初中数学中考复习 专题17 等腰、等边三角形问题（原卷版）

专题17 等腰、等边三角形问题

一、等腰三角形

1. 定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角.

2.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．

3.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

4.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

5.等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

    要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

二、等边三角形

1. 定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．

2. 性质

性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

性质2：等边三角形是轴对称图形，并且有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线。

3.判定

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

（3） 有两个角是60°的三角形是等边三角形。

三、含30的直角三角形的性质

在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.

四、解题方法要领

1.等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在

等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

2.常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问

题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。

3.分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。

【例题1】（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；

（2）求证：FB＝FE．

【例题2】（2019▪黑龙江哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为　   　．

【例题3】（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（　　）

A．125° B．145° C．175° D．190°

一、选择题

1.（2019宁夏） 如图，在△ABC中，，点D和E分别在AB和AC上，且．连接DE，过点A的直线GH与DE平行，若，则的度数为（     ）．

A．               B．               C．             D． 

2.（2019•浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（     ） 

A. 60°                              B. 65°                           C. 75°                                D. 80°

3.（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（　　）

A．20°      B．30°      C．45°   D．60°

4.（2019•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10

5.（2019•湖南邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（　　）

A．120° B．108° C．72° D．36°

二、填空题

6.（2019•湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为　　．

7.（2019•湖南邵阳）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是　　．

8.（2019•湖北天门）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为　   　m．

9.（2019▪贵州毕节）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　    　．

10. （2019•湖北武汉）如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为　   　．

11.(2019黑龙江绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.

三、解答题

12.（2019湖北孝感）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．

13.（2019•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

14．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）若∠C＝42°，求∠BAD的度数；

（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．

15．（2019•南岸区）如图，直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．

（1）证明：AC＝AF；

（2）若∠FCD＝30°，求∠G的大小．

16．（2019•攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：

（1）点D在BE的垂直平分线上；

（2）∠BEC＝3∠ABE．

17.（2019•湖北十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

18.（2019•甘肃武威）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．

（1）求证：AC是⊙D的切线；

（2）若CE＝2，求⊙D的半径．

19. （2019•湖南衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．

（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．