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初中数学中考复习 专题13二次函数综合问题（共40题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】
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这是一份初中数学中考复习 专题13二次函数综合问题（共40题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）【解析版】，共106页。试卷主要包含了已知抛物线y＝x2+bx+c，在抛物线上等内容，欢迎下载使用。
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题13二次函数综合问题
一．解答题（共40小题）
1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；
（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠ODE＝，
作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，
∴△ODE≌△ODG（AAS），
∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，
∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，
∴∠DGF＝∠GOH，
∴△GDF∽△OGH，
∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，
设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，
∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OH＝EF，
∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，
∴GH＝，OH＝2+t＝，
∴G（，﹣）．
∴直线DG的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，解得x＝5，
∴P（5，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．
【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴n＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；
（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；
（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．
【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，
设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．
5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；
（3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．
【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴＝，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
当CD＝2时，的最小值为＝；
（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝（）2＝8，
∴＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
∴BD＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，
由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCD＝∠BAH，
tan∠BCD＝tan∠GAA'，
∴＝＝，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，
∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2＝，
∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴＝，即＝，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．
【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
【分析】（1）（Ⅰ）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c．从而得出结果；
（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；
（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．
【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．
7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．
【解析】在直线y＝2x+2中，
当x＝2时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．
8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标．
【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．
∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．
∴点E（，0），点F（0，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．
11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°；
（2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tan∠ACE＝＝＝＝m+1，构建方程，求出m即可；
（3）证明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得结论．
【解析】（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
∴0＜m＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y1＞y2，构建不等式求解即可．
【解析】（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC＝S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
【解析】（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣3），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），
∴a•1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），
如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，
∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），
∴CD＝1，
∴S△BCD＝OC，
∴PE•OC＝•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，
当x＝1﹣时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，
∴P（1﹣，﹣），
如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a﹣2）
∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝OB＝CD•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），
当a＝1+时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，
∴P（1+，），
综上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）如图3，
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴＝＝﹣+，
∴当t＝1时，（）最大＝．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；
（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；
（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，2），
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；
（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
﹣x+b＝﹣x2+x+2，
x2﹣2x+b﹣2＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，
∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴P（，0）；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y＝x+2，
∴x+2＝x2﹣x﹣2，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），
∴P（1+，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．
15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解析】（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解析】（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【解析】（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），
∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；
（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
设N（m，﹣m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），
∴N（2，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
【点评】本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．
18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解析】（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．
19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c即可；
（2）①求出直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，因为A，C关于直线x＝1对称，推出C（4，0），设N（m，0），则M（m，﹣2m﹣4），NC＝4﹣m，根据MN＝3NC，构建方程求解；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），利用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）①如图1中，
设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝，
∴点M（，﹣）；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），
∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，
∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t1＝，t2＝﹣2，
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为（，﹣5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．
【分析】（1）把x＝1，y＝1代入y＝x2+3x+c，从而求得结果；
（2）①根据题意，表示出AE和AB，根据tan∠ABE＝＝，得出＝，从而求得结果；
（3）根据OP∥MN，从而得出，从而求得b的值，进而得出a，c的关系式，将其代入T＝c，进一步求得结果．
【解析】（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，
把x＝1，y＝1代入得，
1＝1+3+c，
∴c＝﹣3；
（2）①由ax2+bx+c＝0得，
x1＝，x2＝，
∴AB＝x2﹣x1＝，
∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），
∴AE＝，OM＝，
∵∠BAE＝90°，
∴tan∠ABE＝＝，
∴＝，
∴b2﹣4ac＝9；
②∵b2﹣4ac＝9，
∴x2＝，
∵OP∥MN，
∴，
∴：＝2，
∴b＝2，
∴22﹣4ac＝9，
∴c＝﹣，
∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，
∴当＝2时，T最小＝﹣4，
即a＝时，T最小＝﹣4．
【点评】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．
21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解析】（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数解析式求出OA的长度，根据三角函数求出DE的长度，根据P点的坐标得出PE的长度，根据DP＝DE+PE得出结论即可；
（3）①连接DG交AB于点M，设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，得出G（﹣a，（a﹣3）），根据G点在抛物线上得出a的值，即可得出G点的坐标；
②方法一：在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，构造△AEQ≌△CDB，得出当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，求出CQ的值即可．
方法二：过点C作CF∥x轴，使得CF＝AC．证△FCD全等于△CAE，则FD＝CE所以F、D、B三点共线时CE+BD＝FD+BD取到最小值，求出此时BF的长即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE•tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如下图，连接DG交AB于点M，
∵△BCD与BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，
MG＝MD＝AM•tan∠CAO＝（3﹣a），
∴G（﹣a，（a﹣3）），
∵点G（﹣a，（a﹣3））在抛物线y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣a+3）（﹣a﹣4）＝（a﹣3），
解得a＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）；
②如下图，在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，
∵AE＝CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS），
∴EQ＝BD，
∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，
过点C作CH⊥AQ，垂足为H，
∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，
∴∠CBA＝45°，BC＝4，
∵∠CAH＝180°﹣∠CAB﹣∠EAQ＝180°﹣∠CAB﹣∠DCB＝∠CBA＝45°，
AC＝＝＝5，AH＝CH＝AC＝，
HQ＝AH+AQ＝AH+BC＝＝，
∴CQ＝＝＝，
即BD+CE的最小值为；
方法二：过点C作CF∥x轴，使得CF＝AC，作BG⊥FC延长线于点G，
∴∠FCA＝∠CAE，
又∵CD＝AE，CF＝AC，
∴△FCD≌△CAE（SAS），
∴FD＝CE，
∴F、D、B三点共线时CE+BD＝FD+BD取到最小值，
∵AC＝5，C（0，4），B（4，0），
∴BF的长＝＝．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．
24．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
【分析】（1）直接将（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中可得结论；
（2）先配方成顶点式，写出顶点坐标，因为使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，所以在x轴上方有一个点，其纵坐标为，下方有两个点，每一个点的纵坐标为﹣，可得T的值；
（3）由题意可知：x＝k是x2+x﹣2＝0的解，则k2+k﹣2＝0，得k2＝2﹣k，直接代入降次可得结论．
【解析】（1）把点（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中得：c＝2；
（2）由（1）知：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
∴顶点的坐标为（﹣，），
∵使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，
∴其中一个点M就是抛物线的顶点，
∴T＝﹣×2+＝﹣；
（3）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
∵k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，即x＝k是x2+x﹣2＝0的解，
∴k2+k﹣2＝0，
∴k2＝2﹣k，
∴k4＝（2﹣k）2＝4﹣4k+3k2＝4﹣4k+3（2﹣k）＝10﹣7k，
∵k8+k6+2k4+4k2+16
＝（10﹣7k）2+（2﹣k）（10﹣7k）+2（10﹣7k）+4（2﹣k）+16
＝100﹣140k+147k2+20﹣24k+21k2+20﹣14k+8﹣4k+16
＝164﹣182k+168（2﹣k）
＝500﹣350k，
∴
＝
＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，配方法，抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，学会待定系数法求函数解析式，解题的关键是转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．
25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w＝x售价﹣x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【解析】（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，
，
②﹣①，得7a＝﹣1.4，
解得：a＝﹣，
把a＝﹣代入①，得c＝9，
∴a的值为﹣，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w＝x售价﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，
∵﹣＜0，且1≤t≤7，
∴当t＝4时，w有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给＝y需求时，x﹣1＝﹣x2+9，
解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），
∴此时售价为5元/千克，
则y供给＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），
令t+2＝5，解得t＝6，
∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣（6﹣4）2+3＝2，
∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式，掌握二次函数的性质，并结合数形结合思想解释是关键．
26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP∥x轴，可得P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD＝m，DB＝3﹣m，利用勾股定理即可求得m＝，得出D（，0），再运用待定系数法求得直线CD的解析式为y＝x+2，通过联立方程组求解即可得出P（，﹣）；
（3）设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，运用待定系数法求得：直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，进而求出M、N的坐标，即可得出答案．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y＝x2+x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+2，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，﹣）；
（3）由（2）知：抛物线y＝x2+x+2的对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，
当x＝1时，y＝﹣t+4，
∴M（1，﹣t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，
当x＝1时，y＝t+，
∴N（1，t+），
∴EM＝﹣t+4，EN＝t+，
∴EM+EN＝﹣t+4+t+＝，
故EM+EN的值为定值．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线性质及应用，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4即可解得抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，顶点为（﹣1，﹣4+m），关于原点的对称点为（1，4﹣m），代入y＝x2+2x﹣3可解得m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得抛物线L3为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，当t＞6时，s＞r，可得[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，即可解得n的取值范围是n＞3．
【解析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
答：抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线L1：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图象的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，有S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由二次函数性质得△AOB面积的最大值是．
【解析】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
∴＜0，
∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），
当x＝0时，B（0，c），
将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：
＝﹣2，
∴c＝，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，
∵﹣＜0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，﹣m2+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【解析】（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤P1横坐标≤．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；
（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标．
【解析】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（2，3）；
（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质，轴对称确定最短路线问题，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用轴对称求最短路线是解题的关键．
31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；
（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；
（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM＝3：4：5，则PM+，设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），用含m的代数式表示出PM+2MQ，利用二次函数的性质可得答案；
（3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移个单位，则平移后抛物线解析式为y'＝﹣，设D（4，t），C（c，﹣），分AP'与DC为对角线或P'D与AC为对角线或AD与P'C为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问题．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
∴，
∴．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，
∴AM＝，，
∴PM+，
∵B（0，3），A（4，0），
∴lAB：y＝﹣，
∴设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），
∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，
∵﹣，
∴开口向下，0＜m＜4，
∴当m＝1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；
（3）由y＝﹣知，对称轴x＝，
∴P'（2，），
∵直线l：x＝4，
∴抛物线向右平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣，
设D（4，t），C（c，﹣），
①AP'与DC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
②P'D与AC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，﹣），
③AD与P'C为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
综上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，根据平行四边形的顶点坐标，利用中点坐标公式列方程是解题的关键，同时注意分类讨论．
33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，分别求解即可．
【解析】（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1＝，x2＝，
当x＝时，y1＝2×（﹣2）2﹣1＝，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x1﹣x2＝3，
∴x1≤，
∴﹣1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1﹣2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1＞，
∴＜x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；
（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．
【解析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，矩形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角函数，解一元二次方程等知识，第三问有难度，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入可得直线AB解析式为y＝x﹣4，设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，可得C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），PC＝﹣m2+2m，则PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣）2+，利用二次函数性质可得PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝x2+4x+，对称轴是直线x＝﹣4，即可得F（0，），E（﹣，﹣），设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），分三种情况：①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，可得N（，）；②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，可得N（﹣，）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，可得N（﹣，）．
【解析】（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，联立解析式解方程组即得A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）分两种情况：当k＞0时，根据△B'AB的面积与△OAB的面积相等，知OB'∥AB，可证明△BOD≌△BCD（ASA），得OD＝OC＝，D（0，﹣），可求B（，﹣），即可得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，由△B'AB的面积与△OAB的面积相等，可得OE＝EF＝3，证明△BGF≌△BGE（ASA），可得OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），从而B（，﹣），即可得k＝﹣；
（3）设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），B'（﹣b，﹣b2），设直线AB'解析式为y＝mx+n，可得，即可得m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，从而直线AB'解析式为y＝•x+3，故直线AB'经过定点（0，3）．
【解析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，
由得：或，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）当k＞0时，如图：
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝OC＝，D（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝EF＝，
∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝﹣，
综上所述，k的值为或﹣；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：
由得：x2+kx﹣3＝0，
设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，
∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），
∵B、B'关于y轴对称，
∴B'（﹣b，﹣b2），
设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：
，
解得：，
∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，
∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，
∴直线AB'解析式为y＝•x+3，
令x＝0得y＝3，
∴直线AB'经过定点（0，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据已知求出B点的坐标．
37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．
【分析】（1）求出点M，点F的坐标，设直线MF的解析式为y＝kx+b，构建方程组求出k，b即可；
（2）说明抛物线与折线EMF有两个交点关于抛物线的对称轴对称，可得结论；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），由PT∥AM，推出＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质，可得结论．
【解析】（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；
（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝，
∴x1+x2＝4；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．
∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴有最大值，最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．
38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得b，c，进而得出抛物线的解析式；
（2）在BC的下方存在一个点P，在BC的上方时两个，其中过BC下方的点P的直线l与BC平行的直线与抛物线相切，根据直线l的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得b的值，进而得出在BC的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，根据△BHN∽△BFD得出DF＝2NH，根据△OMG∽△ONH得出MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，从而KF＝MG＝DF，根据tan∠DEB＝2tan∠DBE可表示出EF，根据△DEF∽△DMK可得出a的值，进一步求得结果．
【解析】（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+b，
由＝x+b得，
x2﹣4x﹣3（b+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（b+4）＝4，
∴b＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH＝，
∵MH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2•，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系．
39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解；
（2）由题意画出图象，结合图象可求解；
（3）结合题意分别求出a＝1，b＝﹣1﹣c，将点P，点Q坐标代入可求y1，y2的值，即可求解．
【解析】（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，
当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．
40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；
（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）
专题13二次函数综合问题
一．解答题（共40小题）
1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；
（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．
【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠ODE＝，
作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，
∴△ODE≌△ODG（AAS），
∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，
∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，
∴∠DGF＝∠GOH，
∴△GDF∽△OGH，
∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，
设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，
∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，
∴四边形OEFH是矩形，
∴OH＝EF，
∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，
∴GH＝，OH＝2+t＝，
∴G（，﹣）．
∴直线DG的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，解得x＝5，
∴P（5，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．
2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．
（1）直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；
（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；
（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．
【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵OP＝OA＝1，
∴P（0，1），
∴直线AC的解析式为y＝x+1．
①若点D在AC的下方时，
过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．
∵B（3，0），BD1∥AC，
∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，
由，解得或，
∴D1（0，﹣3），
∴D1的横坐标为0．
②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），
过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．
直线l的解析式为y＝x+5，
由，可得x2﹣3x﹣8＝0，
解得x＝或，
∴D2，D3的横坐标为，，
综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．
（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，
由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，
设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，
∴xA•xC＝xB•xE＝﹣3﹣b
∵xA＝﹣1，
∴xC＝3+b，
∴m＝3+b，
∵xB＝3，
∴xE＝﹣1﹣，
∴n＝﹣1﹣，
设直线CE的解析式为y＝px+q，
同法可得mn＝﹣3﹣q
∴q＝﹣mn﹣3，
∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，
∴OF＝b2+b，
∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；
（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；
（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）方法一：如图1，
连接OP，
设点P（m，﹣2m﹣6），
∴S△POC＝xP＝＝3m，
S△BOP＝|yP|＝+2m+6），
∵S△BOC＝＝18，
∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC
＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC
＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18
＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
方法二：如图2，
作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，
∵B（6，0），C（0，﹣6），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，
∴D（m，m﹣6），
∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，
∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，
∴当m＝3时，S△PBC最大＝；
（3）如图3，
当▱ACFE时，AE∥CF，
∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，
∴F1点的坐标：（4，﹣6），
如图4，
当▱ACEF时，
作FG⊥AE于G，
∴FG＝OC＝6，
当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），
综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．
4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；
（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；
（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．
【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，
设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．
5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
（1）求二次函数的表达式；
（2）①求证：△OCD∽△A′BD；
②求的最小值；
（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．
【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；
（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；
②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；
（3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．
【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；
（2）①证明：如图1，
由翻折得：∠OAC＝∠A'，
由对称得：OC＝AC，
∴∠AOC＝∠OAC，
∴∠COA＝∠A'，
∵∠A'DB＝∠ODC，
∴△OCD∽△A′BD；
②解：∵△OCD∽△A′BD，
∴＝，
∵AB＝A'B，
∴＝，
∴的最小值就是的最小值，
y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，
∴C（2，﹣2），
∴OC＝2，
∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，
当CD＝2时，的最小值为＝；
（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，
∴S△OCD：S△A'BD＝8，
∵△OCD∽△A′BD，
∴＝（）2＝8，
∴＝2，
∵OC＝2，
∴A'B＝AB＝1，
∴BD＝2﹣1＝1，
如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，
由翻折得：AA'⊥CH，
∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，
∴∠BCD＝∠BAH，
tan∠BCD＝tan∠GAA'，
∴＝＝，
设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，
在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，
∴a2+（2a﹣1）2＝12，
∴a1＝0（舍），a2＝，
∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，
∵A'G∥OQ，
∴△A'GB∽△QOB，
∴＝，即＝，
∴OQ＝4，
∴Q（0，4），
设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，
∴，
解得：，
∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，
∴﹣x+4＝x2﹣2x，
3x2﹣4x﹣24＝0，
解得：x＝，
∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．
【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．
6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
【分析】（1）（Ⅰ）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c．从而得出结果；
（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；
（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．
【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，
∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．
7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．
【解析】在直线y＝2x+2中，
当x＝2时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．
8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．
（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．
【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6cm；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，
故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），
则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴点D的纵坐标为h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值为．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．
（1）求点C的坐标；
（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．
【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，
∴0＝﹣52﹣4×5+c
∴c＝5，
∴点C的坐标为（0，5）；
（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：
∵A（﹣5，0），C（0，5）
∴OA＝OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AHF＝45°＝∠PHE，
∴△PHE是等腰直角三角形，
∴，
∴当PH最大时，PE最大，
设直线AC解析式为y＝kx+5，
将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝1，
∴直线AC解析式为y＝x+5，
设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），
∴，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，PH最大为，
∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；
（3）存在，理由如下：
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），
分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣3，8）；
②当AM为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（3，﹣16）；
③当AN为平行四边形对角线时，
，
解得，
∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；
综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标．
【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．
∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．
∴点E（，0），点F（0，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．
11．（2022•苏州）如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）令y＝0，解方程可得A，B两点坐标，令x＝0，可得点C的坐标，证明OC＝OB，可得∠OBC＝45°；
（2）由题意D（m，（m+1）2），F（m，0），根据tan∠ACE＝＝＝＝m+1，构建方程，求出m即可；
（3）证明∠CAO＜60°，推出2m+1＜，可得结论．
【解析】（1）当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y＝﹣x2+2mx+2m+1＝﹣（x﹣m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF＝（m+1）2，OF＝m，BF＝m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠OBC＝45°，
∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，
∵EF∥OC，
∴tan∠ACE＝＝＝＝m+1，
∴＝m+1，
∴m＝1或﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P在第四象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°，
∵∠ACQ＝75°，
∴∠CAO＜60°，
∴2m+1＜，
∴m＜，
∴0＜m＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12．（2022•嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y1＞y2，构建不等式求解即可．
【解析】（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13．（2022•乐山）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC＝2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C坐标，将二次函数设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；
（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情形．当点P在第三象限时，设点P（a，a2﹣a﹣2），可表示出△BCD的面积，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得出E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC＝S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；
（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．
【解析】（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵∠AOC＝90°，
∴tan∠OAC＝＝2，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，﹣3），
设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）•（x﹣2），
∴a•1×（﹣2）＝﹣2，
∴a＝1，
∴y＝（x+1）•（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P（a，a2﹣a﹣2），
如图1，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣2，
∴当y＝a2﹣a﹣2时，x＝y+2＝a2﹣a，
∴PE＝a2﹣a﹣a＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝PE•OC，
∵抛物线的对称轴为直线y＝，CD∥x轴，C（0，﹣2），
∴点D（1，﹣2），
∴CD＝1，
∴S△BCD＝OC，
∴PE•OC＝•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+（舍去），a2＝1﹣，
当x＝1﹣时，y＝a2﹣a﹣2＝a﹣1＝﹣，
∴P（1﹣，﹣），
如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，
∴F（a，a﹣2）
∴PF＝（a2﹣a﹣2）﹣（a﹣2）＝a2﹣2a，
∴S△PBC＝OB＝CD•OC，
∴a2﹣2a＝1，
∴a1＝1+，a2＝1﹣（舍去），
当a＝1+时，y＝a2﹣a﹣2＝a2﹣2a+a﹣2＝1+1+﹣2＝，
∴P（1+，），
综上所述：P（1+，）或（1﹣，﹣）；
（3）如图3，
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），
∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴＝＝﹣+，
∴当t＝1时，（）最大＝．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
14．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出图象W的解析式；
（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结论；
（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画图可得结论．
【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，2），
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；
（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
﹣x+b＝﹣x2+x+2，
x2﹣2x+b﹣2＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，
∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴P（，0）；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
∴CN的解析式为：y＝x+2，
∴x+2＝x2﹣x﹣2，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍），
∴P（1+，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（，0）或（1+，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．
15．（2022•宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？
【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量＝每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案．
【解析】（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，
∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，
答：y关于x的函数表达式为y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x为整数）；
（2）设每平方米小番茄产量为W千克，
根据题意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，
∵﹣0.5＜0，
∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5，
答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
16．（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
【解析】（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
【点评】本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
17．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：
（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【分析】（1）先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH＝2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；
（2）由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），表示矩形EFGH的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线相交，设交点为N，求出点N的坐标，并计算点N是圆M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【解析】（1）如图1，由题意得：A（﹣4，0），B（4，0），C（0，8），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+8，
把B（4，0）代入得：0＝16a+8，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH＝FG＝2OG，
设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴﹣t2+8＝2t，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（舍），
∴此正方形的面积＝FG2＝（2t）2＝4t2＝4（﹣2+2）2＝（96﹣32）dm2；
（2）如图2，由（1）知：设H（t，﹣t2+8）（t＞0），
∴矩形EFGH的周长＝2FG+2GH＝4t+2（﹣t2+8）＝﹣t2+4t+16＝﹣（t﹣2）2+20，
∵﹣1＜0，
∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；
（3）若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，
设N（m，﹣m2+8），
由勾股定理得：PM2+PN2＝MN2，
∴m2+（﹣m2+8﹣3）2＝32，
解得：m1＝2，m2＝﹣2（舍），
∴N（2，4），
∴PM＝4﹣1＝3，
∵cos∠NMP＝＝＝，
∴MQ＝3MN＝9，
∴Q（0，12），
设QN的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴QN的解析式为：y＝﹣2x+12，
﹣x2+8＝﹣2x+12，
x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．
【点评】本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．
18．（2022•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
【分析】（1）①根据正方形的性质得出点A，B，C的坐标；
②利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据两角相等证明△MCP∽△PBA，列比例式可得n与m的关系式，配方后可得结论．
【解析】（1）①四边形OABC是边长为3的正方形，
∴A（3，0），B（3，3），C（0，3）；
②把A（3，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：，
解得：；
（2）∵AP⊥PM，
∴∠APM＝90°，
∴∠APB+∠CPM＝90°，
∵∠B＝∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM，
∵∠B＝∠PCM＝90°，
∴△MCP∽△PBA，
∴＝，即＝，
∴3n＝m（3﹣m），
∴n＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+（0≤m≤3），
∵﹣＜0，
∴当m＝时，n的值最大，最大值是．
【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质求出点A、B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口．
19．（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c即可；
（2）①求出直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，因为A，C关于直线x＝1对称，推出C（4，0），设N（m，0），则M（m，﹣2m﹣4），NC＝4﹣m，根据MN＝3NC，构建方程求解；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），利用正方形的性质求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）①如图1中，
设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝，
∴点M（，﹣）；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），
∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣4上，
∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t1＝，t2＝﹣2，
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为（，﹣5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
20．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．
【分析】（1）把x＝1，y＝1代入y＝x2+3x+c，从而求得结果；
（2）①根据题意，表示出AE和AB，根据tan∠ABE＝＝，得出＝，从而求得结果；
（3）根据OP∥MN，从而得出，从而求得b的值，进而得出a，c的关系式，将其代入T＝c，进一步求得结果．
【解析】（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，
把x＝1，y＝1代入得，
1＝1+3+c，
∴c＝﹣3；
（2）①由ax2+bx+c＝0得，
x1＝，x2＝，
∴AB＝x2﹣x1＝，
∵抛物线的顶点坐标为：（﹣，），
∴AE＝，OM＝，
∵∠BAE＝90°，
∴tan∠ABE＝＝，
∴＝，
∴b2﹣4ac＝9；
②∵b2﹣4ac＝9，
∴x2＝，
∵OP∥MN，
∴，
∴：＝2，
∴b＝2，
∴22﹣4ac＝9，
∴c＝﹣，
∴T＝c＝﹣＝﹣＝（﹣2）2﹣4，
∴当＝2时，T最小＝﹣4，
即a＝时，T最小＝﹣4．
【点评】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．
21．（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，求出PE的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC＝S△POB+S△POC﹣S△OBC
＝×3×（﹣m2+2m+3）+×3×m﹣×3×3
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝时，△PBC的面积最大，面积的最大值为，此时PE的值最大，
∵×3×PE＝，
∴PE＝，
∴△PEF的周长的最大值＝++＝+，此时P（，）；
（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时，（1+m）＝（0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 66 ；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 b＞ ；
（3）若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解析】（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23．（2022•武威）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC＝OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE＝1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD＝AE时，求BD+CE的最小值．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）根据函数解析式求出OA的长度，根据三角函数求出DE的长度，根据P点的坐标得出PE的长度，根据DP＝DE+PE得出结论即可；
（3）①连接DG交AB于点M，设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，得出G（﹣a，（a﹣3）），根据G点在抛物线上得出a的值，即可得出G点的坐标；
②方法一：在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，构造△AEQ≌△CDB，得出当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，求出CQ的值即可．
方法二：过点C作CF∥x轴，使得CF＝AC．证△FCD全等于△CAE，则FD＝CE所以F、D、B三点共线时CE+BD＝FD+BD取到最小值，求出此时BF的长即可．
【解析】（1）∵抛物线y＝（x+3）（x﹣a）与x轴交于A，B（4，0）两点，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE•tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x轴，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如下图，连接DG交AB于点M，
∵△BCD与BFG关于x轴对称，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
设OM＝a（a＞0），则AM＝OA﹣OM＝3﹣a，
MG＝MD＝AM•tan∠CAO＝（3﹣a），
∴G（﹣a，（a﹣3）），
∵点G（﹣a，（a﹣3））在抛物线y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣a+3）（﹣a﹣4）＝（a﹣3），
解得a＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）；
②如下图，在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，连接EQ，CQ，
∵AE＝CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS），
∴EQ＝BD，
∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE＝EQ+CE最小，最小为CQ，
过点C作CH⊥AQ，垂足为H，
∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，
∴∠CBA＝45°，BC＝4，
∵∠CAH＝180°﹣∠CAB﹣∠EAQ＝180°﹣∠CAB﹣∠DCB＝∠CBA＝45°，
AC＝＝＝5，AH＝CH＝AC＝，
HQ＝AH+AQ＝AH+BC＝＝，
∴CQ＝＝＝，
即BD+CE的最小值为；
方法二：过点C作CF∥x轴，使得CF＝AC，作BG⊥FC延长线于点G，
∴∠FCA＝∠CAE，
又∵CD＝AE，CF＝AC，
∴△FCD≌△CAE（SAS），
∴FD＝CE，
∴F、D、B三点共线时CE+BD＝FD+BD取到最小值，
∵AC＝5，C（0，4），B（4，0），
∴BF的长＝＝．
【点评】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．
24．（2022•云南）已知抛物线y＝﹣x2﹣x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y＝﹣x2﹣x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S＝m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
（3）求的值．
【分析】（1）直接将（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中可得结论；
（2）先配方成顶点式，写出顶点坐标，因为使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，所以在x轴上方有一个点，其纵坐标为，下方有两个点，每一个点的纵坐标为﹣，可得T的值；
（3）由题意可知：x＝k是x2+x﹣2＝0的解，则k2+k﹣2＝0，得k2＝2﹣k，直接代入降次可得结论．
【解析】（1）把点（0，2）代入抛物线y＝﹣x2﹣x+c中得：c＝2；
（2）由（1）知：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
∴顶点的坐标为（﹣，），
∵使S＝m成立的点M恰好有三个，常数m＞0，S为△ABM的面积，
∴其中一个点M就是抛物线的顶点，
∴T＝﹣×2+＝﹣；
（3）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
x2+x﹣2＝0，
∵k是抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交点的横坐标，即x＝k是x2+x﹣2＝0的解，
∴k2+k﹣2＝0，
∴k2＝2﹣k，
∴k4＝（2﹣k）2＝4﹣4k+3k2＝4﹣4k+3（2﹣k）＝10﹣7k，
∵k8+k6+2k4+4k2+16
＝（10﹣7k）2+（2﹣k）（10﹣7k）+2（10﹣7k）+4（2﹣k）+16
＝100﹣140k+147k2+20﹣24k+21k2+20﹣14k+8﹣4k+16
＝164﹣182k+168（2﹣k）
＝500﹣350k，
∴
＝
＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，配方法，抛物线与x轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，学会待定系数法求函数解析式，解题的关键是转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．
25．（2022•金华）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：
①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．
③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
（1）求a，c的值．
（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w＝x售价﹣x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
【解析】（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，
，
②﹣①，得7a＝﹣1.4，
解得：a＝﹣，
把a＝﹣代入①，得c＝9，
∴a的值为﹣，c的值为9；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
w＝x售价﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，
∵﹣＜0，且1≤t≤7，
∴当t＝4时，w有最大值，
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大；
（3）当y供给＝y需求时，x﹣1＝﹣x2+9，
解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），
∴此时售价为5元/千克，
则y供给＝x﹣1＝5﹣1＝4（吨）＝4000（千克），
令t+2＝5，解得t＝6，
∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣（6﹣4）2+3＝2，
∴总利润为w•y＝2×4000＝8000（元），
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式，掌握二次函数的性质，并结合数形结合思想解释是关键．
26．（2022•达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）分两种情况：当点P在BC上方时，根据平行线的判定定理可得CP∥x轴，可得P（2，2）；当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），则OD＝m，DB＝3﹣m，利用勾股定理即可求得m＝，得出D（，0），再运用待定系数法求得直线CD的解析式为y＝x+2，通过联立方程组求解即可得出P（，﹣）；
（3）设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，运用待定系数法求得：直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，进而求出M、N的坐标，即可得出答案．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y＝x2+x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+2，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，﹣）；
（3）由（2）知：抛物线y＝x2+x+2的对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，
当x＝1时，y＝﹣t+4，
∴M（1，﹣t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，
当x＝1时，y＝t+，
∴N（1，t+），
∴EM＝﹣t+4，EN＝t+，
∴EM+EN＝﹣t+4+t+＝，
故EM+EN的值为定值．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，平行线性质及应用，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（2022•舟山）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4即可解得抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，顶点为（﹣1，﹣4+m），关于原点的对称点为（1，4﹣m），代入y＝x2+2x﹣3可解得m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得抛物线L3为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，当t＞6时，s＞r，可得[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，即可解得n的取值范围是n＞3．
【解析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：
a（1+1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；
答：抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线L1：y＝（x+1）2﹣4的顶点为（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：
12+2×1﹣3＝4﹣m，
解得m＝4，
答：m的值为4；
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在抛物线L3上，
∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，
r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，
∵当t＞6时，s＞r，
∴s﹣r＞0，
∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，
整理变形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，
（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，
（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，
∵t＞6，
∴12﹣2t＜0，
∴6﹣2n＜0，
解得n＞3，
∴n的取值范围是n＞3．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
28．（2022•连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
【分析】（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图象的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得c＝，可得OB＝﹣c＝﹣，过点A作AH⊥OB于H，有S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣（b+1）2+，由二次函数性质得△AOB面积的最大值是．
【解析】（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图象的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
∴＜0，
∵＝﹣（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（﹣，），
当x＝0时，B（0，c），
将（﹣，）代入y＝﹣x﹣2得：
＝﹣2，
∴c＝，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c＝﹣，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOB＝OB•AH＝×（﹣）×1＝﹣b2﹣b+1＝﹣（b+1）2+，
∵﹣＜0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
29．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，﹣m2+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【解析】（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤P1横坐标≤．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
30．（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（1+t，4﹣t），然后把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；
（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，﹣1），找出点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标．
【解析】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（1+t，4﹣t），
把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+4得：
﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，
整理得t2﹣t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝1，
∴P（2，3）；
（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，
∴E点坐标为（1，﹣1），
∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），
连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，
设直线PF的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线PF的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质，轴对称确定最短路线问题，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用轴对称求最短路线是解题的关键．
31．（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；
（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；
（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【解析】（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AC＝＝；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝＝，PC＝＝，
∵PA＝PC，
∴＝，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
同①的方法得，M'（﹣2，5）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
Ⅰ、当点M在第四象限时，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，
∴，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，
∴M（，﹣），
Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
32．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM＝3：4：5，则PM+，设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），用含m的代数式表示出PM+2MQ，利用二次函数的性质可得答案；
（3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移个单位，则平移后抛物线解析式为y'＝﹣，设D（4，t），C（c，﹣），分AP'与DC为对角线或P'D与AC为对角线或AD与P'C为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问题．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
∴，
∴．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得，AB＝5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，
∴AM＝，，
∴PM+，
∵B（0，3），A（4，0），
∴lAB：y＝﹣，
∴设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），
∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，
∵﹣，
∴开口向下，0＜m＜4，
∴当m＝1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；
（3）由y＝﹣知，对称轴x＝，
∴P'（2，），
∵直线l：x＝4，
∴抛物线向右平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣，
设D（4，t），C（c，﹣），
①AP'与DC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
②P'D与AC为对角线时，
，
∴，
∴D（4，﹣），
③AD与P'C为对角线时，
，
∴，
∴D（4，），
综上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，根据平行四边形的顶点坐标，利用中点坐标公式列方程是解题的关键，同时注意分类讨论．
33．（2022•丽水）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．
（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；
（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a即可；
②判断出M，N关于抛物线的对称轴对称，求出点M的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，分别求解即可．
【解析】（1）①∵二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）经过（3，1），
∴1＝a﹣1，
∴a＝2，
∴二次函数的解析式为y＝2（x﹣2）2﹣1；
②∵y1＝y2，
∴M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2﹣x1＝3，
∴x1＝，x2＝，
当x＝时，y1＝2×（﹣2）2﹣1＝，
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝+1＝；
（2）若M，N在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x1+3＞2，
∴x1＞﹣1，
∵x1﹣x2＝3，
∴x1≤，
∴﹣1＜x1≤，
∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1﹣2）2＜9，
∴＜a≤．
若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，
∵x1＞，
∴＜x1＜2，
∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，
∴y2﹣（﹣1）＝1，
∴a＝，
∴≤（x1+1）2＜9，
∴＜a≤．
综上所述，＜a≤．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
34．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中列方程组解出即可；
（2）利用待定系数可得直线AB的解析式，再设直线DE的解析式为：y＝mx，点D是直线DE和AB的交点，列方程可得点D的横坐标，根据△BDO与△OCE的面积相等列等式可解答；
（3）设P（t，﹣t2+t+4），分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．
【解析】（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（2）知：抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+4，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴AB的解析式为：y＝2x+4，
设直线DE的解析式为：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
当x＝3时，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO与△OCE的面积相等，CE⊥OC，
∴•3•（﹣3m）＝•4•，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直线DE的解析式为：y＝﹣x；
（3）存在，
B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：
设P（t，﹣t2+t+4），
①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，
∵四边形BPGF是矩形，
∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°，
∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°，
∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF，
∵∠PHB＝∠FCG＝90°，
∴△PHB≌△FCG（AAS），
∴PH＝CF，
∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t，
∵∠PBH＝∠OFB，
∴＝，即＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝1，
∴F（2，0）；
②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，
同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3，
∵∠OFB＝∠FPM，
∴tan∠OFB＝tan∠FPM，
∴＝，即＝，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴F（，0）；
综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，矩形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角函数，解一元二次方程等知识，第三问有难度，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
35．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入可得直线AB解析式为y＝x﹣4，设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，可得C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），PC＝﹣m2+2m，则PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣）2+，利用二次函数性质可得PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝x2+4x+，对称轴是直线x＝﹣4，即可得F（0，），E（﹣，﹣），设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），分三种情况：①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，可得N（，）；②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，可得N（﹣，）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，可得N（﹣，）．
【解析】（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
36．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．
（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；
（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；
（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，联立解析式解方程组即得A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）分两种情况：当k＞0时，根据△B'AB的面积与△OAB的面积相等，知OB'∥AB，可证明△BOD≌△BCD（ASA），得OD＝OC＝，D（0，﹣），可求B（，﹣），即可得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，由△B'AB的面积与△OAB的面积相等，可得OE＝EF＝3，证明△BGF≌△BGE（ASA），可得OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），从而B（，﹣），即可得k＝﹣；
（3）设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），B'（﹣b，﹣b2），设直线AB'解析式为y＝mx+n，可得，即可得m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，从而直线AB'解析式为y＝•x+3，故直线AB'经过定点（0，3）．
【解析】（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，
由得：或，
∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；
（2）当k＞0时，如图：
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OB'∥AB，
∴∠OB'B＝∠B'BC，
∵B、B'关于y轴对称，
∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，
∴∠OB'B＝∠OBB'，
∴∠OBB'＝∠B'BC，
∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，
∴△BOD≌△BCD（ASA），
∴OD＝CD，
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴OD＝OC＝，D（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝；
当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：
在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴E（0，﹣3），OE＝3，
∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，
∴OE＝EF＝3，
∵B、B'关于y轴对称，
∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，
∴∠FB'B＝∠FBB'，
∵B'F∥AB，
∴∠EBB'＝∠FB'B，
∴∠EBB'＝∠FBB'，
∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，
∴△BGF≌△BGE（ASA），
∴GE＝GF＝EF＝，
∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），
在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∴B（，﹣），
把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：
﹣＝k﹣3，
解得k＝﹣，
综上所述，k的值为或﹣；
（3）直线AB'经过定点（0，3），理由如下：
由得：x2+kx﹣3＝0，
设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，
∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），
∵B、B'关于y轴对称，
∴B'（﹣b，﹣b2），
设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：
，
解得：，
∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，
∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，
∴直线AB'解析式为y＝•x+3，
令x＝0得y＝3，
∴直线AB'经过定点（0，3）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据已知求出B点的坐标．
37．（2022•德阳）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．
【分析】（1）求出点M，点F的坐标，设直线MF的解析式为y＝kx+b，构建方程组求出k，b即可；
（2）说明抛物线与折线EMF有两个交点关于抛物线的对称轴对称，可得结论；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），由PT∥AM，推出＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质，可得结论．
【解析】（1）∵点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称，
∴F（5，3），
∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，
∴M（2，0），
设直线MF的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴射线MF的解析式为y＝x﹣2（x≥2）；
（2）如图①中，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q．
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝2，点M（2，0），
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y＝﹣x+2，直线MF的解析式为y＝x﹣2，
∴直线EM，直线MF关于直线x＝2对称，
∴P，Q关于直线x＝2对称，
∴2＝，
∴x1+x2＝4；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．
∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
设P（t，﹣t2+4t+5），则T（t2﹣4t﹣3，﹣t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴＝＝（t﹣（t2﹣4t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴有最大值，最大值为．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．
38．（2022•南充）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得b，c，进而得出抛物线的解析式；
（2）在BC的下方存在一个点P，在BC的上方时两个，其中过BC下方的点P的直线l与BC平行的直线与抛物线相切，根据直线l的解析式与抛物线解析式可以得出一个一元二次方程，该一元二次方程的根的判别式为0，从而求得b的值，进而得出在BC的上方的直线解析式，与抛物线联立成方程组，进一步求得结果；
（3）作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，设D点的横坐标为a，根据△BHN∽△BFD得出DF＝2NH，根据△OMG∽△ONH得出MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，从而KF＝MG＝DF，根据tan∠DEB＝2tan∠DBE可表示出EF，根据△DEF∽△DMK可得出a的值，进一步求得结果．
【解析】（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+b，
由＝x+b得，
x2﹣4x﹣3（b+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（b+4）＝4，
∴b＝﹣，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x﹣，
∴x＝2，y＝﹣，
∴P1（2，﹣），
∵E（0，﹣），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（﹣）），
即（0，﹣），
∴直线m的解析式为：y＝x﹣，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2﹣），P3（2+2，2﹣），
综上所述：点P（2，﹣）或（2﹣2，﹣2﹣）或（2+2，2﹣）；
（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH＝，
∵MH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴＝，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴＝2•，
∴EF＝，
∵BF＝4﹣a，
∴EF＝，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴＝，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y＝﹣﹣4＝，
∴M（﹣4，）．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，一次函数和二次函数图象的交点与方程组之间的关系，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用相似三角形寻找线段间的数量关系．
39．（2022•自贡）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．
【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解；
（2）由题意画出图象，结合图象可求解；
（3）结合题意分别求出a＝1，b＝﹣1﹣c，将点P，点Q坐标代入可求y1，y2的值，即可求解．
【解析】（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，
当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，数形结合的思想，求出b与c的关系是解题的关键．
40．（2022•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；
（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．
由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，
∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0），
∴D2（1，﹣3），
∵D，D1关于x轴的长，
∴D1（0，2），
∴D1D2＝＝＝，
∴△DEF的周长的最小值为．
（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM．
∴S△ABM＝2d，
又∵S△AMN＝2d，
∴S△ABM＝S△AMN，
∴B，N到AM的距离相等，
∵B，N在AM的同侧，
∴AM∥BN，
设直线BN的解析式为y＝kx+m，
则有，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴设直线AM的解析式为y＝x+n，
∵A（﹣1，0），
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
由，解得或，
∴M（4，5），
∵点N在射线BC上，
∴设N（t，t﹣3），
过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．
∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），
∴AM＝5，AN＝，MN＝，
∵△AMN是等腰三角形，
当AM＝AN时，5＝，
解得t＝1±，
当AM＝MN时，5＝，
解得t＝6±，
当AN＝MN时，＝，
解得t＝，
∵N在第一象限，
∴t＞3，
∴t的值为，1+，6+，
∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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