初中数学中考复习 专题15 利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值-备战2020年中考数学压轴题专题研究

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如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
B．C．3D．5
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP＝3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
方法剖析
【模型讲解】
圆的定义为平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．在一些题目中，我们可以通过分析条件得到相应动点轨迹是个圆（弧），也有相应的题目把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，利用圆与点的位置关系，有助于我们解决定一类定值问题。
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，如下图，在⊙O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短

解析：在⊙O上任取一点Q，连接QO和OP，在△OQP中，根据三角形三边关系，则0Q+QP>OP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP
所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.
【类型变式】

点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短
导例答案 解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP＝90°，
∴PQ2＝OP2﹣OQ2，
而OQ＝2，
∴PQ2＝OP2﹣4，即PQ＝，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为＝．
故选：B．
典例剖析
类型一：利用圆的定义来作辅助圆定位置关系来求最值
例1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度最小值是 。
【分析1】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧。
【分析2】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
类型二：利用已知点的轨迹为圆考查位置关系来求最值
例2.如图，已知⊙C的半径为2，圆外一点O满足OC＝3.5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值为（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB＝2OP，计算得到答案．
专题突破
1.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值为（ ）
2．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝4，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．6B．C．D．7
3.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4.如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．
5.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点M在⊙0上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是__________________.
6.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为 ．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．
8.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 ．
9.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.
10.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是 ．
11．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为 ．
12.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 ．
13.如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ °；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
14．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．
（1）当∠BEF=45°时，求证：CF=AE；
（2）当B′D=B′C时，求BF的长；
（3）求△CB′F周长的最小值．
15.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求的最小值.
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，，∴，∴.
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为的最小值为 .
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为 .
拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.
专题十五：利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值
例1.解法一：考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．
连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．
构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．
解法二：解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD＝MD＝，
∴FM＝DM×cs30°＝，
∴MC＝＝，
∴A′C＝MC﹣MA′＝﹣1．
故答案为：﹣1．
答案：。
例2、解：连接OP，PC，OC，
∵OP≥OC﹣PC＝3.5﹣2＝1.5，
∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为1.5，
∵OA＝OB，∠APB＝90°，
∴AB＝2OP，
当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP＝3，
故选：C．
专题突破答案
1.解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上，
∵AB＝2，
∴QA＝QB＝1，
当点Q、E、C三点共线时，CE最小，
∵AC＝2，
∴QC＝，
∴CE＝QC﹣QE＝﹣1，
故选：D．
2．解：如图，
取AD的中点M，以点M为圆心，半径为2画圆，
点A、D、H都在圆M上，
连接BM，BD，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝2，
在Rt△BDM中，BM＝＝＝8，
因为点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DH⊥AC，
所以当点B、H、M三点在同一条直线上时，BH最短，
此时BH＝BM﹣HM＝8﹣2＝6．
所以BH的最小值为6．
故选：A．
3.解：取AB的中点O，连接OP，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O的一部分弧线上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，其最小值为OC﹣OP，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝6，OP＝OB＝4，
∴OC＝＝＝2，
∴PC＝OC﹣OP＝2﹣4．
∴PC最小值为2﹣4．
故选：D．
4.连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．
连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．答案：4
5.以AB为边向下作等腰Rt△ABD，连接DM
∵△MBC与△DBA均为等腰直角三角形
∴MB=BC，BD=AB，∠MBC=∠DBA=90°
∴∠MBC+∠ABM=∠DBA+∠ABM
∴∠MBD=∠CBA ∴△ABC≌△MBD
∴AC=MD
点M在圆上运动，
∴DM的最小值为OD-r；DM的最大值为OD+r
在Rt△OBD中，可计算出OD=5
所以DM的最小值为4，DM的最大值为6
4≤AC≤6
6.解：∵∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，
∵AB＝4，AB是⊙O的直径，
∴OE＝2，
在Rt△OBC中，OC＝，
∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，
∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，
∴CE的最大值＝2+2．
故答案为：2+2．
7.考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．
过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．答案：1.2
8.解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝2，
在Rt△AOD中，OD＝＝2，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
9.过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，
则由三角形面积公式得，，∴5×CM＝16，∴，
∴圆C上点到直线的最小距离是，
∴△PAB面积的最小值是 ，故答案是：．
10.解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1＝AC＝2，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝0.5，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝2.5+1.5＝4，
∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．
故答案为：4.5．
11．设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故答案为：10．
12.首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．

∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．
记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．
13.解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，
∴2∠B+∠A＝90°，
解得，∠B＝15°，
故答案为：15°；
（2）如图①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE＝90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，∵∠C＝∠C＝90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，
∴CE＝，
∴BE＝5﹣＝．
（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．
∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，
∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF＝90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝∠FAC，∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2＝FB•FA，设FB＝x，
则有：x（x+7）＝122，
∴x＝9或﹣16（舍弃），
∴AF＝7+9＝16，
在Rt△ACF中，AC＝＝＝20．
14．（1）证明：如图1中，
当∠BEF=45°时，易知四边形BEB′F是正方形，
∴BF=BE，
∵AB=BC，
∴CF=AE=3．
（2）解：如图2中，作B′N⊥BC于N，NB′的延长线交AD于M，作EG⊥MN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形．
∵B′D=B′C，∴∠B′DC=∠B′CD，∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠B′DM=∠B′CN，∵∠B′MD=∠B′NC=90°，∴△B′MD≌△B′CN，
∴B′M=B′N=8，∵AE=MG=3，
∴GB′=5，
在Rt△EGB′中，，
∵∠EB′G+∠FB′N=90°，∠FB′N+∠B′FN=90°，
∴∠EB′G=∠B′FN，∵∠EGB′=∠FNB′=90°，
∴△EGB′∽△B′NF，∴，∴，∴．
（3）解：如图3中，
以E为圆心EB为半径画圆，在Rt△EBC中，∠EBC=90°，EB=13，BC=16，
∴，
∵△CFB′的周长=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′，
∴欲求△CFB′的周长的最小值，只要求出CB′的最小值即可，
∵CB′+EB′≥EC，
∴E、B′、C共线时，CB′的值最小，CB′最小值为．
∴△CFB′的周长的最小值为．
15.(1)如图1，连接AD，
∵,要使最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，∴，的最小值为,故答案为；
(2)如图2，连接CP,在CA上取点D,使，∴CD：CP=CP：CA=1：3，
∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD：AP=1：3，∴，
∴，∴同(1)的方法得出的最小值为.
故答案为：；
(3)如图3，延长OA到点E，使CE=6，
∴OE=OC+CE=12，连接PE、OP，∵OA=3，∴OA：OP=OP：OE=1：2，∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴AP：EP=1：2，∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E. P、B三点共线时,取得最小值为：BE=.