初中数学中考复习 专题17 探究函数图象与性质问题【考点精讲】（原卷版）

题型一：根据解析式探究函数图像与性质

【例1】（2021·山东临沂市）已知函数

（1）画出函数图象；

列表：

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设是函数图象上的点，若，证明：．

【例2】（2021·吉林中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A．

（1）当时，点A的坐标是           ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．

（2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

（3）当时，若函数的最小值为3，求m的值．

（4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

题型二：实际问题探究函数性质

【例2】（2021·吉林长春市）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：

（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．

(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

（结论应用）应用上述发现的规律估算：

(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

1．（2020•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y的图象并探究该函数的性质．

（1）列表，写出表中a，b的值：a＝　   ，b＝　    　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数y的图象关于y轴对称；

②当x＝0时，函数y有最小值，最小值为﹣6；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

（3）已知函数yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x的解集．

2．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．

（1）y关于x的函数关系式是　   　，x的取值范围是　    　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

3．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．

（1）求直线1的解析式；

（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

4．（2020•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．

③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．

（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

5．（2021·江西）二次函数的图象交轴于原点及点．

感知特例

（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；

②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；

③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．