初中数学中考复习 专题14 整式的乘法与因式分解（原卷版）

专题14 整式的乘法与因式分解

知识点1：整式的乘法

1. 同底数幂的乘法法则:

(m,n都是正数)

2.幂的乘方法则：

(m,n都是正数)

3.积的乘方：(ab)n=anbn   

4. 整式的乘法法则

（1） 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

5.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即

(a≠0,m、n都是正数,且m>n).

在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即。

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即

( a≠0,p是正整数),;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的。

④运算要注意运算顺序。

6．整式的除法法则

（1）单项式除法单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

（2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

知识点2：乘法公式

1.平方差公式:

2.完全平方公式:

3.添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

知识点3：

1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法；

（2）运用公式法；

（3）十字相乘法；

（4）其他方法。

一、乘法公式的灵活记忆与使用

1.记忆几个重要的乘法公式

（1）(a+b)(a-b)=a2-b2   

（2）(a+b)2=a2+2ab+b2   

（3）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（4）(a-b)2=a2-2ab+b2

（5）(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3     

（6）(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3 

2.乘法公式的灵活变式

① 位置变化，xyyxx2y2

② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2

③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4

④ 系数变化，2ab2ab4a2b2

⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2

⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2

x2xyxyy2z2x22xyy2z2

⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4

⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2xyzxyzxyzxyz

                 2x2y2z4xy4xz

二、怎样熟练运用乘法公式

1.明确公式的结构特征是正确运用公式的前提，如平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

2.要理解字母的广泛含义。乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算：

（x+2y－3z）2，若视a=x+2y，b=3z，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

3.熟悉常见的几种变化.有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

（1）位置变化.  如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后变为（5y+3x）（5y－3x）就可用平方差公式计算了。

（2）符号变化.  如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了。

（3）数字变化. 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．

（4）系数变化.  如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．

（5）项数变化.  如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

4.注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…×× =×=．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：

a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效。

三、分解因式的步骤

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

四、对于有难度的因式分解问题的方法与技巧

因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。

（1）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

（2）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

（3）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

（4）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。

（5）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。

【例题1】（2020•绥化）下列计算正确的是（　　）

A．b2•b3＝b6 B．（a2）3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6

【例题2】（2020•无锡）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ 　     ．

《整式的乘法与因式分解》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（2020•连云港）下列计算正确的是（　　）

A．2x+3y＝5xy B．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2 

C．a2•a3＝a6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4

2．（2020•泰安）下列运算正确的是（　　）

A．3xy﹣xy＝2 B．x3•x4＝x12 

C．x﹣10÷x2＝x﹣5 D．（﹣x3）2＝x6

3．（2020•齐齐哈尔）下列计算正确的是（　　）

A．a+2a＝3a B．（a+b）2＝a2+ab+b2 

C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2

4．（2020•安徽）计算（﹣a）6÷a3的结果是（　　）

A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2

5．（2020•黑龙江）下列各运算中，计算正确的是（　　）

A．a2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6 

C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6

6. (2019黑龙江绥化) 下列因式分解正确的是(    )

A.x2－x＝x(x+1)       B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)   

C.a2+2ab－b2＝(a－b)2   D.x2－y2＝(x+y)(x－y)

7.（2019广西贺州）把多项式分解因式，结果正确的是　　

A． B． 

C． D．

8.（2019四川泸州）把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（　　）

A．2（a2﹣4）         B．2（a﹣2）2 

C．2（a+2）（a﹣2）   D．2（a+2）2

9.下列因式分解正确的是（　　）

A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4）   B． x2+2x+1=x（x+2）+1

C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y）  D． 2x+4=2（x+2）

10.下列因式分解正确的是（　　）

A． a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）   B． x2﹣x+=（x﹣）2

C． x2﹣2x+4=（x﹣2）2             D． 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）

二、填空题（每空3分，共30分）

11．（2020•安顺）化简x（x﹣1）+x的结果是　   　．

12.（2019四川省雅安市）化简x2-(x+2)(x-2)的结果是___________.

13.（2019江苏常州）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．

14．（2019湖南怀化）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　             ．

15. (2019黑龙江绥化)计算:(－m3)2÷m4＝________.

16．（2020•常德）分解因式：xy2﹣4x＝　     　．

17．（2020•台州）因式分解：x2﹣9＝　    　．

18．（2019•深圳）分解因式：ab2﹣a＝　      　．

19．（2020•新疆）分解因式：am2﹣an2＝　    　．

20．（2020•自贡）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝　    　．

三、解答题（10个小题，每小题各6分，共60分）

21.计算(－2x－y)(2x－y)．

22.计算19982－1998·3994＋19972

23.化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

24.计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)

25.计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

26.分解因式：

27.因式分解

28.计算：

29.把多项式(a +b)2－4(a +b－1)分解因式.

30.（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．

理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　        　．