人教版初中数学七年级下册第六单元《实数》单元测试卷（困难）（含答案解析）

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人教版初中数学七年级下册第六单元《实数》单元测试卷（困难）（含答案解析）考试范围：第六单元；考试时间：120分钟；总分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  一个自然数的算术平方根为，则与它相邻的下一个自然数的平方根是 (    )A.  B.  C.  D. 2.  下列说法中，其中不正确的有(    )
任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；
的算术平方根是；算术平方根不可能是负数．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个3.  下列说法正确的是(    )A. 的平方根是
B. 任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C. 任何一个非负数的平方根都不大于这个数
D. 是的平方根4.  爸爸为颖颖买了一个密码箱，并告诉其密码密码为自然数是、、、、、六个数中的三个数的算术平方根，则这个密码箱的密码可能是(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列说法正确的个数为(    )
平方根与它本身相等的数是和；
倒数等于它本身的数只有；
绝对值是它本身的数是非负数；
一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；
一对相反数的平方根也互为相反数A. 个 B. 个 C. 个 D. 个6.  某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，则第次输出的结果的算术平方根的立方根是(    )
A.  B.  C.  D. 7.  已知，则约等于(    )A.  B.  C.  D. 8.  下列判断正确的是(    )A. 的立方根是； B. 是的立方根；
C. 没有立方根； D. 是的立方根．9.  下列说法正确的有(    )同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；若则；任何一个数都有平方根和立方根 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个10.  正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是(    )
 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点11.  在，，，．，，每两个之间，逐次多一个中，无理数的个数是(    )A.  B.  C.  D. 12.  下列说法正确的有
带根号的数都是无理数；
立方根等于本身的数是和；
一定没有平方根；
实数与数轴上的点是一一对应的；
两个无理数的差还是无理数．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  定义新运算“”：，则______14.  是个位数字不为零的两位数，将的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数，若恰是某正整数的立方，则这样的数共          个．15.  观察被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：             填至：________，________；根据你发现的规律填空：已知，则________，________；，记的整数部分为，则________． 16.  七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”小林将图的一副七巧板拼成图的“衣服”阴影部分，并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为，则这件“衣服”的周长为___取
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知，．
已知的算术平方根为，求的值；
如果，都是同一个数的平方根，求这个数．18.  本小题分喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”例：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是．请证明，，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．已知，，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值． 19.  本小题分
已知，互为相反数，，互为倒数，是的平方根，求的值．20.  本小题分阅读材料：如果为正整数，那么叫做的次方根．例如：因为，，所以和都是的次方根，即的次方根是和，记作：根据上述材料回答问题：的次方根是__________，的次方根是__________求的次方根为正整数．21.  本小题分
如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为平方厘米．提示：
求正方形纸板的边长；
若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．
22.  本小题分已知满足，求的算术平方根．一个正数的两个平方根分别是与，一个数的立方根是，求的值。 23.  本小题分如图，一只蚂蚁从点出发沿着数轴向右爬行，已知点表示，点表示，设点所表示的数为点不与点、重合，蚂蚁在数轴上所在位置表示的数是，  如果，试问为多少时，蚂蚁到点，的距离和为？  如果点到，两点的距离相等，求的值？  如果，试问为多少时，蚂蚁到点，，的距离和最小？最小值是多少？ 24.  本小题分
，两点在数轴上的位置如图所示，其中为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为．

动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．
当时，的长为______，点表示的有理数为______；
当时，求的值；
如果动点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点和分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，且三点同时出发，那么经过几秒．25.  本小题分如图，数轴上有、、三个点，分别对应的数为、、，且、点到所对应的点的距离等于，在的右侧请在数轴上表示、点，   ，   请用含的代数式表示   若，求的值．若点在点的右侧，且，点以每秒个单位的速度沿数轴向右移动，当且点在点的左侧时，求点移动的时间．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了求一个数的算术平方根，平方根，比较简单根据算术平方根的定义得这个自然数为，则与这个自然数相邻的后续自然数，由此即可得到其平方根．
【解答】
解：一个自然数的算术平方根是，
这个自然数为，
与这个自然数相邻的后续自然数，
其平方根为．
故选A．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了算术平方根的理解，如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根；若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是，解答此题根据算术平方根的定义进行判断即可．
【解答】
解：负数没有算术平方根，故错误；
的算术平方根是，故错误；
当时，的算术平方根是，故错误；
算术平方根不可能是负数，故正确．
所以不正确的有，共个．
故选D．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查平方根的基础知识，也考查了学生的综合应用能力．
A、根据平方根的定义即可判定；
B、根据平方、平方根的定义即可判定；
C、可以利用反例，如：当时结合平方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义即可判定．
【解答】
解：：由于负数没有平方根，故A选项错误；
：任何数的平方为非负数，正确；但只有非负数才有平方根，且平方根有正负之分的平方根为故选项B错误；
：任何一个非负数的平方根都不大于这个数，不一定正确，如：当时，，故选项错误；
：的平方是，所以是的平方根，故选项正确．
故选D．  4.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了算术平方根，首先根据算术平方根的定义，求出各数的算术平方根，然后找出是自然数的数即可．
【解答】
解：的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是；的算术平方根是．
这个密码箱的密码可能是．
故选A．  5.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了有理数的乘方以及相反数，绝对值，正确把握相关定义是解题关键根据有理数的乘方法则，相反数、倒数的定义对四个选项进行逐一解答即可．
【解答】
解：平方根与它本身相等的数是和；错误，的平方根是，不是本身； 
倒数等于它本身的数只有；错误，还有；
绝对值是它本身的数是非负数；正确；
一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；错误，负数的平方是正数，立方是负数； 
一对相反数的平方根也互为相反数；错误，负数没有平方根．
故选A．  6.【答案】 【解析】解：由题意可得，
当时，
第一次输出的结果是，
第二次输出的结果是，
第三次输出的结果是，
第四次输出的结果是，
第五次输出的结果是，
第六次输出的结果是，
第七次输出的结果是，
第八次输出的结果是，
第九次输出的结果是，
第十次输出的结果是，
，
，
则第次输出的结果是，
其算术平方根为，的立方根为．
故选：．
根据题意和题目中的数值转换器可以写出前几次输出的结果，从而可以发现数字的变化规律，进而求得第次输出的结果，再利用算术平方根和立方根的定义可得．
本题考查数字的变化类，考查算术平方根和立方根的定义，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数字．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查立方根的性质，解题的关键是利用科学计数法将所求的数表示出来，本题属于中等题型，将用科学计数法表示，然后利用立方根的性质即可化简求出答案．
【解答】
解：，
，
故选：．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了立方根，正数的立方根是正数，的立方根是，负数的立方根是负数．根据正数的立方根是正数，的立方根是，负数的立方根是负数，可得答案．【解答】解：．的立方根是，故错误；
B.是的立方根，故错误； 
C.的立方根是，故错误；D.是的立方根，故正确 故选D．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查的是三线八角中的同位角，平行公理，直线的交点及及平行线的性质，实数中的平方根和立方根的概念；主要是对概念和定义的考查，熟练掌握定义和概念是解题的关键．【解答】解：同位角不一定是两平行直线被截得到，
同位角相等错误，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；、若，，则，故正确．
、的立方根是；但没有平方根故故正确．
综上所述，说法正确的共个．故选A．  10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查实数与数轴以及正方形的性质有关知识，由题意可知转一周后，、、、分别对应的点为、、、，可知其四次一循环，由次可确定出所对应的点．
【解答】
解：当正方形在转动第一周的过程中，所对应的点是，所对应的点是，所对应的点是，所对应的点是，
四次一循环，
，
所对应的点是．
故选A．  11.【答案】 【解析】解：，，每两个之间，逐次多一个是无理数，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 12.【答案】 【解析】解：是有理数，故不符合题意；
立方根等于本身的数是和、，故不符合题意；
当时，有平方根，故不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，故符合题意；
两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故不符合题意；
故选：．
根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案．
本题考查了无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义是解题关键．
 13.【答案】 【解析】解：；
．
故答案为：．
先根据新定义求出，再计算即可．
本题考查了实数的运算，读懂新定义的运算是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了立方根的定义和性质，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题．设两位数，则，并且、正整数，且，，那么得到，进一步得到，所以，而且是的倍数，所以，然后由此得到，接着就可以解决题目问题．【解答】
解：设两位数，则，由、为正整数，且，，
，
又是某正整数，显然，
，而且是的倍数，
所以，即，
满足条件的两位数有、、、、、共个．
故答案为．  15.【答案】；；
；；
． 【解析】【分析】
本题主要考查了利用算术平方根的定义进行规律判断，通过中计算找出小数点的移动规律是解题的关键；
根据算术平方根的定义即可求解；
由表格可发现被开方数的小数点向右或向左每移动两位时，的小数点向右或向左移动位，根据这个规律可求解；
根据上面的规律可得，由为整数部分可得的值，再计算的即可．
【解答】
解：，
，
，
，
故答案为；；
由表格可知，被开方数的小数点向右或向左每移动两位时，的小数点向右或向左移动位，可得，，
故答案为：；；
，相当于的小数点向右移动了四位，
，
，
，
故答案为．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了图形的剪拼和实数的运算．
本题根据七巧板的特点求出图形的直角边的边长，然后根据三角形面积求出图正方形的边长，从而得出答案．【解答】解：由于小正方形边长为，
则图形的两条直角边为，
设图大正方形边长为，
则根据和的面积得：
，
解得：，
图形较长的边长为，
则：“衣服”的周长为：．
故答案为：．
   17.【答案】解：的算术平方根是，
，
解得．
故的值是；
，都是同一个数的平方根，
，或
解得，或，
，
．
答：这个数是或． 【解析】根据平方运算，可得，根据解一元一次方程，可得答案；
根据同一个数的平方根相等或互为相反数，可得的值，根据平方运算，可得答案．
本题考查了算术平方根，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
 18.【答案】解：，，，
，，这三个数是“和谐组合”，
最小算术平方根是，最大算术平方根是．
分三种情况讨论：
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得，
综上所述，的值为． 【解析】本题主要考查了新定义问题及算术平方根，一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．解题中注意使用分类讨论的思想．
对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；
分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．
 19.【答案】解：根据题意得：，，，当，，时，原式，当，，时，原式． 【解析】此题考查了代数式求值，利用相反数，倒数，以及平方根的意义求出，，以及的值是解本题的关键．根据、互为相反数，、互为倒数，得出，，然后再根据是的平方根，得出，然后代入到问题中计算求解即可．
 20.【答案】解：；当为奇数时，的次方根为，当为偶数时，的次方根为． 【解析】【分析】【分析】
此题考查了利用方根的定义求一个数的方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质，用类比的方法去进行解答．
【解答】
解：因为，所以的四次方根是，
即；
因为，所以的五次方根是，即；
故答案为，；
见答案．  21.【答案】解：依题意得：，即：正方形纸板的边长为厘米；

依题意得：，
则剪切纸板的面积，
剩余纸板的面积
即剩余的正方形纸板的面积为平方厘米． 【解析】根据正方形的面积公式进行解答；
由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．
本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．
 22.【答案】解：，
，，
，，
，
，
，
 的算术平方根为；
由题可知，，，
，，
，，，
，
 【解析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数以及算术平方根的定义，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答．
本题主要考查了平方根和立方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根，根据正数的两个平方根互为相反数列式求出的值和立方根的定义列式计算，进而求出的值和的值，然后再代入进行计算即可得解．
 23.【答案】解：根据题意，点在点右侧
．

时，蚂蚁到点，的距离和为；
根据题意，点在点右侧，

；
当点在点时，即时，到，，的距离和最小；
．
时，到，，的距离和最小，最小值为． 【解析】本题考查数轴和实数的计算，应用解方程的方法是解题的关键．
根据两点之间的距离的求法，列出方程可求出答案；
根据两点之间的距离的求法，列出方程可求出答案；
根据两点之间，线段最短，判断当点在点时，即时，到，，的距离和最小，求出最小值．
 24.【答案】解：，；
当点在左侧时，
，，
，
．
当点在点右侧时，，
．
设一点时间为秒；
当在、之间时，，．
，
，
解得．
当点在点右侧时，，，
，
，
解得，
故经过秒或秒时，． 【解析】【分析】
本题考查数轴、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，运用了分类讨论思想．
根据路程速度时间，以及线段的和差定义计算即可．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，
当时，，
，
，
点表示的有理数为．
故答案为，．
分两种情形分别求解即可；
分两种情形分别构建方程即可解决问题．  25.【答案】解：；，
将其表示在数轴上，如图所示．

；
，
，
解得：或
根据题意得：对应的点为，
设点运动的时间是秒，由，得到，
解得：．
点移动的时间为秒． 【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．
在数轴上表示出与，确定出与的值即可；
用表示出即可；
根据，求出即可；
设点运动的时间是，由求出的值，即可确定出所求．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：，；
故答案为：；；
根据题意得：；
故答案为：；
见答案；
见答案