初中数学中考复习 专题12 二次函数（原卷版）

专题12 二次函数

1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质

（1）对称轴：

（2）顶点坐标：

（3）与y轴交点坐标（0，c）

（4）增减性：

当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；

当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式  y=ax2 +bx+c(a≠0).

已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.

（2）顶点式 

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 

已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c的符号

（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）

5．二次函数与一元二次方程的关系

 抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0

>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；

=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；

<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。

6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤

（1）配方为： ，确定顶点（h,k）

（2）对x轴， 左加右减；对y轴， 上加下减。

7.二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2  其对应的纵坐标相等，那么对称轴

【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　   　．

【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是　　（填序号）．

【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：

若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元

一、选择题

1.（2019广西河池）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是　　

A． B． C． D．

2.（2019哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（    ）

A．        B．

C．        D．

3.（2019湖北咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）

A．y＝x B．y C．y＝x2 D．y＝﹣x2

4.（2019年陕西省）已知抛物线，当时，，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（     ）．

A．         B．     C．  D．

5.（2019广西梧州）已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

6.（2019四川泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（　　）

A．a＜2 B．a＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2

7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2) 2+1，下列说法中错误的是（    ）

A．y的最小值为1

B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2

C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小

D．它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到

二、填空题

8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数的最大值是           ．

9. (2019黑龙江大庆)如图抛物线y＝(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).

10.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是               ．

11.（2019江苏镇江）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是　　．

12.（2019内蒙古赤峰）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是　   　．（填上所有正确结论的序号）

三、解答题

13.（2019北京市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

14.（2019辽宁本溪）工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

15．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．

（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？

（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？

16. （2019广西省贵港市）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于点，对称轴为直线，点是线段的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点的坐标并求直线的表达式；

（3）设动点，分别在抛物线和对称轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求，两点的坐标．