初中数学中考复习 专题09 全等三角形和相似三角形（讲+练）-2022年中考数学二轮复习核心专题复习攻略（原卷版）

专题09  全等三角形和相似三角形复习考点攻略

考点一   全等三角形的性质和判定

1．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．

2．三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

3. 判定两个三角形全等的思路：

（1）已知两边

（2）已知一边、一角

（3）已知两角

【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB．连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．

（1）求证：△BCD≌△FCE；

（2）若EF∥CD．求∠BDC的度数．

【例2】如图，已知，．求证：．

考点二　比例线段及其性质

1．比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．

4. 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB

5. 平行线分线段成比例定理   

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

A．        B．   

C．        D．

【例4】生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中为2米，则约为（   ）

A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米

考点三   相似三角形的性质和判定

1．相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

2．相似三角形的判定

（1）有两角对应相等的两个三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（3）三边对应成比例的两个三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

【方法】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

3. 相似三角形模型

模型一：“A、8”模型

已知：，结论

模型二：共边共角型

已知：，结论：

模型三：一线三角型

模型四：旋转型

模型五：垂直型

如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高

结论：∽△BCD

4. 相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

5．相似多边形性质;

（1）相似多边形的对应边成比例；

（2）相似多边形的对应角相等；

（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

【例5】如图，已知∠CAE=∠BAD，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（    ）

A．∠C=∠AED B．∠B=∠D 

C．= D．=

【例6】如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为

A．2a         B．a

C．3a         D．a

考点四   位似图形的性质

1. 位似图形: 如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．

2．位似图形的性质

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．

3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．

【例7】在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ）

A．四边形  B．四边形  C．四边形  D．四边形

【例8】如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）                    

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）

第一部分 选择题

一、选择题（本题有10小题，每题4分，共40分）

1. 在下列图形中，不是位似图形的是（    ）

A．  B． 

C．  D．

A．0 B．1 

C．2 D．3

3. 如图，已知∠ADB=∠CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（    ）

A．∠A=∠C    B．AD=BC   C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD

4. 已知线段a、b，如果a：b=5：2，那么下列各式中一定正确的是（    ）

A．a+b=7 B．5a=2b 

C．= D．=1

5. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）

A． B． C． D．

6. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

7. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

8. 如图，△ABC中，DF∥BE，AD、BE相交于点G，下列结论错误的是

A．       B．

C．       D．

9.如图，在和中，，

连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（    ）

A．4     B．3    C．2    D．1

10.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）

A． B． C． D．

第二部分   填空题

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11.若，则________．

12.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2=__________．

13. 已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.

14.如图，在中，点E是的中点，，的延长线交于点F．若的面积为1，则四边形的面积为________．

15.如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，则的长为________．

16.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为_______．

第三部分 解答题

三、解答题（本题有7小题，共56分）

17.如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

18.如图，，，．，与交于点．（1）求证：；（2）求的度数．

19. 如图，在ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，

（1）求的值，（2）求BC的长

20. 如图，，，于D，于E，且．

求证：．

21.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE=60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．

（1）求证：∠FAE=∠ABE；

（2）求证：AH=BE；

（3）若AE=3，BH=5，求线段FG的长．

22..如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

23. 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点，连接AD并延长至点F，使DE=AD，连接BC、BF．

（1）求证：；

（2）当时，求的值