初中数学中考复习 专题10 圆的综合运用（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题10 圆的综合运用（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

专题10 圆的综合运用
一 选择题
1. （南通市崇川区启秀中学一模）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为(    )
A. 83cm B. 163cm C. 3cm D. 43cm
【解析】 ：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr=120π⋅8180，
r=83cm．
故选：A．
2.(无锡市四校联考一模)如图，AB是⊙O的直径，DB、DE别切⊙O于点B、C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是(    )
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
【解析】：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD=DC，∵∠ACE=25°，
∴∠ABC=25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DBC=∠DCB=90°-25°=65°，
∴∠D=50°．
故选：A．
3.(绍兴市一模)如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连结AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连结AD．若∠ABC＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．27° B．32° C．36° D．54°
【解析】：∵AB为⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAB＝90°，
∵∠ABC＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠ABC＝54°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADC，
∵∠AOB＝∠ADC+∠OAD＝2∠ADC＝54°，
∴∠ADC＝27°，
故选：A．
4.（唐山市遵化市一模）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为(    )
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1.5cm
【解析】：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，
∴△ABC的高为23cm，
∴OC=3cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=32cm，
即CE=2FC=3cm．
故选：B．
5.（广东省北江实验学校一模）如图， AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
已知cos∠CDB＝ 45 ，BD＝5，则OH的长度为(   )

A.23      B.56     C.1        D.76
【解析】如解图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，点H是弦CD的中点，  
∴由垂径定理可知AB⊥CD，
在Rt△BDH中，
∵cos∠CDB＝ 45 ，BD＝5，
∴DH＝4，∴BH＝ BD2-DH2 ＝ 52-42 ＝3，
设OH＝x，则OD＝OB＝x＋3，
在Rt△ODH中，OD2＝OH2＋DH2 ，
∴(x＋3)2＝x2＋42 ，
解得x＝ 76 ，即OH＝ 76 .
故答案为：D.
6.(上海市杨浦区一模)如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（　　）

A． B． C． D．
【解析】：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵⊙O的半径是13，
∴AB＝2×13＝26，
由勾股定理得：AD＝10，
∴sin∠B＝＝＝，
∵∠ACD＝∠B，
∴sin∠ACD＝sin∠B＝，
故选：D．
7. （合肥168中一模）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为23π，则图中阴影部分的面积为(    )
A. π9 B. 3π9 C. 332-3π2 D. 332-2π3
【解析】：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE//AD，
∵弧BE的长为23π，
∴60π×R180=23π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=23，
∴BC=12AB=3，
∴AC=AB2-BC2=3，
∴S△ABC=12×BC×AC=12×3×3=332，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=332-60π×22360=332-2π3．
故选：D．

8.(无锡市四校联考一模)已知直线y=-x+7a+1与直线y=2x-2a+4同时经过点P，点Q是以M(0,-1)为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为(    )
A. 103 B. 163 C. 85 D. 185
【解析】：解方程组y=-x+7a+1y=2x-2a+4得x=3a-1y=4a+2，
∴P点坐标为(3a-1,4a+2)，
设x=3a-1，y=4a+2，
∴y=43x+103，
即点P为直线y=43x+103上一动点，
设直线y=43x+103与坐标的交点为A、B，如图，则A(-52,0)，B(0,103)，
∴AB=(52)2+(103)2=256，
过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，
∵∠MBP=∠ABO，
∴Rt△MBP∽Rt△ABO，
∴MP：OA=BM：AB，即MP：52=133：256，
∴MP=135，
∴PQ=135-1=85，
即线段PQ的最小值为85．
故选：C．
二 填空题
9.(无锡市四校联考一模)圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．
【解析】解：由题意知：弧长=圆锥底面周长=2×14π=28πcm，
扇形的圆心角=弧长×180÷母线长÷π=28π×180÷21π=240°．
故答案为：240．
10.(绍兴市一模)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为　 　．

【解析】：如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵S△ABC＝•AC•BC＝•AB•CH，
∴CH＝，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，
∴r≥，
故答案为r≥．
11.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在中，，，，以点A为圆心，以AC为半径画弧，交AB于D，则扇形CAD的周长是_____________（结果保留）．

【解析】∵在中，，，，
∴AC=，
∴∠B=30°，∠A=60°，
∴的长==，
∴扇形CAD的周长=+2， 故答案为：+2．
12.（宿州市一模） （5分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为　 　．

【解析】：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF＝r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF＝60°÷2＝30°，
∵OA＝OF，
∴∠OFA＝∠OAF＝30°，
∴∠COF＝30°+30°＝60°，
∴FI＝r•sin60°＝r，
∴EF＝r×2＝r，
∵AO＝2OI，
∴OI＝r，CI＝r﹣r＝r，
∴，
∴GH＝BD＝r，
∴＝．
故答案为：．

13.（芜湖市一模）如图，以长为18的线段AB为直径的⊙O交△ABC的边BC于点D，点E在AC上，直线DE与⊙O相切于点D．已知∠CDE＝20°，则的长为　 　．

【解析】：连接OD，
∵直线DE与⊙O相切于点D，
∴∠EDO＝90°，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ODB＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD＝70°，
∴∠AOD＝140°，
∴的长＝＝7π，
故答案为：7π．

14.（合肥168中一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=______．
【解析】解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=12∠BDC=12×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷sin60°=6÷32=43，
在Rt△BCD中，DC=12BD=12×43=23．
故答案为：23．
15.（淮北市名校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，过点C的直线CD与⊙O相切于点D，连接BD，若CD=BD=63，则线段AC的长是______．

【解析】：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∴∠COD=∠ODB+∠B=2∠B，
∵CD=BD，
∴∠B=∠C，
∴∠COD=2∠C，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠C+∠COD=90°，
∴∠C=30°，
∴OD=OA=CDtan30°=63×33=6，
∴OC=CDcos30∘=6332=12，
∴AC=12-6=6．
故答案为：6．
16.(无锡市四校联考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为______ ．
【解析】：∵AB=2DA，AB=AE(扇形的半径)，
∴AE=2DA=2×2=4，
∴∠AED=30°，
∴∠DAE=90°-30°=60°，
DE=AE2-DA2=42-22=23，
∴阴影部分的面积=S扇形AEF-S△ADE，
=60⋅π⋅42360-12×2×23，
=83π-23．
故答案为：83π-23．
三 简答题
17.(绍兴市一模)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．

【解析】（1）：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
即∠DAB+∠CAF＝90°．
∴∠CAF＝∠ABD．
∵BA＝BC，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）：如图，连接AE，
∴∠AEB＝90°，
设CE＝x，
∵CE：EB＝1：4，
∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，
在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，
即（2）2＝x2+（3x）2，
∴x＝2．
∴CE＝2．
18.(沈阳市一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【解析】：（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．

19.（芜湖市一模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．


【解析】（I）连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵BC＝4，∴BO＝OD＝2，
∴BD＝＝2；
（II）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠BAD＝∠CBD，
∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．
又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE．

20.（唐山市遵化市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)若OC=1，∠A=45°，求劣弧DE的长．
【解析】(1)：连结OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠ACB，
∴∠B=∠ODC，
∴OD//AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)：∵∠A=45°，OD//AB，
∴∠AOD=180°-45°=135°，
∴DE的长为135×π180=34π.
21.（广东省北江实验学校一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF=BC.

（1）证明：AC=AF；
（2）若AD=2，AF= 3+1 ，求AE的长；
（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG.证明：DG为⊙O的切线.
（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ADF+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF．
在△ABC与△ADF中，
{AB=AD∠ABC=∠ADFBC=DF ，
∴△ABC≌△ADF．
∴AC=AF；
（2）解：由（1）得，AC=AF= 3+1 ．
∵AB=AD，
∴ AB=AD
∴∠ADE=∠ACD．
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
∴ ADAC=AEAD ．
∴ AE=AD2AC=223+1=4(3-1)2=23-2 ． 
（3）证明：∵EG∥CF，∴ AGAE=AFAC=1 ．
∴AG=AE．
由（2）得 ADAC=AEAD ，∴ ADAF=AGAD ．
∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD．
∴∠ADG=∠F．
∵AC=AF，∴∠ACD=∠F．
又∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ADG=∠ABD．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∴∠ABD+∠BDA=90°．∴∠ADG+∠BDA=90°．
∴GD⊥BD．
∴DG为⊙O的切线.
22.（宿州市一模）（12分）已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2＝MD•MN．


【解析】：（1）∵ME平分∠DMN，
∴∠OME＝∠DME，
∵OM＝OE，
∴∠OME＝∠OEM，
∴∠DME＝∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接EN，
∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径，
∴∠MDE＝∠MEN＝90°，
∵∠NME＝∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴＝，
∴ME2＝MD•MN
23.（淮北市名校联考一模）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点B作BD//OC交⊙O于点D，连接AD交OC于点E．
(1)求证：BD=AE；
(2)若⊙O的半径为2，求OE的长．

【解析】(1)：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD//OC，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAE=∠ACE，
在△ABD和△CAE中
∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE；
(2)：∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD=2OE，
∴AE=2OE，
在Rt△AOE中，∵OE2+AE2=AO2，
∴OE2+4OE2=22，
∴OE=255．
24.(无锡市四校联考一模)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A=30°，DC=2．
(1)求圆心O到弦DC的距离；
(2)若∠ACB+∠ADC=180°，求证：BC是⊙O的切线．
【解析】：(1)连接OD，OC，过O作OE⊥OC于E，
∵∠A=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，CD=2，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=OC=CD=2，
∵OE⊥DC，
∴DE=22，∠DEO=90°，∠DOE=30°，
∴OE=3DE=62，
∴圆心O到弦DC的距离为：62；
(2)①由(1)得，△ODC是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∵∠ACB+∠ADC=180°，∠CDB+∠ADC=180°，
∴∠ACB=∠CDB，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD=30°，
∴∠OCB=90°，
∴BC是⊙O的切线．
25.（南通市崇川区启秀中学一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r>1)，P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA-PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．
(1)当⊙O的半径为2时，
①在点M(32,0)，N(0,1)，T(-32,-12)中，⊙O的“完美点”是______；
②若⊙O的“完美点”P在直线y=3x上，求PO的长及点P的坐标；
(2)⊙C的圆心在直线y=3x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．

【解析】(1)①N，T；
(1)①∵点M(32,0)，
∴设⊙O与x轴的交点为A，B，
∵⊙O的半径为2，
∴取A(-2,0)，B(2,0)，
∴|MA-MB|=|(32+2)-(32-2)|=4≠2，
∴点M不是⊙O的“完美点”，
同理：点N，T是⊙O的“完美点”．
故答案为N，T；

②如图1，根据题意，|PA-PB|=2，
∴|OP+2-(2-OP)|=2，
∴OP=1．
若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，
∵点P在直线y=3x上，OP=1，
∴OQ=12，PQ=32．
∴P(12,32).
若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-12,-32).
综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(12,32)或(-12,-32).
(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA-PB|=2，
∴|CP+2-(2-CP)|=2．
∴CP=1．
∴对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2-(2-CP)|=2，
∴|PA-PB|=2，故此时点P为⊙C的“完美点”．
因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．
设直线y=3x+1与y轴交于点D，如图2，
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．
设切点为E，连接CE，
∵⊙C的圆心在直线y=3x+1上，
∴此直线和y轴，x轴的交点D(0,1)，F(-33,0)，
∴OF=33，OD=1，
∵CE//OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴ODDE=OFCE，
∴1DE=332，
∴DE=23．
∴OE=23-1，
t的最小值为1-23．
当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．
同理可得t的最大值为1+23．
综上所述，t的取值范围为1-23≤t≤1+23．
26.(无锡市四校联考一模)如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8.动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．
(1)当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．
(2)在整个运动过程中，
①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．
②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．


【解析】：(1)如图1所示：连接ME．

∵AE=t，AD=8，
∴ED=AD-AE=8-t．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EMF=90°．
∴∠EMD=90°．
∴MD=ED⋅cos∠MDE=4(8-t)5．

(2)①a、如图2所示：连接MC．

当DM=CD=6时，4(8-t)5=6，解得t=12；
b、如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．

∵MC=MD，MN⊥CD，
∴DN=NC．
∵MN⊥CD，BC⊥CD，
∴BC//MN．
∴M为BD的中点．
∴MD=5，即4(8-t)5=5，解得t=74；
c、如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM．

∵CM=CD，CG⊥MD，
∴GD=12MD=2(8-t)5．
∵DGCD=CDBD=35，
∴DG=35CD=185．
∴2(8-t)5=185．
解得：t=-1(舍去)．
d、如图5所示：当CD=DM时，连接EM．

∵AE=t，AD=8，
∴DE=t-8．
∵EF为⊙O的直径，
∴EM⊥DM．
∴DM=ED⋅cos∠EDM=4(t-8)5．
∴4(t-8)5=6，解得：t=312．
综上所述，当t=12或t=74或t=312时，△DCM为等腰三角形．

②当t=0时，圆心O在AB边上．
如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH//CD交BD的延长线与点H．

∵HE//CD，OF=OE，
∴DF=DH．
∵DH═DEcos∠EDH=5(t-8)4，DF=10-t，
∴5(t-8)4=10-t．
解得：t=809．
∴DH=DF=10-809=109，
∵sin∠ADB=sin∠EDH，
∴ABBD=EHDH，∴610=EH109，∴EH=23，
∵O为EF的中点，D为FH的中点，
∴DO=12EH=13，
取AB的中点N，连接ON，过点O作OM⊥AB于点M，
∴四边形MADO为矩形，
∴MA=DO=13，MO=AD=8，
∴AN=12AB=3，∴MN=3-13=83，
∴NO=MN2+MO2=(83)2+82=8310．
∴在此范围内圆心运动的路径长为8310．
综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时，t的取值范围为0≤t≤809，在此范围内圆心运动的路径长为8310．
27.（天津市河北区一模）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．

【解析】：（I）如图①，

∵OA＝OC，∠OAC＝58°，
∴∠OCA＝58°
∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠P＝90°﹣64°＝26°；
（II）∵∠AOC＝64°，
∴∠Q＝∠AOC＝32°，
∵AQ＝CQ，
∴∠QAC＝∠QCA＝74°，
∵∠OCA＝58°，
∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，
∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，
∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．
28.(珠海市香洲区一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4．
①当OD＝3，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．

【解析】（1）：连接AF，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
又∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2） ：①连接CF，
（3） 则∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半径是4，OD＝3，
∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD•CD＝BD•DF，
∴AD•CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝（取正值）；
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
当∠ODC＝90°时，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD•CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12；
当∠COD＝90°时，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4，
延长AO交BC于点M，
则AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面积为12或8+8．