （3）
9．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．
（1）分解因式：
（2）请用上述方法解方程：
10．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
11．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
12．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
13．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）专题31 十字相乘法因式分解
【例题讲解】(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．故答案为：．
（2）①把二次项系数2写成，，满足，所以．故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．故答案为：．
（3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，所以．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，故m的值为43或-78．
【综合解答】
1．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．
这样，我们就可以得到：．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)__________；
(2)__________；
(3)__________；
(4)__________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）仿照题意求解即可；
（2）仿照题意求解即可；
（3）仿照题意求解即可；
（4）仿照题意求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知
（2）解：根据题意可知
（3）解：根据题意可知
（4）解：根据题意可知
【点睛】本题主要考查分解因式，正确理解题意是解题的关键．
2．根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】(1) (x+2)(x+5)；(2) (x+9)(x-2)；(3) (2x-1)(x-2)；(4) (2y+1)(3y-2)；(5)(x-2y+1)(x-y-3).
【分析】(1)观察可知10=2×5，7=2+5，由此进行因式分解即可；
(2)观察可知—18=-2×9，7=-2+9，由此进行因式分解即可；
(3)观察可知二次项系数2=1×2，常数项2=(-1)×(-2)，一次项系数-5=1×(-1)+2×(-2)，据此进行因式分解即可；
(4)观察可知二次项系数6=2×3，常数项-2=1×(-2)，一次项系数-1=2×(-2)+3×1，据此进行因式分解即可；
(5)原式前三项利用材料中的方法进行分解，然后变形为(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3，据此利用提公因式法继续进行分解即可得.
【详解】(1)原式=(x+2)(x+5)；
(2)原式=(x+9)(x-2)；
(3)原式=(2x-1)(x-2)；
(4)原式=(2y+1)(3y-2)；
(5)原式=(x-2y)(x-y)+x-y-3x+6y-3
=(x-2y)(x-y)+(x-y)-(3x-6y+3)
=(x-y)(x-2y+1)-3(x-2y+1)
=(x-2y+1)(x-y-3).
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，其中第(5)小题有一定的难度，读懂材料中的解题方法是解题的关键.
3．运用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；
（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；
（3）同（2）；
（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
4．用十字相乘法分解下列因式．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；
（2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；
（3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；
（4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；
（5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；
（6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可．
【详解】解：（1）
=
（2）
=
（3）
=
（4）
=
（5）
=
（6）
=
【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体.
5．分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可；
（3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可；
（4）利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握利用十字相乘法分解因式．
6．分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用十字相乘法即可得出答案；
（2）利用十字相乘法即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
7．在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
【答案】(1)(x-y)(x+6y)
(2)(x-3a)(x-a-2)
(3)(x+a-3b)(x-a-2b)
(4)(20182x2+1)(x-1)
【分析】（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；
（2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可；
（3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可；
（4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；
(1)
解：原式=
=(x-y)(x+6y)；
(2)
解：原式=
=(x-3a)(x-a-2)；
(3)
解：原式=
=
=
=(x+a-3b)(x-a-2b)；
(4)
解：原式=
=
=
=(20182x+1)(x-1) ．
【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键．
8．将下列各式分解因式：
（1）； （2）； （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字相乘法分解因式即可；
（3）直接利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：（1）因为即，
所以：原式＝；
（2）因为即，
所以：原式＝；
（3），
因为即，
所以：原式＝．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
9．由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：．
（1）分解因式：
（2）请用上述方法解方程：
【答案】（1）2，4（或4，2）；（2），
【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案；
（2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解．
【详解】（1）
故答案为：2，4（或4，2）；
（2）∵，
或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键．
10．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：（1）
=；
（2）
=；
（3）
=；
（4）
=；
（5）
=；
（6）
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
11．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：（1）
=；
（2）
=；
（3）
=；
（4）
=；
（5）
=
=；
（6）
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
12．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】利用十字相乘法分解．
【详解】解：（1）
=；
（2）
=；
（3）
=；
（4）
=；
（5）
=；
（6）
=
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
13．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）利用十字相乘法分解；
（9）（10）（11）（12）利用分组分解法分解．
【详解】解：（1）
=；
（2）
=；
（3）
=；
（4）
=；
（5）
=；
（6）
=；
（7）
=
=；
（8）
=
=；
（9）
=
=；
（10）
=
=；
（11）
=
=
=
（12）
=
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．