还剩35页未读，
继续阅读
初中数学中考复习 专题12二次函数图象性质与应用问题（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】
展开
这是一份初中数学中考复习 专题12二次函数图象性质与应用问题（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】，共38页。
1．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解析】A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，由于﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，于是根据二次函数的性质可判断y1，y2，y3的大小关系．
【解析】抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，
而抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．确定x1，x2，x3离对称轴的远近是解决本题的关键．
3．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣＝9，
解得k＝﹣，
把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，
∴c＝2，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
4．（2022•宁波）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＞C．m＜1D．＜m＜2
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解析】∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
y2＝（m﹣1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
5．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解析】由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
6．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解析】∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
7．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜bB．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜bD．若c＞0，则a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c＜0时，a、b、c的大小关系或当c＞0时，a、b、c的大小关系．
【解析】∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5
【分析】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
9．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣＝9，
解得k＝﹣，
把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，
∴c＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
10．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
【分析】根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
【解析】由题意作图如下：
由图知，a＞0，
故A选项说法正确，不符合题意，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴a+b+c＝0，c＝﹣3，
∴a+b＝3，
故B选项说法正确，不符合题意，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过（﹣1，0），
故C选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
故D选项说法正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣x2+xB．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解析】∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．
12．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【分析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．
【解析】A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
13．（2022•滨州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
③正确．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a；
④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式即可．
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确．
∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，
∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，
∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，
∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，
∴a（5a+1）＜0，
∴﹣＜a＜0，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
15．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a＜0，b＞0，c＞0，由对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【解析】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣2|＝，|﹣2|＝，
∴y1＜y2＝y3，故（4）不正确；
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
16．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x＝﹣＞1，
∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
18．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质进行分析判断．
【解析】假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
19．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得，b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＞0，解不等式可得结论；
③错误．当m＝1时，m（am+b）＝a+b；
④错误．应该是y2＜y3＜y1，；
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a+2a﹣1＞0，
∴a＞，故②正确，
当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，
∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，
∴y1＞y3，
∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，
∴y3＞Y2，
∴y2＜y3＜y1，故④错误，
∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，
当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2
C．方案3D．方案1或方案2
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解析】方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝×4×4＝8米2；
方案3：半圆的半径＝，
∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；
故选：C．
【点评】本题考查了计算同周长的几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
21．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x＝1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
【解析】∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
22．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2
【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，
∴当m＞0时，
0＜2m≤4，
解得0＜m≤2；
当m＜0时，
2m＞4，
此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解析】∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
二．填空题（共8小题）
24．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m＝，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②错误．3a+2c＝0；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝a，0＜a＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；
④正确，证明判别式＞0即可．
【解析】∵对称轴x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m＝时，对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝a，0＜a＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵0＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【解析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
26．（2022•武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s．
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解析】∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
且﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
27．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
【解析】当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
28．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解析】∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
29．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【解析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
联立可求出a＝﹣，b＝，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，
将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，
解得h＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
30．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
31．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解析】∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
32．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．
【解析】（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．
33．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【分析】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解析】（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
34．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；
（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．
【解析】（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）++（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
35．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；
（3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解析】（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
36．（2022•孝感）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解析】（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，
设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30x，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
37．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【解析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
38．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
（2）写出利润和x之间的关系可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
【解析】（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
【点评】主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
运动时间t/s
0
1
2
3
4
运动速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
运动距离y/cm
0
9.75
19
27.75
36
1．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【分析】根据抛物线a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下判断A选项；根据抛物线的对称轴为x＝h判断B选项；根据抛物线的顶点坐标为（h，k）判断C选项；根据抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小判断D选项．
【解析】A选项，∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x＝2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为（2，1），故该选项不符合题意；
D选项，当x＜2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a＞0，x＜h时，y随x的增大而减小，x＞h时，y随x的增大而增大；a＜0时，x＜h时，y随x的增大而增大，x＞h时，y随x的增大而减小是解题的关键．
2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，由于﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，于是根据二次函数的性质可判断y1，y2，y3的大小关系．
【解析】抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3，
而抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．确定x1，x2，x3离对称轴的远近是解决本题的关键．
3．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣＝9，
解得k＝﹣，
把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，
∴c＝2，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
4．（2022•宁波）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＞C．m＜1D．＜m＜2
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解析】∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
y2＝（m﹣1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
5．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解析】由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
6．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解析】∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
7．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜bB．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜bD．若c＞0，则a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断当c＜0时，a、b、c的大小关系或当c＞0时，a、b、c的大小关系．
【解析】∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，
∴若c＜0，则c＜a＜b，故选项A、B均不符合题意；
若c＞0，则a＜b＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5
【分析】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解析】∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
9．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【分析】由点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根据ab的最大值为9，得k＝﹣，即可求出c＝2．
【解析】∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，
∴，
由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，
∵ab的最大值为9，
∴k＜0，﹣＝9，
解得k＝﹣，
把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，
∴c＝2，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征及二次函数的最值，解题的关键是掌握配方法求函数的最值．
10．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a+b＝3
C．抛物线经过点（﹣1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根
【分析】根据题意做出抛物线y＝ax2+bx+c的示意图，根据图象的性质做出解答即可．
【解析】由题意作图如下：
由图知，a＞0，
故A选项说法正确，不符合题意，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），
∴a+b+c＝0，c＝﹣3，
∴a+b＝3，
故B选项说法正确，不符合题意，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴抛物线不经过（﹣1，0），
故C选项说法错误，符合题意，
由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，
故D选项说法正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣x2+xB．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1
【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．
【解析】∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．
12．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）
A．a＞0
B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0）
D．4a+2b+c＞0
【分析】由抛物线开口方向可判断A，根据抛物线对称轴可判断B，由抛物线的轴对称性可得点B的坐标，从而判断C，由（2，4a+2b+c）所在象限可判断D．
【解析】A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；
B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，
∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
13．（2022•滨州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∴﹣＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①错误．根据抛物线的位置一一判断即可；
②正确．利用抛物线的对称轴公式求解；
③正确．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a；
④正确．把问题转化为一元二次方程，利用判别式＜0，解不等式即可．
【解析】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确．
∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，
∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，
∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，
∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，
∴a（5a+1）＜0，
∴﹣＜a＜0，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，根的判别式，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型，
15．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a＜0，b＞0，c＞0，由对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【解析】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣2|＝，|﹣2|＝，
∴y1＜y2＝y3，故（4）不正确；
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
16．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x＝﹣＞1，
∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解析】∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．
18．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【分析】假设抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质进行分析判断．
【解析】假设抛物线的对称轴为直线x＝1，
则﹣＝1，
解得a＝﹣2，
∵函数的图象经过点（3，0），
∴3a+b+9＝0，
解得b＝﹣3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；
故命题②③④都是正确，①错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
19．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】①正确，判断出a，b，c的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得，b＝﹣2a，当x＝﹣1时，y＞0，解不等式可得结论；
③错误．当m＝1时，m（am+b）＝a+b；
④错误．应该是y2＜y3＜y1，；
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），
∴c＝﹣1，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a+2a﹣1＞0，
∴a＞，故②正确，
当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，
∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，
∴y1＞y3，
∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，
∴y3＞Y2，
∴y2＜y3＜y1，故④错误，
∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，
当有四个交点或3个时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2
C．方案3D．方案1或方案2
【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．
【解析】方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，
则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；
方案2：当∠BAC＝90°时，菜园最大面积＝×4×4＝8米2；
方案3：半圆的半径＝，
∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；
故选：C．
【点评】本题考查了计算同周长的几何图形的面积的问题，根据题意计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
21．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x＝1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
【解析】∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
22．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2
【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到m的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，
∴当m＞0时，
0＜2m≤4，
解得0＜m≤2；
当m＜0时，
2m＞4，
此时m无解；
由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解析】∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：y＝x2+3．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质，熟练记忆平移规律是解题关键．
二．填空题（共8小题）
24．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m＝，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②错误．3a+2c＝0；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝a，0＜a＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；
④正确，证明判别式＞0即可．
【解析】∵对称轴x＝＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m＝时，对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝a，0＜a＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵0＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
25．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
【解析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
26．（2022•武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝ 2 s．
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【解析】∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
且﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
27．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
【解析】当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
【点评】此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
28．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
【分析】根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
【解析】∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
29．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 8 m时，水柱落点距O点4m．
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【解析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0①；
喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，
联立可求出a＝﹣，b＝，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，
将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，
解得h＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
30．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
【解析】∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
31．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解析】∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
32．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．
【解析】（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此时，PA﹣PB＝AB＝＝3．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．
33．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：
（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；
（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
【分析】（1）设水池的长为am，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，得出面积关于x的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解析】（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），
设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的长为8m、DG的长为4m；
（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，
∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）+，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，总种植面积有最大值为m2，
即BC应设计为m总种植面积最大，此时最大面积为m2．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键．
34．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）
（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）
（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）
（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，设y2＝ax2+bx+c，用待定系数法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的总供应量为（1350+36m）个，前10天的供应量为（1500+45m）个，根据前9天的总需求量为2136个，前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），可得，而m为正整数，即可解得m的值为20或21；
（3）m最小值为20，从而第4天的销售量即供应量为y1＝210，销售额为21000元，第12天的销售量即需求量为y2＝209，销售额为20900元．
【解析】（1）根据题意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
设y2＝ax2+bx+c，将（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的总供应量为150+（150+m）+（150+2m）++（150+8m）＝（1350+36m）个，
前10天的供应量为1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）个，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的总需求量为2136个，
∴前10天的总需求量为2136+229＝2365（个），
∵前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m为正整数，
∴m的值为20或21；
（3）由（2）知，m最小值为20，
∴第4天的销售量即供应量为y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的销售额为210×100＝21000（元），
而第12天的销售量即需求量为y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的销售额为209×100＝20900（元），
答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组解决问题．
35．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；
（3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解析】（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
36．（2022•孝感）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．
①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．
【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案；
（2）先求出x的范围；
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解析】（1）当0＜x≤40时，y＝30；
当40＜x≤100时，
设函数关系式为y＝kx+b，
∵线段过点（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；
（2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①当30≤x≤40时，
由（1）知，y＝30x，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2．
∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
当x＝30时，wmin＝5850；
当40＜x≤90时，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝yx+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴当x＝90时，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当30≤x≤40时，
由①知，w＝15x+5400，
∵种植总费用不超过6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即满足条件的x的范围为30≤x≤40，
当40＜x≤90时，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵种植总费用不超过6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键．
37．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【分析】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；
（3）根据对称轴为x＝﹣3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．
【解析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得b＝﹣6，c＝﹣3．
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
又∵﹣4≤x≤0，
∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．
（3）①当﹣3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为﹣3，
当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，
∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，
∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．
②当m≤﹣3时，
当x＝﹣3时y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为﹣4，
∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，
∴m＝或m＝（舍去）．
综上所述，m＝﹣2或．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．
38．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
（2）写出利润和x之间的关系可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
【解析】（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
【点评】主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供应量y1（个）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（个）
220
229
…
245
…
220
…
164
运动时间t/s
0
1
2
3
4
运动速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
运动距离y/cm
0
9.75
19
27.75
36
相关试卷
专题20图形的旋转（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）： 这是一份专题20图形的旋转（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用），文件包含专题20图形的旋转共38题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练全国通用原卷版docx、专题20图形的旋转共38题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共91页， 欢迎下载使用。
初中数学中考复习 专题28概率（共60题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】： 这是一份初中数学中考复习 专题28概率（共60题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】，共42页。
初中数学中考复习 专题23圆的有关性质（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【原卷版】： 这是一份初中数学中考复习 专题23圆的有关性质（共38题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【原卷版】，共32页。
